• 基本原理
• 误差估计
•
简单迭代法
• • •
迭代原理 迭代格式的收敛性判断 收敛速度的度量
•
Newton迭代法
• • • • •
原理 算法步骤（★） 收敛的阶 手工计算（★） newton迭代法的改进
• •
重根时的改进 避免求一阶导数的改进：弦截法
第3章 线性方程组求解
•
线性方程组的求解方法： （★）
•
多项式拟合： y=a0+a1x+…+amxm
（1）
( 3)
• 一般曲线拟合
• 利用最小二乘原理求矛盾方程组的最小二乘解
（会计算） （★） • Ax=b的最小二乘解为：ATAx=ATb
• 基本概念：
• 数值积分（机械求积公式）的一般形式
• 求积公式的代数精度（计算、证明）
A
• 插值型求积公式：
1 • 若矩阵 A 对某个算子范数满足 I A
1
• 迭代法原理及收敛条件：求解 Ax=b （★）
• 充分条件： x=Bx+f， ||B||<1 • 充要条件： x=Bx+f，B的谱半径 ( B ) <1
• Jacobi迭代：
• 公式：x=Jx+f（其中： J=I-D-1A，f=D-1b） • 收敛的条件： （★）
利特尔分解法、克劳特分解法、雅可比迭代法、高斯-塞德尔 迭代法求解
• 第四章
• 习题：16题、20题
• 第五章：
• 习题：4题、7题、8题
• 第六章：
• 习题：1、2、12题
• 算法考查：Guass顺序消元法解线性方程组的解
• •
直接法 迭代法
•
直接法：（各种方法的适用条件、手工计算）
•
Guass顺序消元法
•
n
适用条件：
•
系数矩阵A是严格对角占优的矩阵
|| aii | | aij |, A的每行主对角元的绝对值 同行其余元素的绝对值之和
j i i 1
•
顺序阶主子式为正
•
算法步骤（★ ★ ★ ）
• 列主元Gauss消元法（★） • 选主元的必要性 • 算法的改进 • Gauss-Jordan 消元法 • 思想、方法 • Gauss-Jordan消元法的应用：求矩阵的逆矩阵 • 三角分解法 • Doolittle分解（★） • Crout分解（★） • 追赶法 • 适用于：三对角方程组 • 实质：作Crout分解 • 改进平方根法 • 适用条件：对称正定矩阵 • 计算量减半
第6章 数值积分
k
ba
• 插值求积公式的构造方法（★） • n+1积分结点的插值型求积公式至少具有n次代数精度
• n+1个积分结点构造n阶Newton-Cotes积分公式，若n为偶数则具有n+1
次代数精度
• Newton-cotes公式的构造 • 重点掌握： • 梯形公式 • Simpson公式
• 步骤
f ( n ) ( ) f [ x0 ,, xn ] (n)!
• 估算某点的近似值：
•
Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+…+f[x0,x1,…,xn] (x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)
• Hermit插值
• 基本思想 • 插值多项式的构造方法
• Lagrange型构造法（基函数构造法） • Newton型构造法（重节点的差商）
• 充要条件： ( J ) <1 • 充分条件：||J||<1 • Ax=b的系数矩阵A （非迭代矩阵 J ） ：严格对角占优
• 会手工计算（★）
• 插值的基本概念：
• 插值多项式
• 插值条件、插值点
第4章 插值法
• 插值多项式的存在、唯一性：
• 故Ln(x)与Nn(x)等价
• Lagrang插值多项式（★）
复习
第一章 绪论及误差估计
• 误差的来源、分类（★） • 误差的估计（★）
• 绝对误差、绝对误差限
• 相对误差、相对误差限 • 有效数字
• 和、差、积、商的误差
• 数值计算（近似计算）的基本原则（★）
第2章 非线性方程求根
• 非线性方程求根的基本步骤（★） • 判断根存在性
• 有根区间的隔离
• 根的精确化 • 二分法求根
• 对称性 •
f [ x0 , , xk ] f [ xi0 , , xik ]
n
f ( xi ) f [ x0 , , xn ] i 0 ( x i x0 ) ( x i x i 1 )( x i x i 1 ) ( x i x n )
a n , k n 推论：若f ( x ) Pn ( x ), f [ x0 , , x k ] 0,k n • Newton插值公式的构造（★）
•
迭代法： • 向量与矩阵的范数： （★） ( A) max ∞ | - • 向量范数： 1-范数、 2-范数、 范数 i |
• •
矩阵范数（算子范数）：1-范数、2-范数、∞-范数 矩阵的谱半径： • ρ( A) ≤||A||
1 i n
||A|| < 1，则必有: I±A 可逆、 1 || A || • 矩阵的条件数： cond(A)=||A||||A-1||
• 构造 • 余项
n k 0
f ( x ) l k ( x ) yk (
k 0 k 0 i 0 ik
n
n
n
( x xi ) yk ( xk xi )
• 线性插值、抛物插值公式及其截断误差 lk ( x ) 1
• Newton插值
• 差商及其性质： （★）
• 了解高次插值会产生Runge现象，解决办法：分
段低次插值（★）
• 了解三次样条插值的基本原理
第5章 最小二乘法与曲线拟 合
•Байду номын сангаас最小二乘原理及正规方程组的构造（计算） （★）
n y i n n i 0 n xi .... x im Ty • 对应的正规方程组： CTCa=C n i 0 i 0 xi yi a0 n n n 2 m 1 i 0 .... x i xi xi a1 n i 0 i 0 i 0 T T 2 n n C C n , a a 2 , C y x i yi 2 3 m2 i 0 xi .... x i xi ... i 0 i 0 i 0 ..... .... .... .... n .... am n n n m m m 1 2m x y xi .... xi i i xi i 0 i 0 i 0 i 0 • 解之即得(1）的最小二乘解
• 复化积分
• 原理 • 复化梯形积分、复化Simpson积分（计算）
• Romberg积分公式
• 是外推公式，由复化梯形积分3次外推得到（★）
• Gauss积分：
• n个积分结点的Gauss求积公式可达 2n-1次代数精度（★）
重点例题、习题
• 第一章：
• 例：1-1、1-2、1-14、 • 习题：2、8、17 • 第二章： • 例：2-3、2-5、2-15、 • 第三章： • 例：3-29 • 习题：1，分别用高斯顺序消元法、列选主元高斯消元法、杜