3tan [ pc g ( H R cot )]2 16 gt cos
若 x0 R / sin ,则在 x R / sin 处 有最大值

max

R pc g H R cot / 3 2t cos
2

tan pc g H R cot 4 gt cos
若 z0 R cot ，则在 z R cot 处 出现最大值
max
R pc gH t cos
又，所切出的錐体中余留液体之质量
G r2z g / 3
又,对于圆锥壳, 第一曲率半径 R1 ， 第二曲率半径 R2 x tan 。 据 Laplace 公式， 有

pR2 x tan pc g ( H R cot x cos ) t t
据极值条件,易知：在 x x0
pc g H R cot 处，周向应力 有最大值 2 g cos
此时，临界应力
3
3
……①
cr
pcr D 0.44 1000 22MPa s tp 2t 2 10
即，①式是适用的。 该圆筒承受内压时，其爆破压力
pb
2 2 245 1020 s 2 s ln K 245 2 7.77 MPa ln b 400 1000 3 3
z tan 。M 点所在截 cos
p pc g ( H R cot z )
据 Laplace 公式，有

pR2 z tan pc g ( H R cot z) t t cos
据极值条件,易知：当 z z0 (
pc H R cot ) / 2 时，周向应力 有最大值 g
计算题 2.11 解：该圆平板的抗弯刚度为：
D
Et 3 2 105 383 ＝ 1004981685 MPa·mm3 2 2 12 1 12 1 0.3
对于周边固支、承受横向均布载荷的圆平板，其最大挠度出现在圆平板中心，其值为：
f wmax
pR 4 3 5004 ＝2.92mm 64 D 64 1004981685

计算题 2.9
max

R pc g H R cot / 3 2t cos
解：据拉美公式，易知圆筒外壁处径向应力为零，即
o 0
外壁处径向位移为 wo ，据变形几何关系，可得外壁处的周向应变为
o
Ro wo d Ro d
计算题 2.3 解：据 R.V.Southwell 提出的短圆筒临界压力简化计算公式：
4 Et R / nL t2 2 pcr n 1 ……① 2 R n2 1 12 1 dp 2 2 令 cr 0 ，并取 n 1 n ，可得与最小临界压力相应的波数 dn
ro 0M P a
计算题 2.10 解： y '
2 x a 2 y '' a
3/ 2
1 y ' 2 R1 '' y
tan x l
1 2 2 x2 a2 4x2 2 a
tan y '
故l
2 x a
a 2
代入区域平衡方程
2 rt cos r 2 pc g H R cot z G

r pc g H R cot 2 z / 3 2t cos z tan pc g H R cot 2 z / 3 2t cos
计算题参考答案
计算题 2.1 解：对于中面半径为 R 的圆柱壳，第一曲率半径 R1 ，第二曲率半径 R2 x tan , 代入 Laplace 方程，可得周向应力

pR t pR 2t
……①
据区域平衡方程,可得经向应力

……②
由①②两式知,圆柱壳体中在外载荷作用下所产生的周向应力和环向应力均与壳体材料力学 性能无关。
0
x
2 sin 2 [ pc g ( H R cot )]x 2 / 2 g cos x 3 / 3
代入区域平衡方程
V V ' 2 xt sin cos
即
2 sin 2 [ pc g ( H R cot )]x 2 / 2 g cos x 3 / 3 2 xt sin cos
Ro d

wo Ro
……①
据广义胡克定律，外壁处的周向应变又可表示为
o
1 o zo E
……②
据拉美公式，可得内压圆筒外壁处的周向应力和轴向应力分别为
o zo
2 pi K 2 1 2 pi K 2 1
……③
联立①②③，得
o
wo 1 2 pi p 2 2 i Ro E K 1 K 1
计算题 2.4 解：承受周向压力时，内径为 1000mm，厚度为 10mm 圆筒的临界长度
Lcr 1.17 D
D 1000 1.17 1000 11700mm t 10
由于 Lcr L 20m ，所以该外压圆筒为长圆筒，其临界压力
t 10 pcr 2.2 E 2.2 2 105 0.44MPa D 1000
4
1 0.31
2 3
t2 2.87 105 t 2 LD D / t LD D / t
显然， pcr钢 pcr铜 pcr铝 。 另外，由于这三种短圆筒所用材料的μ 值相差极小（约为 3﹪） ，可近似认为相等。据①式， 承受周向外压的短圆筒， 故 pcr钢 pcr铜 pcr铝 。 其临界压力 pcr 与材料的弹性模量 E 成正比，
其最大正应力为支承处的径向应力，其值为：

f r max
3 pR 2 3 3 500 2 ＝389 .54 MPa 4t 2 4 38 2
2
max
tan pc g H R cot 4 gt cos
若 x0 R / sin ,则在 x R / sin 处 有最大值
max
R pc gH t cos
方法二: 如图沿 M 点所在水平面切开,锥顶到 M 点所在水平面的距离为 z ,以 M 点以下錐体为 研究对象。对于圆锥壳，第一曲率半径 R1 ，第二曲率半径 R2 面处的压力
即，压力表 A（指示数为 1MPa）正常，压力表 B（指示数为 2MPa）已失灵。
计算题 2.7 如下图所示
答：因为球形载荷对称分布，
根据平衡条件，其轴向受的外力

4
Di2 p 必与轴向内力 D 相等。对于薄壳体，可近似
认为内直径 Di 等与壳体的中面直径 D。

4
即，对于该圆筒而言，其爆破压力 pb 远大于临界压力 pcr 。
计算题 2.6 解：据 Huggenberger 公式，椭球壳短半轴顶点 x 0 处应力为

pa 2 2tb
对于标准椭圆形封头，a/b＝2，即，b＝500/2＝250mm，故
p
2tb 2 10 250 50 1( MPa) a2 500 2
n
7.40 1 2
4
L t D 1 n ，得到包含μ 的短圆筒最小临界压力近似计算式
pcr
4
2.42 Et 2
1 LD
2 3
D/t
在几何尺寸相同的情况下，三个承受周向外压短圆筒的临界压力分别为
据极值条件,易知：在 z z0
3 pc / g ( H R cot ) 4
处，经向应力 有最大值
( ) max
3 tan pc g ( H R cot ) 16 gt cos
2
若 z0 R cot ，则在 z R cot 处 有最大值
p pc g ( H R cot x cos )
在 M 点以下的壳体上，由于内压力 P 作用而产生的总轴向力为
V 2 prdr
0
rm
代入 r x sin 和 dr sindx ，得
V 2 sin 2 [ pc g ( H R cot x cos )]xdx
a2 a2 4x2 2 R2 x 4 2
由薄膜应力计算公式得：

pR2 p a 2 4 x 2 2t 4t
R2 p a 2 4 x 2 R1 4t a2 2 a2 4x2
2
A 点应力：x=0 时， A A
据此可得

tan 6t
3[ p
c
g ( H R cot )]x 2 g cos x 2
据极值条件,易知：在 x x0
3[ pc g ( H R cot )] 处，经向应力 有最大值 4 g cos
( )max
zi zo pi
1 1 36 ＝87.5M P a 2 2 K 1 1.188 1
K 2 1
1.188 2 1
ri pi 36 M P a
o pi
2 2 175 MPa 36 ＝ 2 2 K 1 1.1 8 8 1