同理可得
2 2 m , mzz . 2 2 2J s a 2J s a
yy
其他交叉项的倒数全为零．
21
而在布里渊区边界上的
2 , 0, 0 , a 2 2 0, , 0 , 0, 0, a a
第一布里渊区[111]方向的能带曲线
20
(3) 由能带的表示式及余弦函数的性质可知，当 kx=ky=kz=0时，Es取最小值，即kx=ky=kz=0是能带 底，电子有效质量为
2 mxx 2 Es k 2 x 2 2J sa2 ki 0
其中a=4b，W为常数，试画出此势能曲线，并求 出势能的平均值。
5
[求解] 图：一维周期势场
1 2 2 2 mW [ b ( x na ) ], na b x na b V ( x) 2 0, (n 1)a b x na b
6
由图所示，由于势能有周期性。因此只有一个周 期内求平均即可，于是得
e
ika
1
k
,
因此得
3 5 k , , , a a a
3

若只取布里渊区内的值： 则有
k


a
k

a

a
l
（2）
令 得
k ( x a)
l ' l 1
f ( x a la) f [ x (l 1)a]
l ika ( x ) e k ( x) k
平均速度曲线
14
电子的有效质量
2 2 m 2 E 2ka 2 2 J a cos( ) 2 S k 2

有效质量曲线
15
在[110]方向上有恒定电场情况下，电子受的力
F e
电子的加速度
a F m
e 2 J S a 2 cos( 2
2ka ) 2
设电场方向与[110]方向相反，加速度曲线则如图
25
19．证明迪· 阿哈斯－范阿耳芬效应的周期为
1 2 e , B S
其中Ｓ是kz=0平面在费密球上所截出的面积．
26
[解答]
由热力学可知，当磁感应强度B增加dB时，磁场H 所作的功
dU Vc HdB,
即系统内能的微分
U Vc H , B
其中Vc是晶体体积． 由电磁学可知，磁感应强度、磁场和磁化率的关 系是
at i k Rn Es ( k ) Es C s J s e n i a kx k y kz 2 i
E C s J s [e
at s


e
i
a kx k y kz 2


e
i
a kx k y kz 2


e
i
a kx k y kz 2
a 3 a1 ai, a 2 i a j. 2 2
i和j是相互垂直的单位矢量． 取单位矢量k垂直与i和j 则
a1, a2 , k
构成的体积
倒格原胞的基矢为
3 2 a. 2 2 a2 k 2 2 b1 Байду номын сангаасi j a 3a 2 k a1 4 b2 j 3a
处是能带顶，电子的有效质量为
2 m m m 2J s a2
xx yy zz
其他交叉项的倒数也全为零．
22
13．平面正三角形结构，相邻原子间距为a，试求 (1) 正格矢和倒格矢；
(2) 画出第一和第二布里渊区，求第一布里渊区内 切圆半径．
23
[解答] (1) 正格原胞的基矢如图所示取为
12
（2）在[110]方向上 能带变成 其中
k z 0, k y k x 2ka ) 2
2 k 2
Es (k ) E0 4 J S (cos
E0 Es at CS 2J S
在[110]方向上，在第一布里渊区内，电子的能 带如图所示
13
电子的平均速度
1 E 2 2 J S a 2ka v sin( ) k 2
n 0


28
令
EF
Vc c 2m 8 2 2
32
1 a, n c bn . 2
则电子系统的能量
U

0
EN ( E )dE
n 0 l
l
EF
aEdE
0
E bn
12
2 32 3 2 2 a EF bn a bn 3 n 0 3
at ik Rn Es (k ) Es CS J s e ,
R n 是最近邻格矢．
n
对体心立方晶格，取参考格点的坐标为（0, 0, 0） 则８个最近邻格点的坐标为
a a a , , 2 2 2
18
将上述8组坐标代入能带的表示式，得

mW 2b 2
2
10
5. 对简立方结构晶体，其晶格常数为a。
（1）用紧束缚方法求出对应非简并s态电子能带；
（2）分别画出第一布里渊区[110]方向的能带、电 子的平均速度、有效质量以及沿[110]方向有恒定电 场时的加速度曲线。
11
[求解] 非简并s态电子的能带
ik Rn at Es (k ) Es CS J S e n
求得
第一个禁带宽度为
2 i x 1 a2 a Eg1 2 V1 2 a V ( x)e dx a 2
i x 1 b 1 2 2 2 2 mW (b x )e 2b dx 4b b 2
1 b 1 8mW 2b2 2 2 2 2 mW (b x ) cos( x)dx b 4b 2 2b 3
式中Rn是晶格参考格点的最近邻格矢。 对于简单立方晶体，任一格点有6个最近邻，取 参考格点的坐标为(0, 0, 0)， 6个最近邻坐标为
( a, 0, 0) (0, a, 0) (0, 0, a )
简单立方晶体非简并s态电子的能带则为
Es (k ) Es at CS J S (cos kx a cos k y a cos kz a)
16
7．用紧束缚方法处理体心立方晶体，求出 (1) s态电子的能带为
kya kx a kz a at Es (k ) Es CS 8 J s cos cos cos ; 2 2 2
(2) 画出第一布里渊区[111]方向的能带曲线；
(3) 求出带底和带顶电子的有效质量.
17
[解答] (1)用紧束缚方法处理晶格的s态电子，当只计及最 近邻格点的相互作用时，其能带的表示式为



24
(2) 选定一例格点为原点，原点的最近邻倒格矢 有6个，它们是：b1, b2, (b1+b2)
这6个倒格矢中垂线围 成区间构成了两部分： 以原点为对称心正六边 形是第一布里渊区．正 六边形外的6个三角形 部分是第二布里渊区。 第一布里渊区内切圆半 径
k b2 2 2 . 3a

k ( x a)
l
f ( x l ' a)

由上式知 所以有
eika 1 2 4 6 k 0, , , , a a a
由此得在布里渊区内的值为k=0。
4
2. 一维周期势场为
1 2 2 2 mW [b ( x na) ], na b x na b V ( x) 2 0, (n 1)a b x na b
l
2abn EF bn 2a bn
n 0

32
.
对上式求微分
l 2 a U 2 2 a 2 32 1 2 bn 32 1 2 bn EF bn a bn b a b n B n B n 0 3 B 3 B 3 3 B


e
i
a kx k y kz 2


e
at s
i
a kx k y kz 2


e
i
a kx k y kz 2


e
i
a kx k y kz 2


]
kx k y kz a i a ka E C s 2 J s [e cos e 2 cos z 2 2 a i kx k y kx k y kz a i a ka 2 2 e cos e cos z ] 2 2 a i a kya kx i kx kz a at 2 2 Es C s 4 J s e e cos cos 2 2 kya kx a ka at Es Cs 8 J s cos cos cos z 2 2 2
1 B . 0 H
27
由(1)，(2)两式可得

Vc B 1 U 0 B
其中0是真空中的磁导率．由上式可以看出，磁 化率随磁场的倒数作振荡，应是系统内能微商 U/B随1/B作振荡的反映． 当不存在磁场时，能态在波矢空间分布是均匀 的．当由磁场存在时，能态重新分布，磁场的作 用使电子的量子态高度简并，此时电子的状态密 度为 1 2 32 l Vc c 2m 1 N (E) E n c . 2 2 8 2
a kx k y 2


19
3 k, (2) 在[111]方向上 3 且第一布里渊区边界在 k x k y k z a 3ka 3 于是能带化成 E E0 8 J s cos 6 kx k y kz