评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
3 走路步长的选择 问题提出 模型建立 模型求解 请你思考
问题提出
人在走路时所作的功等于抬高人体重心所需的势能与两腿运动 所需的动能之和。在给定速度时，以作功最小（即消耗能量最小） 为原则，走路步长选择多大为合适？
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
地面为连续曲面
f() , g()是连续函数
椅子在任意位置 至少三只脚着地
对任意, f(), g()
至少一个为0
数学 问题
已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
• 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 B ´ B A ´
• 四只脚着地 椅脚与地面距离为零
距离是的函数
C
四个距离
两个距离
(四只脚) 正方形
C´
对称性
A
O
x
D´ D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型(1)的问题可化简为如下的函数来研究
(3) 以下假定b≥a，记n=[x0]，考察
定理 若
，则n为(3)式的整数最优解；若
，则n+1为(3)式的整数最优解。
在大多数情况下，可直接利用定理2确定出(3)式的整数最优解，只有当
时，才需
要用定理1确定(3)式的整数最优解。由此可从(2)式十分简便地获得模型(1)的整数最佳订货批量。
模型求解
给出一种简单、粗造的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
另据实际观测得α=11o20’,k=3.此时β为多大时p最小？ 参考答案
5. 存贮模型
问题与假设 建模与求解 EOQ注记 问题与假设
问题提出 通常工厂要订购各种原材料存在仓库里供生产用； 商店要成批地购进各种商品供零售用； 那么每隔多长时间订货一次、每次订货量为多少最合算？
模型假设 1．每隔T 天订货一次，即订货周期为T 天. 2．每次订货量为Q吨 . 3．每次订货费用为C1元（不包括买货费用，与Q无关）. 4．每天对货物的需求量为r吨 . 5．货物每吨每天的库存费用为C2元. 6．货物每天每吨的缺货费用为C3元（因缺货而造成的损失）. 7．t------时间，q--------库存量，C------总费用.
数学建模
主讲 张曙光 副教授 孙中品 讲 师
第一讲 数学建模概论
一 数学建模与数学建模竞赛 二 数学建模与我们的生活 三 数学建模概论
一 数学建模与数学建模竞赛
• 数学建模课程 • 数学建模竞赛
二 数学建模与我们的生活
• 1.椅子放稳问题 • 2.手机套餐选择 • 3.步长问题 雨中行走问题 • 4.最短线路问题 • 5.贮存(进货)模型 化工车间排气模型 决策模型-年金分配 • 6.公平席位分配 • 7.传染病模型 减肥模型 赝品的鉴定 • 8.循环比赛的名次 • 9.田忌赛马 • 10.渡河问题
齿状地向上游动和向下滑行交替进行。可以认为这是在长 期进化过程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式。设鱼 总是以常速v运动，鱼在水中净重为w，向下滑行时的阻 力是w在运动方向的分力；向上游动时所需的力是w在运 动方向分力与游动所受阻力之和，而游动的阻力是滑行阻 力的k倍。水平方向游动时的阻力也是滑行阻力的k倍。试 证明，鱼沿折线ACB运动的能量消耗与沿水平线AB运动 的能量消耗之比为
此式称为EOQ公式，Q*称为最佳定货批量，它是(1)的唯一最小值点。 然而，对于大多数实际问题，都要求批量Q为正整数，而EOQ公式的计算结果一般不一定是正整
数。通常教科书介绍的做法是通过比较Q*左右两旁的整数点对应的函数值，选择较小者确定的整数 最优解。
现在我们希望能导出其规律性，使能直接从Q*的值确定出(1)式的整数最优解，在应用上更加方 便。
数学建模示例
1. 椅子能在不平的地面上放稳吗
问题分析 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚
模 连线呈正方形;
型 假
• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续
设 曲面;
• 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三
只脚同时着地。
Байду номын сангаас
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
模型假设 m-----人体质量, m’-----每条腿的质量, s-----步长, n-----单位时间内走的步数, g-----重力加速度, v-----走路速度(设为匀速), l-----腿长, θ-----腿与垂线夹角， Δ-----人体重心在走路时上下移动的幅度, Wf-----单位时间内消耗的势能, Ws-----单位时间内消耗的动能, 走路时把腿视为刚体棒，假设腿的质量集中在脚上。
7. 传染病模型
传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因 素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规 律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工 作。在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染 病的流行，并建立起相应的多房室模型。
建模与求解
总费用=订货费+库存费+缺货费
(1)不允许缺货的情形
(2)允许缺货的情形
总费用C= C1+ C2TQ/2 总费用 C=C1+ +
（ Q*为最佳订货量） 请看详细推导
（ Q*为最佳订货量 Q1为最大库存量 Qs为允许最大缺货量）
EOQ注记 以上EOQ 库存模型
(Q>0) (1)
其解为：
(2)
模型建立
如图可知，
∴ 另一方面，假设腿的质量集中在脚上，而脚的运动速
度为v。
∴ 因此，总能量消耗为
模型求解 为了使能量消耗最小，应有
约去v/4得
例如，某人m=65kg, l=1m，m’=10kg， v=1.5m/s，则
(米/步) n=v/s=1.5/0.37≈4(步/秒)
模型基本上符合实际。
请你思考 观察鱼在水中的运动发现，它不是水平游动，而是锯