C1 C2 C3
D1 D2
5 2
E
1
4
（3） 决策与决策集 决策——x k( S k) ：每阶段状态给定后，从该状 态演变到下阶段某状态的选择。 决策集——D k( S k)：状态S k的可能决策的集 合。
注：• x k( S k) ∈D k( S k)； • 状态是客观条件，而决策是主观选择。 例：最短路问题中， x 2( B 1) =C1 ∈ D 2(B 1) 12 C1 3 B1 2 14 9 D1 6 5 5 C2 B2 10 6 A 4 5 1 13 D2 2 8 B3 12 C3 10 11
和允许状态s1 , 有f1 = opt{v1k + f k +1} 。
p1k
推论（ Bellman 最优性原理）：若 P 是最优策略，
∗ 1n
则对任何 k （1 < k < n），子策略 P 对于以 s 为起
∗ ∗ kn k
点的 k 至 n子过程来说必为最优策 略。
以最短路为例说明
（2）基本方程 根据最优性原理，可建立从后向前逆推求 解的递推公式——基本方程：
6 . 阶段指标——每阶段选定决策xk后所产生的效 益，记 vk= vk(Sk， xk)。
指标函数——各阶段的总效益，记相应于Pkn的指标函数 为vkn= vkn(Sk， Pkn )。其中最优的称最优
指标函数。 最优指标：指标函数的最优值
Max 或 Min
fk(Sk)=opt Vkn
问题：动态规划的最优解和最优值各是什么？ ——最优解：最优策略P1n ， 最优值：最优指标f1。
max Z = ∑ g i ( x i ) ⎧ ⎪∑ x i ≤ a st ⎨ i =1 ⎪ ⎩ xi ≥ 0
n i =1
模型特点：变量分离
3. 用动态规划法求解 阶段：k=1,…,n；表示把资源分配给第k种产品的过程； 状态Sk： 表示把资源分配给第k种产品之前的剩余资源量； （即用于k~n可支配资源量） 决策 第k种产品的资源分配量； xk： 状态转移方程： Sk+1= Sk-xk； 阶段指标： Vk= gk(xk)；
阶段指标： Vk= 8xk+5(Sk-xk) ； 指标函数：Vk 5 = ∑ Vi
⎧ f k = max {Vk + f k +1 } k = 5, " ,1 基本方程：⎨ ⎩ f6 = 0 K=5. f 5 = max {V5 + f 6 } = max {8 x5 + 5( S 5 − x5 )}
1. 离散型 A
2 5 1
12 B1 14 6 B2 10 4 13 B3 12 11
C1 C2 C3
9 5 6
3
D1
5
D2 8 10
E
2
1 2 3 4 方法：先从后向前计算，再从前向后找出最短路线。 k=1,2,3,4； 解：阶 段：状态S ： k 第k阶段初可能处的位置； 决策xk： 第k阶段选哪条路； 阶段指标： Vk—路长； 指标函数： Vkn =
E
（4） 状态转移方程 第k+1阶段的状态完全由第k阶段的状态Sk和 决策xk确定，即由Sk转变为Sk+1的规律 Sk+1=Tk(Sk , xk)
2
B1
5 1
12
A
14 6 B2 10 4 13
C1
9
3
C2 C3
6 5 8 10
D1 D2
5
E
2
B3
12 11
（5） 策略：由每阶段决策组成的决策序列，记作 P1n={x1，……，xn} 后部子策略：从第k阶段开始到最后的决策序列，记作 Pkn={xk，……，xn}
vk
0 4 6 11 12 12
vk+fk+1
0+0 4+0 6+0 11+0 12+0 12+0
fk
0 4 6 11 12 12
P
0 1 2 3 4 5
∗ kn
3
k
Sk
0 1 2
xk
0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5
vk
0 0 5 0 5 10 0 5 10 11 0 5 10 11 11 0 5 10 11 11 11
n
注： ¾ 一般的， Vkn = ∑ Vi
i =k
；
∗ 1n
¾ fk(Sk)只与Sk有关，而与xk无关； ¾ 求解动态规划的最优解：
P （最优策略）
f1(S1) （最优目标）
三.动态规划基本原理与基本方程 （1）基本原理
∗ ∗ ∗ 定理：P = ( x , , x 1 < k < n) " 1n 1 n )是最优策略 ⇔ 对任何k（
vk+fk+1
0+0 0+4 5+0 0+6 5+4 10+0 0+11 5+6 10+4 11+0 0+12 5+11 10+6 11+4 11+0 0+12 5+12 10+11 11+6 11+4 11+0
Vk+ fk+1 2+20 5+14 1+19
fk 19
Pkn * A1—B2—C1 —D1—E
∴ 最短路线： A1—B2—C1—D1—E 最短距离：19
2. 连续型 例：某机器可在高低两种负荷下生产，高负荷 年产量为8、完好率为0.7，低负荷年产量为5、 完好率为0.9。现有完好机器1000台，制定一个 5年计划，确定每年安排高低各多少台，可是总 产量最高？
k xk k k +1 4
i =k
i
i
问题：本问题是属于离散型还是属于连续型？怎样解？ ——离散型，用表格的方式求解。
效益 设备台数 0 1 2 3 4 5
厂
甲 0 3 7 9 12 13
乙 0 5 10 11 11 11
丙 0 4 6 11 12 12
k
Sk
0 1 2 3 4 5
xk
0 1 2 3 4 5
⎧ f k = max {Vk + f k +1 } k = n," ,1 基本方程：⎪ ⎨ ⎪ ⎩ f n +1 = 0
指标函数：Vkn = ∑ Vi
i =k

n
例3 某公司拟将某种高效设备5台分配给所属甲、 乙、丙3厂。各厂获此设备后可产生的效益如下 表。问应如何分配，可使所产生的总效益最大？
效益 设备台数 0 1 2 3 4 5 厂 甲 0 3 7 9 12 13 乙 0 5 10 11 11 11 丙 0 4 6 11 12 12
v +f } ⎧ ⎪ f = opt { ⎨ ⎪ ⎩ f = 0, k = n , " ,1
k xk k k +1 n +1
四、动态规划的求解方法
求解步骤：
（1）确定过程的分段，构造状态变量； （2）设置决策变量，写出状态转移； （3）列出阶段指标和指标函数；
离散问题有时不 能用解析式表 达！
（4）写出基本方程，由此逐段递推求解。
0≤ x4 ≤ S 4 0≤ x4 ≤ S 4
∗ = max {1.4 x4 + 12.2 S 4 } ∴ x4 = S4 , f4 = 13.6 S4
同理： K=3.
f 3 = max {V3 + f 4 } = max {0.28 x3 + 17.24 S 3 }
∗ 3
0≤ x 3 ≤ S 3
∗ 2
0≤ x 2 ≤ S 2
∴ x = 0, f1 = 23.72 S1 = 23720
故最优计划为：
年份 高负荷 低负荷 1 0 1000 2 3 4 567 0 5 397 0 0 810 900 0
∗ 1
0 ≤ x1 ≤ S 1
总产量：23720
§2
动态规划应用举例
一、 资源分配问题 1. 问题一般提法： 设有某种资源，总数量为a，用于生产n种产 品，若分配数量xi用于生产第i种产品，其收益为 gi(xi)。 问题：应如何分配可使总收益最大？ 2. 静态模型 n
9 5 6
3
D1 D2
5 2
E
8 10 3
1
4
（2） 状态与状态集 状态：每阶段可能处的位置或条件，是决策的前 提和背景。记作——S k 状态集：{S k}，即第k阶段状态可能取值的集 合。
注：动态规划按{S k}是否连续，分为 连续型 离散型 3 9 5 6 8 10 3
2
B1 12
5 1
A
14 6 B2 10 4 13 B3 12 11 2
i =k
5
= max {3 x5 + 5 S 5 }
0≤ x5 ≤ S 5
0≤ x5 ≤ S 5
∴ x = S5 , f 5 = 8 S5
K=4. f 4 = max {V4 + f 5 } = max {8 x4 + 5( S 4 − x4 ) + 8 S 5 }
0≤ x4 ≤ S 4
∗ 5
= max {3 x4 + 5 S 4 + 8[0.7 x4 + 0.9( S 4 − x4 )]}
解：阶段k =1,2,3依次表示把设备分配给甲、乙、丙厂的过程； 状态sk 表示在第k阶段初还剩有的可分台数； 决策xk 表示第k阶段分配的设备台数； 状态转移sk+1 = sk- xk ； 阶段指标vk 表示第k 阶段分配后产生的效益； 指标函数vk3 = ∑v ( x )；