i i
pi— 极点
Ai— 待定系数
第二节 采样控制系统的数学基础
例 求F(s)的z变换F(z)。
1 F (s)= S(S+1) 1 1 – 1 解： F (s)= S(S+1) = S S+1
z z – F (z)= z–1 z– e – T z(1–e –T ) = (z–1)(z–e–T )
第二节 采样控制系统的数学基础
三、Z 变换的基本定理
四、Z 反变换 五、差分方程极其求解
第二节 采样控制系统的数学基础
一、Z变换的定义
连续函数 f(t)的拉氏变换为 z = e Ts 引入新变量 +∞ –st dt F (s) =∫ f ( t ) e F (z)= 0Σ + f (kT) z–k 则 k=0 *(t )= f(t )δ(t – kT ) f 离散函数： Σ k=0 F(z)为f*(t)的Z变换，记作 对离散函数求拉氏变换 F (z+) = Z[ f *(t) ] ∞ –st dt f ( t )δ( t – kT )] [ F*(s )=∫ e Σ 0
一、采样控制系统的基本结构 二、采样过程与采样定理
三、采样信号的复现
第一节 采样控制系统的基本概念
一、采样控制系统的基本结构
e(t) —连续信号 e*(t) —离散信号 通过采样开关对连续信号采样得离散 信号，相应的系统称为采样控制系统。 T—采样周期
采样控制系统典型结构图
r(t)
e(t)
–
e*(t) 脉冲控制器 保持器 对象
r(t) r(t) – e(t)
数字控制系统结构图 Sa
T 计算机 e(kT) D/A和 检测元件 计算机 保持器 检测元件 保持器 对象 采样开关 和A/D
c(t) c(t) 对象
– b(t)
第一节 采样控制系统的基本概念
二、采样过程与采样定理
1．采样函数的数学表示
采样过程如图所示： t < 0 时，e(t) = 0 通过采样开关，将连续信号转变成离 + e(t) e*(t) δ (t) * 散信号。采样过程为理想脉冲序列 δT(t) 对 e (t )=e(t ) Σ δ(t – kT) 则 k=0 + e(t)幅值的调制过程。 = Σ +e(t )δ(t – kT) k=0 t) δT(t )= t δ( t – kT t 0 0 TΣ 2T 3T 0 T 2T 3T =e(0 )δ(t )+e(T)δ(t -Tk=)+e(2T)δ(t -2T)+ · · ·
8
]
第二节 采样控制系统的数学基础
2．部分分式展开法
Ai 的拉氏变换为 Ai 如果已知连续函数 f(t) 基于 Z[ s–P ]= 1–ep Tz -1 i 展开成部分分式之和 F(s) ，则可将F(s) n 的形式，然后求F(z)。 Ai 得 F (z)= Σ p Tz -1 i=m 1 1–em b0s +b1s –1+· · · +bm 设 F (s)= sn–a sn–1+· · · +an 1 n Ai n>m =Σ i=1 S– Pi
例 求F(s)的z变换F(z)。 1 F (s)= 2 S (S+1) 1 1 – 1 1 解： F (s)= 2 + = 2 S (S+1) S S S+1 Tz – z z F (z)= (z–1)2 z–1 + z– e – T
第二节 采样控制系统的数学基础
3．留数计算法
已知连续函数f (t) 的拉氏变换F (s) 及其全部极点pi ,F(z)可由留数计算公式 求得:
z
z
T Z[a1 f1(t) ± a2 Tz f2(t)] = a1 F1( z) ± a2 F2(z) -1 = (z–1)2 z = (z–1)2 a1和a2为常数
2．滞后定理
Z[ f (t – k1T )] = Z – k F(z)
1
第二节 采样控制系统的数学基础
例 求te-at 的Z 变换。 3．超前定理
S=-1
S=-2
2+z(e-T -2e-2T ) z z 2z – F (z)= = – 2T – T z– e z– e z2-(e-T +e-2T )z+e -3T
第二节 采样控制系统的数学基础
三、Z变换的基本定理
1. 线性定理
z变换的运算 例 z变换的基本定理为 求 Z [ t –T ] 提供了方便。 解 ： Z[ t –T ] = Z[ t ] ·z -1
n
F (z)=∑ i=1
1 d r -1 z r (r–1)! dsr -1 [(s-pi) F(s) z–e sT ]
i i i
s=pi
式中 ：
ri 为s=pi 的重极点数
第二节 采样控制系统的数学基础
例 求F(s)的z变换F(z)。 S+3 (S+1)(S+2) z S +3 解： F(z)=(S+1) (S+1)(S+2) z–eST z S +3 +(S+2) (S+1)(S+2) z–eST F (s)=
第一节 采样控制系统的基本概念
恒值外推原理：把采样时刻kT的采样值 e(kT)保持到下一 个采样时刻(k+1)T。 kT≤ t ≤(k + 1)T
e*(t)
eh (t ) = e(kT)
零阶保持器的输入输出特性
eh(t) e*(t)
零阶 保持器
eh(t)
0
k (k+1)
t
0
k (k+1)
t

第一节 采样控制系统的基本概念
k=0
+ 8
第二节 采样控制系统的数学基础
（4）单位斜坡函数 f (t) = t
+ 8
f (kT) = kT
F (z) = Σ f (kT) z-k k=0 = Tz-1 + 2Tz-2 + 3Tz-3 + · · · Tz-1 = (1– z-1 ) 2 = Tz 2 (z – 1 ) |z|> 1
+ 8
第二节 采样控制系统的数学基础
(1) 单位阶跃函数 f (t) = 1(t)
+ 8
f (kT) = 1(kT) =1
F (z)= Σ f (kT) z-k = 1+ z-1 + z-2 + z-3 + · · · k=0 1 z = = -1 z–1 1–z
|z|> 1
第二节 采样控制系统的数学基础
零阶保持器的单位脉冲响应曲线 g (t) (t) -g jω T 1 – e 频率特性： Gh (jω)= jω 1 1 相频特性： – j[1-cos(ωT)+j sin(ω T T)] 0 0 -1 -[1-cos(ωT)] ωT t = T ∠G ( jω )= tg ω t h sin(ωT-1 ) =- 2 sin(ωT)– j[1-cos(ωT)] = 零阶保持器的单位脉冲响应为： 传递函数中的 e-TS 展开为级数形式 ω 幅频特性： g-Ts t )-1(t-T) 1 1-e 1 h (t )=1( (1 – ) Gh (s)= 2(ω 2 = 2 2 sin T ) + [1-cos( ω T )] S 1+Ts+T S /2+· · · S |零阶保持器的传递函数： Gh ( jω) | = ω T–e –Ts –Ts 1 1 e 1 1 ~ (1 – ) = ωT 2 ~G – )= 1 = sin Ts +S1 = sh (s + Ts S 2 ωS
c(t)
反馈
第一节 采样控制系统的基本概念
连续信号的采样过程：
e(t) T e*(t)
0
t
0
τ
t T
采样开关每次闭合的时间为τ 一般τ<<T
第一节 采样控制系统的基本概念
系统中如果用计算机来代替脉冲控制 系统中的 A/D转换器相当于一个采样开 器，实现对偏差信号的处理，就构成了数 关， D/A转换器相当于一个保持器。 字控制系统，也称为计算机控制系统。 计算机控制系统典型结构图
aT k1–1 T ze -k k F(z)-zk –at f ( kT ) z Z [ f ( t+k T )]= z Σ Z [ te ]= 1 解： k=0 (zeaT–1)2 例 求1(t-2T)的Z变换 5．初值定理 z -z2[ f (0)z0+f (T)z-1] 2 )]=fz(t) = 解：Z[1(t+2T Lim F(z) z–lim 1z→∞ t→0 z3 –z2–z = z– 1 6．终值定理
第七章 采样控制系统分析
第七章 采样控制系统分析
第一节 采样控制系统的基本概念
第二节 采样控制系统的数学基础 第三节 采样控制系统的脉冲传递函数
第四节 采样控制系统的动态性能分析
第五节 采样控制系统的稳定性分析 第六节 采样控制系统的稳态误差分析
第七章 采样控制系统分析
第一节 采样控制系统的基本概念
这就是采样定理，又称香农(shannon) 定理，它指明了复现原信号所必须的最低 采样频率。
第一节 采样控制系统的基本概念
三、 采样信号的复现
信号的复现： 采样信号恢复成相应的连续信号的过程。 保持器： 将采样信号复现为原来连续信号的装置。 解决两相邻采样时刻间的插值问题。 工程中一般都采用时域外推的原理，下面 重点介绍应用最广泛的零阶保持器。
第二节 采样控制系统的数学基础
（5）正弦函数
jωt -e– jωt e -1sin f ( t )=sin ωt = z ωT z sin ωT 2 j = = 1–2(cosωT)z-1+z-2 z2–2zcosωT+1 jωkT – e– jωkT e f (kT) = 2j f (t)=cosωt 同理： + F (z) = Σ f (kT) z-k z(z–cosωt ) k=0 F (z)= 2 z –1 2zcosωT + 1 1 1 – = [ j ωT -1 1 – e– jωT z-1 2j 1–e z -1e jωT–z-1e–jωT z 1 = 2j [ ] j ωT -1 – j ωT -1 -2 1–e z –e z +z