第22卷 第4期2007年12月 北京机械工业学院学报Journa l of Be ijing Institute o fM ach i neryV o.l22N o.4D ec.2007文章编号:1008-1658(2007)04-0013-05含有故障的齿轮系统扭转振动分析朱艳芬1,陈恩利1,申永军1,王翠艳2(1.石家庄铁道学院 机械工程分院,石家庄050043;2.石家庄铁道学院 工程训练中心,石家庄050043)摘 要:建立了故障单自由度齿轮系统扭转振动的数学模型,采用加入脉冲的形式进行故障模拟,并利用数值方法进行对该模型进行仿真,进行定性研究。
作出了系统模型的幅频响应曲线,与无故障时的曲线相比较,发现在低速时脉冲对系统的影响较大。
另外,还对该模型进行了参数研究,分别比较了在不同阻尼比和不同激振力情况下的脉冲对系统幅频曲线的影响。
关 键 词:单自由度直齿轮系统;扭转振动;数值方法;幅频响应曲线;参数研究中图分类号:TH113 文献标识码:AAnalysis of torsional vibration of a spur gear system w ith faultsZHU Y an-fen1,C H E N Een-li1,SH E N Yong-jun1,WANG Cu-i yan2(1.Schoo l ofM echan i calEng i neeri ng,Shiji az huang Rail w ay Ins tit u te,Sh iji az huang050043;2.Eng i neeri ng Tra i n i ng C enter,Sh iji az hu ang Rail w ay I n stitute,Sh ijiazhuang050043)Abstract:The torsional v i b ration m odel o f the spur sing le-DOF gear syste m w it h fau lts is bu il,t and the for m o f the pulses is adop ted to si m u late the faults.Th i s m ode l is ca lculated by usi n g the num erica l m ethod.The response o f the m ode l is ana lyzed,and the Am p litude frequency Curves are p l o tted,and t h e greater fl u ence of the pu lse is found in the lo w frequency.The para m eters of the mode l are researched, and the Am plitude-frequency Curves under vari o us da m pi n g ratio and under vari o us exc iting-v ibration force are co m pared respectively.Key w ords:spur si n gle-DOF gear syste m;torsi o na l v ibration;num erica lm ethod;t h e Am plitude-fre-quency Curves;para m eters study齿轮作为机械系统中的重要传动装置,在机械、化工、航天等行业的装备中起着非常关键的作用。
为了满足航空、航天及机器人等技术发展的需要,采用传统的线性分析和控制理论已难以满足这一要求。
由于零部件间的间隙、运动负重的摩擦及时变刚度等因素,实际的齿轮传动系统都是非线性系统,传统的线性分析和控制是对其进行的一种近似处理,只有对齿轮传动系统实施非线性分析和非线性控制才能获得精度高、振动小和噪声低等性能的齿轮传动系统。
齿轮的工作状态正常与否对运动和动力的传输具有重要的影响[1]。
因此,研究齿轮系统的动力学与故障诊断具有重要的理论价值和工程意义。
关于带故障的齿轮系统动力学建模及动力学分析则见于Parey的文章[2],其中的缺陷主要包括摩擦、磨损、点蚀和剥落等,介绍了带有故障的各种齿轮动力学模型等,另外,Kuang[3]等人建立了考虑齿面磨损的齿轮动力学方程,齿面磨损会影响啮合过程中的齿面轮廓,从而会影响到啮合刚度、阻尼力以及摩擦力等,这样将会使得系统的方程非常复杂。
本文从单自由度齿轮系统入手,经过模型简化,模拟了齿轮系统故障引起的刚度变化后的齿轮模型,并定性地分析了其动力学特性。
1故障单自由度齿轮系统理论模型首先建立正常直齿轮副扭转振动的数学模型。
扭转振动模型是仅考虑系统扭转振动的模型,在齿轮系统的振动分析中,若不考虑传动轴的横向和轴向弹性变形以及支承系统的弹性变形,则可将系统简化成纯扭转的振动系统,在实际工程中许多复杂收稿日期:2007-09-04基金项目:国家自然科学基金资助项目(10602038)作者简介:朱艳芬(1976-),女,河北藁城人,石家庄铁道学院机械工程分院硕士研究生,主要从事机械系统动力学控制等研究。
北京机械工业学院学报第22卷的动力学系统都将简化为弹簧质量系统。
如图1所示,做如下假设:认为传动轴和轴承均为刚性,忽略齿轮的各项误差,包括制造误差和安装误差,根据牛顿第二定律,主动轮和从动轮的运动微分方程分别为[4]:I a d 2q a d t2+c(R ad q a d t -R b d q bd t )R a +R a K ( t )f(R a q a -R b q b )=T a(1)I b d 2q a d t2-c(R a d q a d t -R b d q bd t )R b -R b K ( t )f (R a q a -R b q b )=-T b(2)其中:I a 主动轮的转动惯量;I b 从动轮的转动惯量; a 主动轮的角位移; b 从动轮的角位移;R a 主动轮的基圆半径;R b 从动轮的基圆半径;T a 主动轮所受扭矩;T b 从动轮所受扭矩; t 时间;c 齿轮啮合的粘性阻尼系数。
图1 单自由度直齿轮副模型引入新变量 x =R a a -R b b ,式(1)和式(2)可以改写为[5,6]m d 2 x d t2+c dx d t +k (1+2 cos t)f ( x )= F (3)其中m =I a I bI b R 2a +I a R 2b为等效质量,间隙函数f ( x )= x -b x >b0-b x b x +b x <-b ,传递的载荷 F =T a R a =T bR b,时变刚度为K ( t )=k (1+2e cos t ),2b 为齿轮间隙长度[7]。
对方程(2)进行无量纲化处理,令:x =x b, n =km,t = n t , =c 2m n , = n ,f 0=F bk方程(2)可以改写为d 2x d t2+2e m d xd t +(1+2e cos t)f (x )=f 0(4)式(3)中 为阻尼比, 为刚度系数,反映间隙的非线性函数为f (x )=x -1x >10-1<x 1x +1x -1在建立正常齿轮系统数学模型的基础上,设齿轮系统按照每周期平均受到10个脉冲的作用,这些脉冲可以近似模拟齿轮的磨损、点蚀等故障,这些故障的存在会影响到齿轮的刚度系数,因而把这些脉冲加在系统的时变刚度系数上,即式(3)中的时变刚度系数变为(1+Ag (t)+2 cos t),其中A 取小于1的负值,其绝对值表示齿面受到故障程度的相对大小,而g (t)为周期脉冲函数,定义为g (t)=1t/(2 / )/10为整数0t /(2 / )/10不为整数则方程(4)变为d 2x d t2+2e m d xd t +(1+Ag (t)+2e cos t)f(x )=f 0(5)其中 f (x )=x -1x >10-1<x 1x +1x -1g (t)=1t /(2 / )/10为整数0t/(2 / )/10不为整数2基于数值方法的幅频特性分析根据文献[8]为方程(5)选取参数: =0.05,f 0=0.9。
另外取 =0.1。
利用数值方法,采用MATLAB 对方程(5)进行求解计算,利用4-5阶变步长Runge -Ku tta 法积分足够长时间,使齿轮系统达到稳态,取出解的最大、最小值,做出位移-频率曲线,进行幅频特性的研究。
2.1首先考虑正常齿轮系统,即取A =0利用以上数值方法,得到无故障齿轮系统典型的幅频曲线,如图2和图3所示。
14第4期 朱艳芬等:含有故障的齿轮系统扭转振动分析图2 幅频曲线Xma x- 图图3 幅频曲线X m i n- 图2.2作出当脉冲A=-0.5时的幅频曲线,并与A=0进行比较。
图4 幅频曲线Xma x- 图图5 幅频曲线X m i n- 图如图4和图5所示,其中实线代表故障A=-0.5,点滑线表示无故障状态。
图6 幅频曲线低速段比较Xm ax - 图图7 幅频曲线低速段比较X m in- 图15北京机械工业学院学报 第22卷由幅频曲线可以看出,加入脉冲后与正常齿轮比较,在低速阶段影响比较明显(如图6和图7),可以看到,由于故障的存在,低速时段的峰明显增多,齿轮系统易于出现各阶高阶超谐响应和亚谐响应,使系统的响应更加复杂。
另外可以发现在共振区域( =1附近),加入脉冲的齿轮系统会在比正常齿轮更为低的频率发生双边碰撞。
3研究参数对故障齿轮系统幅频曲线的影响3.1阻尼比的影响首先固定 =0.05和f0=0.9,分别取 =0.1, 0.8和1.2,A=-0.5,所得结果如图8和图9,其中实线表示 =0.1,点线表示 =0.8,点滑线表示 =1.2。
考虑到脉冲对低速时齿轮系统的影响,因此也取低速段进行比较,如图10和图11。
图8 幅频曲线Xm ax- 图图9 幅频曲线X m in- 图图10 低速时 =0.1,0.8和1.2Xm ax- 图图11 低速时 =0.1,0.8和1.2X m i n- 图分析幅频曲线,由图可以看出:随着阻尼比的增大,系统响应的最大值逐渐减小,而最小值逐渐增大,当阻尼比增大到一定值时,双边碰撞的现象消失,阻尼比继续增大,齿轮系统的单边碰撞也会随之消失,系统响应的无量纲幅值恒大于1,由此可见增加阻尼可以控制齿轮系统的碰撞行为。
在低速阶段,受脉冲的影响较大,尤其在谐波附近,随着阻尼比的增大,谐波的峰值明显降低。