航空公司超售问题分析
摘要
随着我国经济建设的健康稳定发展，航空客运市场发展越来越快，航空市场的竞争也越激烈。
国内航空市场采用超售策略来提高收益。
本文主要研究航空公司的客运超售策略，主要内容如下：
1剖析了航空公司实施超售的原因，利弊及影响，并在此基础上建立了超售的数学模型。
2对单航线，考虑收益最大及提高信誉率，采用多目标决策的方法，以收益和信誉率为双重目标函数，得出了一定程度上的超售可以提高航空公司的收益，并且是信誉率得到最大保障的结论。
3对多航线问题，考虑DB旅客对后续航班的影响，以航线超售总成本最低的目标函数。
一，问题重述：
航空公司知道，只有一部分预订该航班的乘客最终会乘坐该航班。
因而，
大多数航空公司采取超售的方法，也就是说，旅客定位数超过了相应的实际可
利用的座位数。
所以有时会发生飞机容纳不下已购票的该航班的乘客的情况，
导致一位或多位乘客被挤出他们预订的航班。
对于被挤出预定航班的旅客，航空公司基于给予一定的补偿。
那么如何确定超售数量使得航空公司的收益最
大，并且保住信誉率，就是本文主要研究的问题。
二，基本假设：
1．旅客的需求是无限的，即航空公司预定售出的票能够全部售完。
2．旅客的订座请求是独立发生的。
3．乘客到达机场的概率服从二项分布。
4．各空公司的服务水平相同，即航空公司的信誉率只和超售水平有关。
5．航空公司单次飞行成本固定为f;
三，符号说明：
R：表示单次航班的总收益
r: 表示销售每张票的净收益。
c: 表示飞机上的实有座位数。
b: 表示处理一名DB旅客的赔偿费用。
x: 表示航班的可销售座位数。
y: 表示一名乘客退票费用（票价的百分率）。
r: 航空公司的信用率。
p: 乘客的到达率。
考虑超售条件下的机票销售，因此取x≥c。
四，问题分析：
航班超售已经成为国内民航新的经济增长点，国内的民航公司普遍在满客的出港航班上采取超售措施。
然而，航空公司实施超售的同时，面临着利与不利的一面。
不实施超售会造成作为浪费，减少收益，而机场昂贵的停机费及燃油等昂贵费用甚至会造成倒贴成本；超售过多，造成赔偿费用过多甚至降低航空公司的信誉等问题而导致客源流失等问题。
因此，超售带来额外利润的同时，也潜在着极大的风险。
为了平衡航空公司收益及信誉率和乘客的双方利益，将超售保持在一个合理的水平，航空公司必须考虑各种因素，具体来讲，影响航空公司超售的因素大致有以下几个方面：
（1）基本因素
（2）旅客因素
（3）其他因素
还有一些其他因素，如天气，航班的延误，更改或取消，飞
机的改变等，也会影响No-show。
如果天气恶劣，有些旅客
可能去不了机场。
如果航班延误的太久，已到机场的旅客可
能会改乘其他航班。
五，模型建立：
6．模型一：
基本假设：乘客到达机场的概率服从二项分布。
（1）首先从航空公司受益最大的角度建立模型，当到达人数为k时，航空公司单航班的总收益为：
R(x)={rk+(x−k)yr−f, k≤c
rc+(x−k)ry−(k−c)b−f, c≤k≤x
根据条件假设，k 位乘客到达机场的概率为：
P(k)=C x k p k (1−p)(x−k)
则航班的期望收益为：
ER(x)=∑P (k )[rk +(x −k )yr −f]c k=0+ ∑P (k )[rc +(x −k )ry −b (k −c )−
x k=c+1f]
上式中单次飞行的成本是固定的，不随其他因素的变化而变化，且模型以利润最大化为目标，从模型简化的角度来讲，可将模型简化如下：
ER(x)=∑P (k )[rk +(x −k )yr]c k=0 ∑P (k )[rc +(x −k )ry −b (k −c )]x k=c+1
从而但航班的超售模型为：
max (ER(x))=∑P (k )[rk +(x −k )yr]c k=0+ ∑P (k )[rc +(x −k )ry −b (k −x k=c+1c )]
st. x ≥c 且为整数
（2）模型求解
+ +有模型的分析可知，机票的销售量必须是整数，故目标函数是不连续的，考虑到航空公司机票超售量不会太大，因此采取枚举法进行求解。
x 的值由c 逐渐增加，直至满足条件：
ER (x )≥ER (x −1) 且 ER(x)≥ER(x +1)
实例分析：
某航空公司成都—青岛航线，采用A320飞机，飞机容量（座位数）c=157,没卖出一张机票所得的净收益为r=1500，拒绝登机的费用b=500,根据历史数据，估计乘客的到达率p=0.9。
用MATLAB 采取枚举法进行求解，所得结果如下图：
可得，随着超售数量的增加，航空公司的收益先增加然后减少，存在最优解，当x=177,时，最大收益为ER=234240，而后随着超售数量的增加，收益逐渐减小。
以下讨论两种情况：
（2.2）
拒绝登机费用b=500不变，改变乘客到达率p的值，最佳机票销售量及最大益的变动情况如下表：
售数量逐渐增加，保证了航空公司仍有较大的收益，但随之而来的便是航空公司信誉度的降低，有较多的旅客不能及时乘坐飞机。
这和现实情况相符合。
（2.3）
乘客到达率p不变，改变拒绝登机的赔偿费用，最佳机票销售量及最大收益
从表中可以看出随着拒绝登机费用的提高，超售量随之减少，而航空公司的收益也随之减少，这与现实中航空公司的操作一致，即拒绝登机费用越高，航空公司的策略越保守，超售量越小，最大收益随之减小。
模型分析：
此模型从航空公司收益最大的角度，建立受益最大模型，但从长远角度考虑，航空公司的收益和客源有很大的关系，而影响航空公司客源的一大重要因素就是航空公司的信誉度。
信誉度和机票的超售量之间存在很大的关系。
模型二将从航空公司的最大收益和公司的信誉度两方面考虑，建立多目标决策模型。
模型二：
（1）增加基本假设：
各空公司的服务水平相同，即航空公司的信誉率只和无座率相关
乘客的无座率越高，航空公司的信誉度越低。
（2）符号说明：
t(x): 表示航空公司的信誉度,为航空公司售票总数的函数。
S(x):表示航空公司收益度，是航空公司售票总数的函数。
（3）模型建立：
由于假设乘客的到达率服从二项分布，平均到达的乘客数表示为：
N=x∗p
则航空公司的有座率:
e=c
N
=c
xp
归一化处理之后，得到航空公司的信誉度为：
t(x)=e(x)
max [e(x)]
航空公司收益度为:
s(x)=ER(x)
max [ER(x)]
综合考虑收益和信誉度，使各自的目标尽量接近各自的最优解，采用平方和加权法，引入权重因子h来构造评价函数z ,求解出最佳的x ,使得z值最小，评价函数如下：
z=h[s(x)−s∗]2 + (1-h)[t(x)−t*]2
则问题转化为求解：
min z=h[s(x)−s∗]2 + (1-h)[t(x)−t*]2
st x≥c 且为整数
（4）模型求解：
继续在模型一的基础上讨论最佳的机票销售量
航空公司机票销售量和信誉度关系如下图：
有图可知，当航空公司超售量为0时，信誉度为1，随着超售量的增加，信誉度逐渐降低，与实际情况相符合，能较好的衡量航空公司的信誉度。
X的取值和评价函数之间的关系如下图：
由图可知，z值随着售票数的增加先减小后增大，存在最优解，当x=166为最优解，此时超售率为5.73%。
实际情况中航空公司的超售率一般在5%左右，故可知此模型和实际情况吻合度非常高，有较大的实际意义。
模型评价:
模型二综合考虑了航空公司的收益和信誉度建立模型，其算法简单可行，可以求得航空公司最佳售票数，和现实情况比较吻合度也较好。
不足之处，没有考虑到现实情况中机票的分级定价，和航空公司的信誉度和航空公司的服务水平等多因素有关。
六，多航班超售问题分析：
问题重述：
实际情况中，航空公司的航班不止只有一趟，为了提高航空公司的竞争及收益水平，两地之间往往有多趟航班。
而且越是竞争激烈的航线，航班次数越多，例如从成都到北京的航线，有多家航空公司飞行，包括中国国家西南航空公司，四川航空公司，南方航空公司等，他们一天之中的航班次数多达七八个。
因此，就多航班问题进行讨论，确定每个航班的超售数，使得航空公司的收益最大是一个重要的问题。
和单航线问题不同，多航线将要考虑到前一个航班滞留旅客的安排问题，并且是一天中航班总收益最大是多航线问题的主要目标。
（1）基本假设：
（1.1）旅客需求是无限的。
（1.2）旅客到达机场的概率服从二项分布，且旅客到达相互独立。
（1.3）不考虑前一天滞留旅客对第二天第一趟航班的影响，每个航班DB的旅客在下一个航班优先安排，DB旅客只对下一个航班产
生影响。
（1.4）同一航线上采用同一机型，即飞机的容纳量是相同的。
（1.5）不同航班的超售量可能不同。
（2）符号说明：。