例3 已知y=2x2+4.
(1)求当x取 1 和- 1 时的函数值;
22
(2)求当y取10时x的值.
解析
(1)当x= 12 时,y=2×
1 2
2
+4= 9 .
2
当x=- 12 时,y=2×

1 2
2

+4= 9 .
2
(2)当y=10时,有2x2+4=10,即x2=3,解得x=± 3 .
根式型 综合型
等号右边是二次根式
y= x 3
等号右边同时有分式、二次
x2
y= x 5
根式或零指数幂等
使根号下的式子大于或等于 0的实数
使各部分都有意义的实数的 公共部分
2.当用函数解析式表示实际问题时,自变量的取值不但要使函数解
析式有意义,还必须符合实际意义.
例4 求下列函数中自变量x的取值范围.
答案 B 把h=2代入T=21-6h,得T=21-6×2=9.故选B.
5.在函数y=3x+4中,当x=1时,函数值为 为10.
,当x=
时,函数值
答案 7;2
解析 当x=1时,y=3x+4=3×1+4=7.当函数值为10时,3x+4=10,解得x=2.
知识点三 自变量的取值范围
6.(2018江苏宿迁中考)函数y= 1 中,自变量x的取值范围是( )
x 1
A.x≠0 B.x<1 C.x>1 D.x≠1
答案 D 根据分式有意义的条件得x-1≠0,解得x≠1.故选D.
7.(2018江苏徐州泉山三模)下列函数中,自变量x的取值范围是x>3的是
( )
A.y=x-3
B.y= 1
x3
C.y= x 3
D.y= 1 x3
答案 D A.x的取值范围是一切实数;B.x的取值范围是x≠3;C.x的取 值范围是x≥3;D.x的取值范围是x>3.
题型一 用表格表示两个变量的关系
例1 父亲告诉小明:“距离地面越高,温度越低.”并给小明出示了下面
的表格.
距离地面的高度(km) 0
1
2
3
4
5
温度(℃)
20
14
8
2
-4
-10
根据上表,父亲还给小明提出了下面几个问题,请你帮小明回答下列问题. (1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量? (2)如果用h表示距离地面的高度,用T表示温度,那么随着h的变化,T是怎 样变化的? (3)你能猜出距离地面6 km的高空温度是多少吗?
解析 (1)表格反映了温度和距离地面的高度两个变量之间的关系,距 离地面的高度是自变量. (2)如果用h表示距离地面的高度,用T表示温度,那么随着高度h的增大, 温度T逐渐减小. (3)由表格发现距离地面的高度每上升1 km,温度下降6 ℃,所以距离地 面6 km的高空温度是-16 ℃.
题型二 求解析式中自变量的取值范围
解题归纳 当函数用关系式表示时,求函数值的实质就是求代数式的
值;若已知函数值,欲求自变量的值,实质就是解方程.
知识点三 自变量的取值范围 1.不同类型的函数解析式中自变量取值范围的求解方法
类型 整式型 分式型
特点
举例
等号右边是整式
y=2x2+3x-1
等号右边的自变量在分母上 y= x11
取值范围 全体实数 使分母不为0的实数
例2 下列变量间的关系是函数关系的是
.
①长方形的长与面积;②圆的面积与半径;
③y=± x ;④S= 1 ah中的S与h.
2
解析 ①因为长方形的长、宽、面积都不确定,有三个变量,所以长方
形的长与面积不是函数关系.②因为圆的面积公式为S=πr2,当半径r取一
个确定的值时,面积S就唯一确定,所以圆的面积与半径是函数关系.③当
例2 函数y= x -(x-2)0中,自变量x的取值范围是
.
x3
解析 根据题意得,被开方式x≥0,分母x-3≠0且底数x-2≠0,解得x≥0且
x≠3且x≠2.
答案 x≥0且x≠3且x≠2
易错点 求自变量的取值范围时,忽略了实际意义的限制 例 等腰三角形的周长为20,腰长为x,底边长为y,求y与x之间的函数解 析式及自变量的取值范围.
解析 (1)根据函数的定义可知,对于底面半径的每个值,都有一个确定 的体积的值按照一定的法则与之相对应,所以自变量是底面半径,因变 量是体积. (2)体积增加了(π×102-π×12)×3=297π cm3.
2.(2018湖北咸宁咸安模拟)若函数y=
x2

2( x

2),
则当函数值y=8时,自
2x(x 2),
变量x的值等于
.
答案 4或- 6
解析 ①当x≤2时,x2+2=8,解得x=- 6 ; ②当x>2时,2x=8,解得x=4. 综上,x为- 6 或4.
3.某剧院的观众席的座位分布呈扇形,且按下列方式设置:
排数(x)
1
2
3
4
…
座位数(y)
50
53
56
59
…
(1)按照上表所示的规律,当x每增加1时,y如何变化;
答案 C 易知在这个变化过程中,自变量是温度,因变量是声速,∴选 项A中说法正确.根据题表可得,温度越高,声速越快,∴选项B中说法正 确.∵342×5=1 710(m),∴当空气温度为20 ℃时,声音5 s可以传播1 710 m, ∴选项C中说法错误.∵324-318=6(m/s),330-324=6(m/s),336-330=6(m/s), 342-336=6(m/s),348-342=6(m/s),∴当温度每升高10 ℃,声速增加6 m/s, ∴选项D中说法正确.故选C.
正解 根据题意,得y与x之间的函数解析式为y=20-2x,自变量x应满足的
x 0,
条件为20 2x 0, 解得5<x<10,即自变量的取值范围是5<x<10.
x x 20 2x,
错解 y与x之间的函数解析式为y=20-2x,自变量x的取值范围是x>0. 错解警示 忽略了三角形的三边关系,导致求自变量的取值范围出错. 在求实际问题中函数自变量的取值范围时,注意自变量的取值既要使函 数解析式有意义,又要符合实际意义.
(2)写出座位数y与排数x之间的关系式;
(3)按照上表所示的规律,某一排可能有90个座位吗?说出你的理由.
解析 (1)由题表中的数据,可知当x每增加1时,y增加3.
(2)由题意可得y=50+3(x-1)=3x+47(x为正整数).
(3)某一排不可能有90个座位.
理由:当y=3x+47=90时,解得x= 43 .因为x是正整数,而 43 不是正整数,故某
(1)y=2x-3;(2)y=3x2-4x+1;(3)y= 1 ;
x 1
(4)y= x ;(5)y= x 2 .
x3
x 1
分析 (1)(2)等号右边是整式,x可为任意实数;(3)要保证分母不为零;(4) (5)要保证被开方数为非负数且分母不等于零.
解析 (1)x的取值范围为一切实数. (2)x的取值范围为一切实数. (3)由题意得x+1≠0,所以x的取值范围为x≠-1. (4)由题意得x+3≥0且x+3≠0,所以x的取值范围为x>-3. (5)由题意得x+2≥0且x-1≠0,所以x的取值范围为x≥-2且x≠1.
2.(2018山东潍坊诸城期末)圆锥的底面半径r=2 cm,当圆锥的高h由小到 大变化时,圆锥的体积V也随之发生了变化,在这个变化过程中,变量是
. 圆锥的体积公式:V= 1 πr2h
3
答案 V,h 解析 在变化过程中,底面半径r=2 cm,不发生改变,是常量,体积V随高 度h的变化而变化,故V,h为变量.
知识详解
(1)对函数定义的理解把握三点:①有两个变量;②一个变量的值随另一个变量的 值的变化而变化;③对于自变量的每一个确定的值,函数有且只有一个值与之对 应. (2)函数表示的是两个变量之间的一种关系,而函数值是一个数值. (3)判断两个变量是否具有函数关系,不能只看是否有关系式存在,因为有些函数 关系是没有关系式的
初中数学（人教版）
八年级 下册
第十九章 一次函数
第十九章 一次函数
知识点一 常量与变量
名称 变量
定义
区别
举例
在一个变化过程中,数值发生变化的 “变量”是可以变化的, S=πR2中,S、R是变量,π
量叫变量
而“常量”是已知数 是常量
常量
在一个变化过程中,数值始终不变的 量叫常量
温馨提示 变量和常量往往是相对的,对不同的研究过程而言,其中的变量和常量是不相同的,变量与 常量的身份是可以相互转换的
x=1时,y有±1两个值与之对应,即当x取一个确定的值时,y的值并不唯一,
所以y=± x 不是函数关系.④因为a不确定,所以S= 1 ah中有S、a、h三个
2
变量,故S与h不是函数关系.
答案 ②
解题归纳 本题考查函数关系的确定,根据函数的定义确定是不是两个 变量,且当一个变量取一个值时,另一个变量是否有唯一值与之对应.
2.如图,圆点是有规律地从里到外逐层排列的.设y为第n层(n为正整数)
圆点的个数,则y与n之间的函数关系式为y=
.
答案 4n 解析 对于每一个n的值,y都有唯一的值和它相对应,可以发现:每层圆 点的个数是所在层数的4倍,则y与n之间的函数关系式是y=4n.
3.一台式弹簧秤的弹簧原长为12 cm,它能称的质量不超过20 kg,并且每
例1 指出下列各式中的变量与常量. (1)圆的周长公式:C=2πr(C是周长,r是半径); (2)匀速运动路程公式:s=vt(v表示速度,t表示时间,s表示路程).