证明圆的切线方法及例题
证明圆的切线常用的方法有：
一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.
例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.
求证：EF与⊙O相切.
证明：连结OE，AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.
AB=BC，又∵
4.
3=∠∴∠
⌒⌒，∠1=∠2. ∴BD=DE 又∵OB=OE，OF=OF，
∴△BOF≌△EOF（SAS）.
∴∠OBF=∠OEF.
∵BF与⊙O相切，
∴OB⊥BF.
0. ∴∠OEF=90
∴EF与⊙O相切.
说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
1
例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.
求证：PA与⊙O相切.
证明一：作直径AE，连结EC.
的平分线，AD是∠BAC ∵
DAC. ∠∴∠DAB=
，∵PA=PD
DAC. ∠∠1+ ∴∠2=
，∠DAB∵∠2=∠B+
B. ∠∴∠1=
E，又∵∠B=∠
E 1=∠∴∠
O的直径，∵AE是⊙
0. E+∠EAC=90 ∴AC⊥EC，∠
0. 1+∠EAC=90 ∴∠
PA. ⊥即OA
. 相切与⊙O ∴PA
OE. OA，E交⊙O于，连结证明二：延长AD
的平分线，∵AD是∠BAC ⌒⌒
∴BE=CE，
∴OE⊥BC.
0. BDE=90E+∠∴∠
∵OA=OE，
∴∠E=∠1.
∵PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA.
又∵∠PDA=∠BDE,
2
0∴∠1+∠PAD=90
PA. ⊥即OA
相切PA与⊙O ∴. 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用说明：M ⊥DMAC于O交BC于D，3 例如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙. 与⊙O相切求证：DM
OD. 证明一：连结∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
，∵OB=OD
∠B.
∴∠1=D
C. ∴∠1=∠∴OD∥AC.
，∵DM⊥AC
OD. DM ∴⊥相切O ∴DM与⊙AD. OD证明二：连结，
是⊙ABO的直径，∵BC. ⊥AD ∴AB=AC,
又∵
2. ∠∴∠1= ∵DM⊥AC，
0∴∠∠4=902+ OA=OD，∵ C
3. 1=∠∴∠
0.
∴∠4=903+∠3
DM. OD⊥即
O 的切线∴DM 是⊙证明二是通过证两角互余证明垂直的，证明一是通过证平行来证明垂直的.说明：.
解题中注意充分利用已知及图上已知0，CAB=30BD=OB，O的直径，点C在⊙O上，且∠4 例如图，已知：AB是⊙.
的延长线上D在AB 的切线DC是⊙O求证：BC. 、证明：连结OC
OA=OC，∵
0. 30A=∠1=∠∴∠0. ∠A+∠1=60 ∴∠BOC=D
又∵OC=OB，
. ∴△OBC是等边三角形
OB=BC. ∴
OB=BD，∵OB=BC=BD. ∴
CD. ⊥∴OC
.
是⊙∴DCO 的切线
但这种方法较此题解法颇多，说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，.
好2OP. =OD，且CD⊥ABOA·的直径，如图，例5 AB是⊙O. 的切线是⊙求证：PCOOC 连结证明：2，OA=OC∵OA=OD·OP，
2 OPOC ∴=OD·，4
OCOP
?. OCOD又∵∠1=∠1，
∴△OCP∽△ODC.
∴∠OCP=∠ODC.
∵CD⊥AB，
0. ∴∠OCP=90
∴PC是⊙O的切线.
说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的
例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.
求证：CE与△CFG的外接圆相切.
分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.
证明：取FG中点O，连结OC.
∵ABCD是正方形，
∴BC⊥CD，△CFG是Rt△
∵O是FG的中点，
∴O是Rt△CFG的外心.
∵OC=OG，
∴∠3=∠G，
∵AD∥BC，
∴∠G=∠4.
∵AD=CD，DE=DE，
0，ADE=∠CDE=45 ∠∴△ADE≌△CDE（SAS）
5
∴∠4=∠1，∠1=∠3.
0, 3=902+∠∵∠
0. 2=901+ ∠∴∠即CE⊥OC.
∴CE与△CFG的外接圆相切
二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”
例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.
求证：AC与⊙D相切.
. 是垂足AC，F连结证明一：DE，作DF⊥的切线，AB是⊙D ∵
AB. ⊥∴DE
，⊥AC ∵DF
0. ∠DFC=90 ∴∠DEB=
AB=AC，∵C.
B=∠∴∠
BD=CD，又∵
）CDF（AAS ∴△BDE≌△
DF=DE. ∴
. 上在⊙D ∴F
的切线AC是⊙D ∴. F是垂足AC，AD，作DF⊥，证明二：连结DE D相切，与⊙∵ABAB.
⊥∴DE BD=CD，，∵AB=AC
2.
∴∠1=∠6
，⊥AC⊥AB，DF ∵DEDE=DF. ∴
. D 上∴F在⊙.
D 相切∴AC与⊙的，证明二是利用角平分线的性DF=DE证明一是通过证明三角形全等证明说明：.
的，这类习题多数与角平分线有关质证明DF=DE0. COD=90BD，若∠切于例8 已知：如图，AC，BD与⊙OA、B，且AC∥.
CD是⊙O的切线求证：. ，E为垂足证明一：连结OA，OB，作OE⊥CD
相切，∵AC，BD与⊙OOB. AC ∴⊥OA，BD⊥∵AC∥BD，0. ∠4=1801+∴∠∠2+∠3+
0，∵∠COD=90 O
00. ，∠1+4=90 ∴∠2+∠3=90∠0. ∠5=90∵∠4+5.
1=∠∴∠BDO. △∴Rt△AOC∽Rt OCAC?. ∴ODOB∵OA=OB，ACOC?. ∴ODOA0，∠COD=90又∵∠CAO=
∴△AOC∽△ODC，
∴∠1=∠2.
又∵OA⊥AC，OE⊥CD,
7
OE=OA. ∴
. O 上∴E点在⊙
.
O的切线∴CD是⊙
F. CA延长线于，延长DO交OB，作OE⊥CD于E证明二：连结OA，相切，BD与⊙O ∵AC，
OB. BD ⊥∴AC⊥OA，BD，∵AC ∥BDO. F= ∠∴∠OA=OB ，又∵AAS）AOF ≌△BOD （∴△OF=OD. ∴
0∵∠COD=90 ，2. ∠∴CF=CD ，∠1=
，OE⊥CD AC 又∵OA⊥，OE=OA. ∴
. 上E 点在⊙O∴.
是⊙O的切线CD∴
OF. F，连结中点CD于E，取CD并延长，作证明三：连结AOOE⊥OAC与⊙相切，∵AO. ∴AC ⊥BD，AC∵∥BD.
AO⊥∴，与⊙O相切于B ∵BD
B. AO 的延长线必经过点∴.
O∴AB是⊙的直径OA=OBBDAC ∵∥，，CF=DF，8
∴OF∥AC，
∴∠1=∠COF.
0，CF=DF，∵∠COD=901CD??CFOF. ∴2∴∠2= ∠COF.
∴∠1= ∠2.
∵OA⊥AC，OE⊥CD ，
∴OE=OA.
∴E点在⊙O 上.
∴CD 是⊙O 的切线
说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.
以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考. 9。