数学文化期末考试重点（仅供参考）★切记：数学老师喜欢美的事物，so~字迹工整很重要！题型：选择、填空题、计算题、简答题、论述题（不超过300字，阐述主要观点）★课本知识：1、万物皆数说：毕达哥拉斯“数字统治着宇宙”2、符号说：伽利略、希尔伯特；数学是一个符号化的世界3、哲学说：亚里士多德、欧几里得4、科学说：冯·诺依曼；学科的相对独立性5、逻辑说：怀特黑德、罗素、费雷尔；形式逻辑与辩证逻辑；演绎与归纳推理6、集合说：康托尔；集合论；全部数学都能够从公理集合论推导出来集合说是现代数学的基础。

如有序对、关系、等价关系、线序、良序、函数、自然数等等。

7、结构说：张景中三种结构：代数结构、序结构、拓扑结构。

数学是研究相互结构的关联，这种关联反映在变量关系上，如正变化和逆变化、加速变化、收敛变化、周期变化、阶梯变化等。

张奠宙8、模型说：怀特黑德、雷尼数学理论常常是某种具体问题的抽象模型，体现了思维对现实的反应。

加法做合并或移入的模型，减法做拿走比较或逆运算的移出模型；微积分是物理运动的模型；概率论是偶然与必然的模型；欧氏几何是现实空间的模型；非欧几何是超维空间的模型。

9、工具说：扎德、开尔文、康德、怀特黑德数学成就了一切科学：欧氏几何的作用，绘画；经济数学、数量经济学、工程数学、生物数学医学；环境污染防治，数值天气预报10、直觉说：布劳威尔直觉是数学家在进行深入研究时候的一种感受，虽感觉常常“不合”逻辑，但在开创性的研究中，“感觉”更加重要。

仿生学、“红移”、复数的发现。

11、精神说：M·克莱因精神说认为数学是一种精神，特别是理性精神，能够使人类的思维得以运用到最完美的程度。

指人的品格：专业的陶冶；理性优雅。

指对于专业的追求：严谨、刻苦，有的人终生献身于数学。

古希腊的很多优美文学、哲学、建筑学都得益于数学精神。

12、审美说：亚里士多德、冯·诺依曼、罗素、庞加莱从论证的严密性体会数学的严肃美例：几何、代数命题的证明从表达的简洁性体会数学的简约美例：牛顿定律、质能互变定律从表达的对称性体会数学的和谐美例：椭圆、双曲线、抛物线方程等奇异美例：奇点理论13、活动说：彼赛尔职业、兴趣数学起源于人类的各种各样的实践活动。

是一种人文意识、社会意识。

14、艺术说：哈代、A·波莱尔要能鉴赏数学，欣赏数学，能对一个很特殊的思维世界里的种种概念在精神上的雅与美有一种独特的感受力。

15、另外还有：技术说、语言说、游戏说综上所述：数学是研究现实世界中数与形之间各种模型的一门结构性科学。

数学概念中的一些”原始概念”，是一种初始设定，是一种不需要证明的内容。

比如点、线、面，我们只须指出它的所指意义就行了。

数学文化的“三元结构”指的是用如下的“三元结构”的价值体系来确定出一个比较完全的数学文化的体系结构。

所谓数学文化的自在价值，是使数学成为一门学科的那部分实实在在的东西，这部分内容是用概念去界定的，是诸多概念的集合。

三原结构：自在价值（概念）、工具价值（方法）、应用价值（模型）数学文化的”三元结构“图四、数学文化的外延性有哪几种？举例子，至少四个。

（1）数学与文学。

如用数学思维编写诗歌、文学作品，表现一部好作品中井然有序的结构，准确简洁的叙述；运用统计学研究《红楼梦》作者；对《红楼梦》进行统计分析和风格分析；运用频谱分析判断作品的作者。

（2）数学与史学。

把数学方法引入到史学研究中产生了一门新学科——史衡学，是史学研究中的加工、整理更加科学化、准确化，排除较多人为主观因素。

如1986年在上海陆家嘴发现的元朝玉褂中含有一个魔方，这个魔方虽是4阶，却远远超过西安安王府的6阶魔方，改变过去世界上只认为印度才有这种”完全魔方“的说法。

（3）数学与哲学。

同宗同源（4）数学与经济。

比如：交换；数学的极大极小定理成就了“对策论”；“一般均衡理论”；控制理论和递度法。

运用数学建立经济模型；运用数学方法组织、调度、控制生产过程，从数据处理中获取经济信息等。

（5）数学与语言。

如把演绎方法引人语言学，建立代数语言学；借助计算机，对语言进行整理，编纂辞书；计算机风格学被成功应用于”作者考证“的研究中。

朱斯突破关于语言符号“连续性”的传统观念，引入“离散性”。

（6）数学与高科技。

蒸汽机与微积分、定积分与面积计算、微分方程与水土保持；高科技的发展赖于对数学基础的支持与运用。

如在石油勘探中，美国人在数据处理中运用Wiener滤波，在一条河流直下的930km 处，探明一个储量超过10亿桶的大油田；在飞机制造中运用有限元分析结构强度和稳定性；最优法使飞机既省油又提高速度；用概率论解释色盲分布的平稳性等。

五、数学文化的哲学思维有哪几种？具体内容？举例子、体会（1）抽象思维。

是数学思维中最根本、最基础的内容之一，是数学文化中哲学观的灵魂，所谓抽象，就是把同类事件中最关键、最根本的本质性的东西提取出来，并加以归纳，使其具有更大的推广性和普适性。

抽象思维必须是在一个抽象概念中涵盖那个概念所涉及的所有物理现象的本质内容。

例如，七桥问题的解决与运用；又如老师为了更好地使学生理解概念帮掌握概念，往往会采取用具体的例证帮助学生形成概念，从而使学生学会从具体到抽象的思维过程。

比如在集合概念的教学中，抓住集合中元素的确定性，互异性和无序性等内涵，举出定量的实例(包括对象定数、式、图形，人或其他任何事物)让学生对一定数量现象分析比较，抓住事物的属性，归纳出抽象集合概念，使学生容易把握集合概念的内涵，容易形成集合概念。

在学习空集概念时，一定要用实例帮助学生建立空集的定义。

例如举例A=｛X=｜X2 +1=0,X∈R｝,B=｛X｜X2 =0,X∈R｝并予以比较，学生就比较容易接受，再加深对空集概念的理解。

此外，等学到交集运算时，再选择有关例子与习题，进一步充实学生对空集概念的理解。

✦抽象思维中的“七桥问题”：欧拉将两岸及两岛想象为四个点，把七桥想象为七条线，七桥图变成了一个简单的连接四个点的七条线的点线图，七桥问题就成为能否一笔画成此点线图的问题。

除始、终点外，过中间点的线条数是偶数，是一笔画成的一个必要条件，若是奇数，画不成。

最本质--组合拓扑的性质。

（2）逻辑思维。

逻辑思维是人们在认识过程中借助概念、判断、推理等思维反映现实的过程，具有抽象概括、间接反映、借助语言等特征。

逻辑思维作为数学的重要基础始终占据着数学哲学最重要的位置。

数学文化中的逻辑思维具有典型的形式化特征，这种形式化的特征是以一种特殊语言符号的形式出现的，逻辑思维对于推动数学学科的发展具有重要作用。

✦逻辑思维的作用：A、逻辑思维可以用来检验、证明数学真理。

这种检验和证明，主要是借助演绎与归纳的方法鉴别真伪，通过演绎把数学真理从一般推到个别，推到特殊。

通过归纳把个别在推广到一般。

B、逻辑思维可以使数学文化系统化、体系化、科学化。

C、逻辑思维对数学的发展起着重要的作用。

比如数学史上出现的非欧几何、非结合代数、非线性非奇异矩阵等，都是在一种反叛中形成的新的学科点，新的方向。

逻辑思维最大的特点就是在已知条件下获得新的推论。

非欧几何、非结合代数。

（3）形象思维。

✦数学中的形象思维有四个层次：第一个层次为几何思维。

这是最直接的形象思维。

几何图形的点、线、面、空间非常直观、形象。

第二个层次是类几何思维，也就是借助几何空间进行的较为间接的形象思维。

比如非欧空间、高维空间、泛函空间、爱因斯坦的相对论等。

第三个层次是数学思维，亦即对各种数量关系的形象化的感觉，它是一种直观上的想象。

这种数学思维类似于古诗中的”飞流直下三千尺，疑是银河落九天”等。

第四个层次是数学观念的直觉，它类似于第个三层次，但更强调对数学观念性质、相互联系以及重新组合过程的形象化感觉。

数学文化的形象思维，在其过程中主要借助数学想象，这种想象包括视觉想象、听觉想象和触觉想象。

射影几何中著名的帕斯卡“神秘的六线形”定理就是一个典型的形象思维的过程。

充分利用典型，引进联想，产生想象，诱发灵感和直觉，是构思新假设、新理论和新设想不可缺少的重要思维形式。

是从现象到本质，从感性到理性的一种认识过程。

象形法、直述法，“白发三千丈”等等（4）直觉思维。

是指对一个问题未经初步分析，仅依据内因的感知迅速地对问题答案作出判断、猜想、设想，或者在对疑难百思不得其解之中，突然最问题有“灵感和顿悟”，甚至对未来事物的结果有“预感”等直觉思维。

直觉思维是一种心理现象，也是数学研究的一种重要方法。

许多重大的发现都是基于直觉。

欧几里得几何学的五个公设都是基于直觉，从而建立起欧几里得几何学这栋辉煌大厦；哈密顿在散步的路上迸发了构造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨别王冠真假的方法；凯库勒发现苯分子环状结构更是一个直觉思维的成功典范。

（阿基米德--洗澡---阿基米德原理；牛顿—苹果落地—万有引力）✦直觉思维的特点：A、是非逻辑的，不是靠推理和演绎获得的。

B、是突发性，亦即未预料性。

C、极富感情色彩的。

✦数学直觉的一般原则：A、简单性原则B、统一性原则C、对称性原则D、奇异性原则✦体会：数学被人们形容为“思维的体操”。

数学离不开思维，数学所有的结论都是思维的结果。

思维包含逻辑思维、形象思维、空间思维、直觉思维等方面。

许多数学家综合运用这些思维方式和研究方法，在数学领域不断创新，解决数学危机，同时，摧毁和构建了诸多宗教教义，为政治学说和经济理论提供了依据。

1、宏观与微观。

对认识世界来说，哲学往往是着眼于大范围的宏观武器，是望眼镜，它可以无限制的任思维自由飞翔。

数学属于哲学范畴，但如果从对世界的理解与解决问题，从方法上讲，数学学科属于精密科学，属于一种精密性的学问。

数学源于实践，不像哲学那么宏观抽象。

数学学科细致入微，非常容易进入到一些成熟学科中，并从中获得足够丰富的营养基，以拓宽自己的思路，发挥自己的作用。

如果说哲学是望远镜的话，那么数学对于这些学科来说就是显微镜。

数学一旦成功进入到一门学科中，它就无可争辩的获得了对该学科的支配权。

哲学在很大程度上是注重形而上的，数学不仅注重形而上也关心形而下，这种形而下是以社会实践为对象，以求解为目的，然后在基础上演绎、归纳、抽象，形成所谓的形而上。

另外，相对数学本身而言，以函数为例，初中和高中的函数概念有变量说和对应说之分，其实是宏观描述和微观刻画的区别。

初中的变量说，实际上是宏观观察，主要考察它的变化趋势和性态。

高中的对应则是微观的分析。

2、抽象与具体抽象：对概念而言，概念是从实践和具体中抽象出来的，抽象的结果具有一种普遍性，欧几里得的“公设”、“公理”都具有这样的意义，再如点、线；具体：解决问题是具体的，推演过程是具体的。

数学源于时间，又发展于抽象，数学的定义、定理、公设，是基于社会实践的，但却又是高度抽象的。