证 明 极 限 的 几 种 方 法丹东十中 于君伟极限证明的方法有许多种，包括：极限定义、极限的性质、迫敛定理、单调有界准则、两个重要极限、洛必塔法则、泰勒公式、无穷小量、定积分定义、不动点原理、导数定义、积分中值定理、区间套定理、逆推关系及斯锋兹定理等。

既然证明极限有如此多的方法，那么，我们是否对每个方法都理解得透彻呢？本文针对这一 点，列举了四种极限证明的方法：1.利用极限定义；2.利用夹逼定理；3.利用洛必塔法则；4.利用定积分定义。

一、利用极限的定义：下面是数列与函数极限定义的对照表记号 任给 当自变量变到 有关系式 结论n n x Lim ∞→= a ε>0 n > N ε<-a x n 当n ∞→时，{x n }的极限为a)(0x f Lim x x →= A ε>0 0<0x x -<δ A x f -)(<ε 当x 0x →时，f(x)以A 为极限)(x f Lim x ∞→= A ε>0 x >N A x f -)(<ε 当x ∞→时，f(x)以A 为极限)(x f Lim x +∞→= A ε>0 x >N A x f -)(<ε 当x +∞→时，f(x)以A 为极限)(x f Lim x -∞→= A ε>0 x <-N A x f -)(<ε 当x -∞→时，f(x)以A 为极限根据极限定义，我们可以知道无论是“N -ε”定义,还是“δε-”定义，对于ε都有任意性，它强调n a 或f(x)超过极限A 的程度，但N 与δ则强调的是存在性，只需找到即可，也就是能够找到某N （ε）[或δ（ε）]，当n>N(ε)[或<0)(0εδ<-x x ]时，满足a x n -<ε[或A x f -)(<ε]即可。

那么，我们通常可以把证明某个极限问题归结为三类：〈1〉直接法；〈2〉解析法；〈3〉定量法。

〈1〉直接法：在证明过程中除最后下结论外，中间不允许出现不等式ε<-A x f )([或a x n -<ε]。

例1.用“δε-”定义证明：1391231+--→x x Lim x =2 分析：关系式)31(3)(--=-x A x f 比较简单，可以采用直接法。

〈证〉：A x f -)(=213912-+-x x=13+x =)31(3--x 对0>∀ε,取3εδ=则当0<)31(--x <δ时，有不等式ε<-+-213912x x 成立。

所以， 1391231+--→x x Lim x =2 〈2〉分析法：先假定ε<-A x f )( [或a x n -ε<]成立，然后通过解不等式找到δ[或N 或X]。

例2.用“N -ε”定义证明：042=-∞→n nLimn 分析：直接从不等式ε<-=-42n na x n ,找到N 显然比较麻烦，因此，采用解析法时，应先对 42-=-n na x n 适当放大。

〈证〉： 11404222-=-<-=--=-n n n n n n n n a x n （n>3时） 对0>∀ε,要使ε<-a x n ，只要ε<-11n 或 11+>εn 取正整数N ≥11+ε（为保证放大后的关系式成立，不妨设N ≥3），则n>N 时，有不等式ε<--042n n成立。

所以，042=-∞→n nLimn 注意：1）.解析法的书写格式中“要使”、“只要”、“即”等字句不能省略。

2）.对a x n -只能放大，不能省略。

〈3〉定量法：在比较复杂的关系式不易放大时，可先设00ε<-x x [或n>N 0,这里0ε与N 0为常数]，然后再放大，找到δ'（或N '），取δ=min{0ε,δ'}[或N=max{N N ',0}]。

例3.用“δε-”定义证明：34122=+→x x Limx 分析：关系式2)1(323)(-⋅++=-x x x A x f 比较复杂，需要先适当放大，变成2-x a 的形式，其中a 是常数。

由于极限问题是在20=x 的邻域内考虑，不妨设12<-x （也可以设212<-x 等），利用不等式，便能放大A x f -)(。

〈证〉：341)(2-+=-x x A x f=2)1(323-⋅++x x x 因为2→x ,不妨设12<-x ，即1<x<3 于是有：22)1(3232)1(323-<-++=-⋅++x x x x x x x 对0>∀ε，要使ε<-A x f )(,只要ε<-2x ,取},1min{εδ=则当δ<-<20x 时，不等式ε<-+3412x x 成立。

因此，34122=+→x x Limx 注意：1）只取εδ=，这样的δ不一定满足12<-x 这个前提。

例如：取2=ε，从220<-<x 就不能得出12<-x 。

2）定量法可以看作是解析法的延伸。

二．利用夹逼定理夹逼定理：若数列{x n },{y n },{z n }满足：（1）y n ≤x n ≤z n (n=1,2,3,…);（2）a y Lim n n =∞→,a z Lim n n =∞→ ,则数列{x n }的极限在，且a x Lim n n =∞→（这一准则可以推广到函数的情形，略）根据夹逼定理，可以归结两种证明某个极限的方法：〈1〉“一边挤”〈2〉“两边挤” 〈1〉“一边挤”：如果由已知看出x n >a[或f(x)>a],要证明x n →a (n →∞)[或,f(x)→a,(x →x 0)],那么，只需找到y n >x n [或g(x)>f(x)] 证明 a y Lim n n =∞→[或a x g Lim x x =→)(0]即可。

例4.设10<<α,试证：0])1[(=-+∞→ααn n Lim n分析：因0)1(>-+ααn n ,则只要找到ααn n y n -+>)1(,且0=∞→n n y Lim 即可。

〈证〉：因为=-+<-+=-+<]1)11[(]1)11[()1(0n n n n n n αααααα-11n(这里α-=11ny n )而α-11n→0（n →∞）即0=∞→n n y Lim所以，由夹逼定理知，0])1[(=-+∞→ααn n Lim n〈2〉“两边挤”：有三个数列{x n },{y n },{z n },当y n ≤x n ≤z n ,且 A z Lim y Lim n n n n ==∞→∞→时，A x Lim n n =∞→。

例5.设∑=-+=nk n n ks 12)11(,试证：41=∞→nn s Lim 〈证〉：因为=-+112n k11)11)(11(222++++-+nk n k n k=1122++nk n k=22nk n n k ++=)(2n k n n k ++所以，)1(11)(222n n n kn k n n n n k ++≤-+≤++ 即)()(2121n n n n ks n n n n knk n nk ++≤≤++∑∑==也即 )1(2)1()(2)1(22n n n n n s n n n n n n n +++≤≤+++ 由于 41)111(11)()1(2=+++=+++∞→∞→nn n Lim n n n n n n Limn n 41)111(211)1(2)1(22=+++=+++∞→∞→nn Lim n n n n n Limn n 所以，由夹逼定理，知:41=∞→n n s Lim三．利用洛比塔法则：法则一 （“ 0”型未定式的求法）如果：（1）0)(,0)(==→→x g Lim x f Lim ax ax ；（2）在a 点的邻域内（a 可除外），)('x f ,)('x g 存在,且)('x g ≠0；（3）)()(x g x f Limax ''→存在或为无穷大； 则：)()()()(x g x f Lim x g x f Lim a x a x ''=→→法则二（“ ∞∞”型未定式的求法）若：（1）;)(,)(∞=∞=→→x g Lim x f Lim ax ax（2），（3）同法则一；则：)()()()(x g x f Lim x g x f Lim a x a x ''=→→※在使用法则一、法则二时应注意以下几点： （1）只有未定式“ 0”和“∞∞”才能直接使用法则。

使用法则前对求极限的函数严格判断，在连续使用过程中，亦需不断判别，若作到某步不再属于上面两类未定式，应停止使用。

（2）除以上两种未定式外，还有“∞-∞”、“∞⋅0”、“00”、“0∞”和“∞1”型，它们不能直接使用法则。

但前两类可通过四则运算转化成“ 00 ”或“ ∞∞ ”型，后三类可利用对数求极限法，先化成“∞⋅0”型。

例6.求证：31cos sin 0=--→x x x x x Limx〈证〉：它属于“ 0”型未定式[法则〈一〉]x x x x Limx x x x x Lim x x sin cos 1cos 1cos sin 00+--=--→→ （注：仍是“ 0”型） =x x x x Lim x cos sin 2sin 0+→ （注：仍是“ 0”型）=x x x xLim x sin cos 3cos 0-→（注：不再是未定式，应停止使用法则）=0131-⨯=31 (注意：易犯的错误是最后一步不加判断继续使用法则)。

例7. 求证： 1ln )2ln(01=-+→xctg x tgLimx ππ〈证〉：它属于“ ∞∞”型未定式。

[法则二]xctg x tgLim x ππln )2ln(01-+→=πππππ)csc (122sec 212201x xctg x tgLimx -⋅+→ （注：应化简再做下去）=xx xx Limx 2sin 2cos sin cos 2101ππππ⋅⋅-+→（注：分子、分母是简单乘积关系，各有一个因式的极限值不等于零，可先计算出来，简化运算）.原式=xxLimx 2cos sin 2101ππ+→ （注：属于“ 00 ”型）=x xLimx 2sin 2cos 2101ππππ-+→ （注：不再是未定式，应停止使用法则）=2sin cos )2(21ππ- =1 四. 利用定积分定义：1. 形式<1>：nn n f n f nf Lim n )()2()1(+++∞→ 型 如果f(x)在[0,1]上可积，则 nn nf n f n f Lim n )()2()1(+++∞→ = ⎰10)(dx x f 下面给予证明：〈证〉：在区间[0,1]上n-1等分,则每一个分点为x 1=n 1,nx 22=, nn x ni x n i == ,（其中1≤i ≤n ）因为n nn n<<<< 210所以，x nn i n x i ∆==--=∆111 (0,→∆∞→x n )则 nx T i 1}max{=∆=又因为 n n n f n f n f Lim n )()2()1(+++∞→ =)(11n i f nLim ni n ∑=∞→=x x f Lim i x ∆⋅→∆)(0 ∵f(x)在[0,1]上可积∴由定积分定义，可知⎰=∆⋅→∆100)()(dx x f x x f Limi x 因此，上述命题成立。