数据处理例题
例1．用钢直尺测量千分尺盒的长度了l ，选择不同的起点测量10次，用不确定度表示测量结果。
（列表法，直接测量量不确定度计算）
解：（1）计算平均值：10
1
112.535cm 10i i l l ===∑； （2）计算A 类不确定度()0.1cm A u l =
=；
（3）计算B 类不确定度()B u l ∆=
=
； （4）计算合成不确定度()0.1cm u l =
=；
（5）测量结果表示：()(12.50.1)cm l u l =±=±；()
()100%0.8%r u l u l l
=
⨯=
例2．用螺旋测微器测量小钢球直径d ，选择不同的位置测量10次，再根据测量结果计算小钢球体积V ，用不确定度表示测量结果。
（列表法，间接测量量不确定度计算）
螺旋测微器零点读数：d 初= +0.025 mm
解：（1）计算d 的平均值并修正：初初
修
d d d d d i i -=-=∑=10
1
101 = 12.4948mm （2）计算V 的平均值：3
16
V d π=
修
= 1020.8603mm 3； （3）计算直径d 的A 类不确定度()0.0032mm A u d =
= ；
（4）计算直径d 的B 类不确定度()0.0023mm B u d ∆=
=
=； （5）计算直径d 的合成不确定度()0.004mm u d ==；
（6）计算体积V 的合成不确定度231()()1mm 2
u V d u d π=
=修 ； （7）测量结果表示：3
()(10211)mm V V u V =±=±；
()
()100%0.1%r u V u V V
=
⨯=
例3．用液体静力称衡法测量一铝块的密度，计算公式01
m
m m ρρ=
-，测得铝块质量(27.060.02)m g =±，铝块浸没水中的质量1(17.030.02)m g =±，水的密度查手册
30(0.99970.0003)g/cm ρ=±，试求铝块的密度测量结果。
（间接测量量不确定度计算） 解：根据公式有
3
0127.06
0.9997 2.6971g/cm 27.0617.03m m m ρρ=
=⨯=--
对上式两边求对数可得：
0011
ln ln(
)ln ln ln()m
m m m m m ρρρ==+---
两边求微分：
0101
01011
01101
1
111d d d d()1111d d d d 1111(
)d d d m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ρρρ
ρρρρρ=+---=
+-+--=-++-- 用不确定度取代微分，并用方和根合成：
1
()u ρρ=
()u ρ=已知：1133
027.06g ()0.02g 17.03g ()0.02g 0.9997g /cm ()0.0003g /cm m u m m u m u ρρ==⎧
⎪
==⎨
⎪==⎩
代入上式，可得：
3()0.006g /cm u ρ=
测量结果可以表示为：
3(2.6970.006)g/cm ρ=±
()
()100%0.22%r u u ρρρ
=
⨯=
例4．用受力拉伸法测定弹簧的倔强系数。
已知在弹性限度内，伸长量 x 与所受拉力 F 之
逐次相减的数据可以判断 ∆L i = L i+1 - L i 基本相等，验证了 L i 与 F 的线性关系。
实际上，这一“逐差验证”工作，在实验过程中可以随时进行，以判断测量是否正确。
但是，如果要求每增加 10 g 砝码时弹簧的平均伸长量，用上述逐项相减，再求平均值时，有：
i
10217676()()()()
0.80cm 77
L
L L L L L L L L L n
∆-+-++--∆=
=
==∑
中间数据全部抵消，只有始末两次测量起作用，与一次增加 70g 砝码的单次测量等价！
通常采用的方法是采用多项间隔相减，即将上述数据分成高组（L 7 ， L 6 ， L 5 ， L 4 ）和低组（ L 3 ， L 2 ， L 1 ， L 0）然后用对应相减求平均值：
736251401
[()()()()] 3.21cm 4
L L L L L L L L L ∆=-+-+-+-=
于是各个数据全部用上了。
相当于重复测量 4 次，每次负荷 40g 砝码。
这样处理可以充分利用测量数据，保持了多次测量的优点，减小了测量误差。
化如表所示。
请用作图法作 R-t 直线，并求R 0、R 0a 值。
（图解法）
分析：由表格可知：
t max - t min = 50.0-15.0 = 35.0（℃） R max - R min = 31.62-28.05 = 3.57（Ω） 即温度 t 的变化范围为 35℃ ，而电阻值 R 的变化范围为 3.57Ω。
根据坐标纸大小的选择原则 ，既要反映有效数字又能包括所有实验点 ，选 “ 40 格 × 40 ” 格的图纸。
取自变量 t 为横坐标，起点为 10℃，每一小格为 1℃；因变量 R 为纵坐标，起点为
28Ω，每一小格为0.1Ω，描点连线图，得 R-t 直线如图所示。
在直线上取两点（19.0，28.42）、（43.0，30.86）则： o 210a 2130.8628.42
0.102 /C 43.019.0
y y R x x --=
==Ω--
211202143.028.4219.030.86
26.5
43.019.0
x y x y R x x -⨯-⨯=
==Ω-- 26.40.102 R t =+Ω故有：（）
化如表所示。
请用最小二乘法计算相关系数并求R 0、R 0a 值。
（最小二乘法）
解：
令y = R ，x = t ，R 0 = b ，R 0a = k ，根据公式可以计算： 相关系数：
r =
斜率：
0a 2
2
x y xy
R k x x -==
-=0.1008
截距：
0R b y k x ==-=26.54
故有：
26.540.1008 R t =+Ω（）。