因式分解◆【课前热身】1.已知(19x -31)(13x -17)-(13x -17)(11x -23)可因式分解成(ax +b )(8x +c )，其中a 、b 、c 均为整数，则a +b +c 的值是 （ ） A ．-12 B ．-32 C ．38 D ．722.把多项式a ax ax 22--分解因式，下列结果正确的是 （ ） A.)1)(2(+-x x a B. )1)(2(-+x x a C.2)1(-x a D. )1)(2(+-ax ax 3.下列式子中是完全平方式的是（ ）A ．22b ab a ++B ．222++a aC ．222b b a +-D ．122++a a 4.分解因式：3x 2－27= ． 5. 2200820092008-⨯ ＝ .【参考答案】1. A 2. A 3. D 4. 3(x +3)（x -3） 5. - ◆【考点聚焦】掌握并灵活运用提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）进行因式分解 ◆【备考兵法】 因式分解的基本方法1）提取公因式法：ma+mb+mc=m （a+b+c ）；2）运用公式法：a 2－b 2=（a+b ）（a －b ）；a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2；3）分组分解法：①分组后直接提公因式；②分组后直接运用公式；4）十字相乘法：x 2+（p+q ）x+pq 型式子和因式分解，即：x 2+（p+q ）x+pq=x 2+px+qx+pq=（x 2+px ）+（qx+pq ）=x （x+p ）+q （x+p ）=（x+q ）（x+p ）；5）求根公式法：在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时，可先用公式求方程ax 2+bx+c 的两个根x 1，x 2，然后得ax 2+bx+c=a （x －x 1）（x －x 2）． 因式分解的其他方法①配方法；②换元法；③拆项添项法 易错知识辨析（1）注意因式分解与整式乘法的区别；（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式. ◆【考点链接】1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的 的形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．2. 因式分解的方法：⑴ ，⑵ ，⑶ ，⑷ .3. 提公因式法：=++mc mb ma __________ _________.4. 公式法: ⑴ =-22b a ⑵ =++222b ab a ， ⑶=+-222b ab a .5. 十字相乘法：()=+++pq x q p x 2．6．因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“用”（公式）． ◆【典例精析】 例1 填空题：（1）分解因式：2a （b +c ）－3（b +c ）=_______． （2）分解因式：a 3－2a 2+a =______；（3）分解因式：a 2－4b 2=________．【答案】（1）2a （b+c ）－3（b+c ）=（2a －3）（b+c ） （2）a 3－2a 2+a=a （a 2－2a+1）=a （a －1）2（3）a 2－4b 2= a 2－（2b ）2=（a －2b ）（a +2b ）【解析】 （1）提取公因式法是分解因式的常用方法之一，•当公因式是一个多项式时，可以直接提取．（2）本题提公因式a 后，原多项式变形为a （a 2－2a+1），这一步虽然是因式分解，但其中一个因式a 2－2a+1在有理数范围内仍然能再分解，即a 2－2a+1=（a －1）2，切记因式分解的最后结果必须使每一个因式在指定数的范围内都不能再分解．（3）运用公式法分解因式，可以先把所给多项式转化成公式的形式，•再运用公式进行分解，以免由于误判，使分解的结果产生错误． 例2 选择题：（1）若a ，b ，c 是三角形三边的长，则代数式a 2+b 2－c 2－2ab 的值（ ）A ．大于零B ．小于零C ．大于或等于零D ．小于或等于零 （2）把多项式4x 2+8x －1分解因式的结果是（ ） A ．（x －252-+）（x －252--） B ．（x+252-+） C ．4（x+252-+）（x+252--） D ．（2x+2－5）（2x+2+5） 【答案】（1）∵a 2+b 2－c 2－2ab=（a 2－2ab+b 2）－c 2=（a －b ）2－c2=（a －b+c ）（a －b －c ），又∵a ，b ，•c 是三角形三边的长．∴a+c>b ，a<b+c ，即a －b+c>0，a －b －c<0 ∴（a －b+c ）（a －b －c ）<0 即a 2+b 2－c 2－2ab<0，故选B ．（2）由求根公式法，可得方程4x 2+8x －1=0的两根是x 1=252-+，x 2=252--，∴4x 2+8x －1=4（x －252-+）（x －252--）=（2x+2－5）（2x+2+5），故选D ． 【解析】（1）本题是确定代数式的取值范围与因式分解的综合题，•把所给多项式的部分因式进行因式分解，再结合“a ，b ，c 是三角形的三边”，应满足三角形三边关系是解决这类问题的常用方法．（2）确定因式分解结果的选择题，其选择项的确定方法一般有两种，•一种是先把所给多项式进行分解，得到结果再确定选择项；二是把所给的每一个选择项，分别按照整式和乘法法则进行计算，再把所得积与所给的多项式进行比较，最终确定选择项． 例3（湖南长沙）因式分解：224a a -= ．【答案】224a a -=)2(2-a a【解析】本题考查了因式分解的基本方法----提公因式法.本题只要将原式的公因式2a 提出即可. ◆【迎考精练】一、选择题1. （北京）把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是 （ ）A.()()x x y x y +-B.()222x x xy y -+ C.()2x x y + D.()2x x y - 2. (四川内江) 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A ．2222)(b ab a b a ++=+B ．2222)(b ab a b a +-=- C ．))((22b a b a b a -+=- D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+ 3. （四川眉山）下列因式分解错误的是()A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+4. （广西南宁）把多项式2288x x -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．()224x - B ．()224x -C ．()222x -D ．()222x +二、填空题1.（广东省）分解因式328x x -=__________． 2.（湖北黄石）因式分解34a a -= ． 3.(湖北黄冈)分解因式：3654a a -=________． 4.（湖北恩施）分解因式：328a a -=____________．5.（四川内江）分解因式：_____________223=---x x x . 6.（四川泸州）分解因式：=-ay ax . 7.（四川宜宾）因式分解：=-822x .8.（浙江绍兴）因式分解：32x xy -＝___________． 9.（浙江嘉兴）因式分解：=+-+)(3)(2y x y x ． 10.（浙江杭州）在实数范围内因式分解44-x = _____________．b图甲 图乙11.（山东济宁）分解因式：2ax a -= .12.（福建福州）分解因式：22x x -= . 13.（安徽）因式分解：2221a b b ---= ． 三、解答题1.（吉林省）在三个整式2222,2,x xy y xy x ++中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解2．（湖北孝感）已知：31x =+，31y =-，求下列各式的值.（1）222x xy y ++；（3分） （2）22x y -．（3分）3.（湖南湘西自治州）先化简再计算：y x yx y x +---222，其中x =3，y =24.（浙江衢州）给出三个整式a 2，b 2和2ab ．(1) 当a =3，b =4时，求a 2+b 2+2ab 的值；(2) 在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．5．(浙江温州)在学习中，小明发现：当n=1，2，3时，n 2—6n 的值都是负数．于是小朋猜想：当n 为任意正整数时，n 2-6n 的值都是负数．小明的猜想正确吗?请简要说明你的理由．6.（福建漳州）给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．7.（湖北十堰）已知：a +b =3，ab =2，求下列各式的值： （1）a 2b +ab 2（2）a 2+b 2【参考答案】选择题1.D2.C3.D4.C 填空题1. ()()222x x x +-2. )2)(2(-+a a a3. ()()336-+a a a4. 2(2)(2)a a a +-5. -x (x +1)26. )(y x a -7. )2(22-+x x ）（ 8. x （x+y ）（x-y ） 9. )3)((-++y x y x10. )2)(2)(2(2-++x x x 11. a （x+1）（x-1）12. x （x －２） 13. (1)(1)a b a b ++-- 解答题1. 解：222(2)222();x xy x x xy x x y ++=+=+或222(2)();y xy x x y ++=+或2222(2)(2)()();x xy y xy x y x y x y +-+=-=+- 或2222(2)(2)()().y xy x xy y x y x y x +-+=-=+-2. 解：（1）原式＝ 2()x y +＝ 2(3131)+ ＝23)＝ 12（2）原式＝()()x y x y +-＝ )]13()13)][(13()13[(--+-++ ＝232＝433. 解：原式＝y x y x y x y x +---+2)())((＝x ＋y －2x ＋y ＝－x ＋2y 因为 x ＝3，y ＝2 所以原式＝－3＋4＝14. 解：(1) 当a =3，b =4时， a 2+b 2+2ab =2()a b +=49．(2) 答案不唯一，式子写对给2分，因式分解正确给2分．例如，若选a 2，b 2，则a 2-b 2=(a +b )(a -b )． 若选a 2，2ab ，则a 2±2ab =a (a ±2b )． 5. 答：不正确。