最新中考数学压轴题专题汇总一、2019年福州压轴题：25．（本小题满分13分） 已知抛物线1(5)()2y x x m =-+-（m ＞0）与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．（1）直接写出点B ，C 的坐标；（用含m 的式子表示）（2）若抛物线与直线12y x =交于点E ，F ，且点E ，F 关于原点对称，求抛物线的解析式；（3）若点P 是线段AB 上一点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，交直线AC 于点N ，当线段MN 长的最大值为258时，求m 的取值范围．试题解答与评分标准：（1）B （m ，0），C （0，52m ）； 2分（2）设点E ，F 的坐标分别为（a ，2a ），（a -，2a -）， ·································· 3分 代入25111(5)()(5)2222y x x m x m x m =-+-=-+-+， 得22511(5)2222511(5)2222a a m a m a a m a m ⎧-+-+=⎪⎨⎪---+=-⎩，①，② (4)分由①-②，得(5)m a a -=．∵0a ≠，∴6m =， (5)分∴抛物线的解析式为2111522y x x =-++． ·································· 6分（3）依题意得A （5-，0），C （0，52m ）， 由0m >，设过A ，C 两点的一次函数解析式是y kx b =+，将A ，C 代入，得5052k b b m -+=⎧⎪⎨=⎪⎩．，解得1252k m b m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，， ∴过A ，C 两点的一次函数解析式是5122y mx m =+． ···················· 7分设点P （t ，0），则5t m -（0m >），∴M （t ，2511(5)222t m t m -+-+），N （t ，5122mt m +）． ①当50t -时，∴MN 255111(5)()22222t m t m mt m =-+-+-+ 25122t t =--． ···························································· 8分 ∵102-<，∴该二次函数图象开口向下， 又对称轴是直线52t =-， ∴当52t =-时，MN 的长最大， 此时MN 2555251()()22228=-⨯--⨯-=． ································ 9分②当0t m <时，∴MN 255111[(5)]22222mt m t m t m =+--+-+25122t t =+． ············10分∵102>，∴该二次函数图象开口向上， 又对称轴是直线52t =-， ∴当0t m <时，MN 的长随t 的增大而增大，∴当t m =时，MN 的长最大，此时MN 25122m m =+． ···············11分∵线段MN 长的最大值为258， ∴25251228m m +， ······························································12分整理得2550()24m +，552m -+． ∵0m >，∴m 的取值范围是55202m -+<． ········································13分二、2019年厦门压轴题25.(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A . 若对点A 作如下变换；第一步：作点A 关于x 轴的对称点A 1；第二步：以O 为位似中心，作线段OA 1的位似图形 OA 2，且相似比12OA OA =q ，则称A 2是点A 的对称位似点. (1)若A (2，3)，q =2，直接写出点A 的对称位似点的坐标；(2)知直线l ：y =kx －2，抛物线C : y =－21x 2+m x －2(m >0)，点N (2)(kk m m -，2k －2)在直线l 上.①当k =21时，判断E (1，－1)是否为点N 的对称位似点请说明理由； ②若直线l 与抛物线C 交于点M (x 1，y 1)(x 1≠0)，且点M 不是抛物线的顶点，则点M 的对称位似点是否可能仍在抛物线C 上?请说明理由.试题解答与评分标准：（1）(4，－6)、(－4， 6)（2）①当k=21时，2k －2＝2×21－2＝－1，将y ＝－1代入y=kx －2得：x=2 ∴ N 的坐标为（2，－1），其关于x 轴对称点坐标是（2，1）对于E （1，－1）， ∵11-≠21，所构成的Rt △直角边不成比例， ∴E （1，－1）不是N （2，－1）的对称位似点②直线l ：y =kx －2过点N (2)(k k m m -，2k －2) 2k －2＝k 2)(kk m m -－2，整理得：m 2－mk －2k ＝0 (m －2k)( m+k)=0∴m=2k 或m=－k直线与抛物线相交于点M ，－21x 2+m x －2＝kx －2 kx ＝－21x 2+m x ∵x ≠0，∴k ＝－21x +m ，x=2(m －k) 抛物线对称轴：x=m ，且点M 不是抛物线的顶点∴2(m －k) ≠m ，m≠2k∴只有m=－k 成立. 此时，x=2(m －k)＝－4k ，M 的坐标：（－4k ，－4k 2－2） 于是，M 关于x 轴的对称点M 1(－4k ， 4k 2+2)直线OM 1的解析式： y=x kk 4242+- 若直线OM 1与抛物线有相交，x k k 4242+-＝－21x 2+k x －2 整理得：k x 2－ x +4k ＝0当△＝1－16k 2≥0，k 2≤161时，交点存在，不妨设为M 2，12OM OM ＝q ， 则M 2是点M 的对称位似点∵m>0，且m=－k ，∴k<0，∴－41≤k<0.三、2019年宁德压轴题25．（本题满分13分）如图1，已知水龙头喷水的初始速度v 0可以分解为横向初始速度v x 和纵向初始速度v y ，θ是水龙头的仰角，且2220y x v v v +=．图2是一个建在斜坡上的花圃场地的截面示意图，水龙头的喷射点A 在山坡的坡顶上（喷射点离地面高度忽略不计），坡顶的铅直高度OA 为15米，山坡的坡比为13．离开水龙头后的水（看成点）获得初始速度v 0米/秒后的运动路径可以看作是抛物线，点M 是运动过程中的某一位置．忽略空气阻力，实验表明：M 与A 的高度之差d （米）与喷出时间t （秒）的关系为25y d v t t =-；M 与A 的水平距离为t v x 米．已知该水流的初始速度0v 为15米/秒，水龙头的仰角θ为53︒．（1）求水流的横向初始速度v x 和纵向初始速度v y ；（2）用含t 的代数式表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ，并求y 与x 的关系式（不写x 的取值范围）；（3）水流在山坡上的落点C 离喷射点A 的水平距离是多少米？若要使水流恰好喷射到坡脚B 处的小树，在相同仰角下，则需要把喷射点A 沿坡面AB 方向移动多少米？ （参考数据：4sin535︒≈，3cos535︒≈，4tan533︒≈）试题解答与评分标准： （1）如图1，∵2220y x v v v +=，θ=53︒．∴03cos 1595x v v θ==⨯=， ························ 2分 04sin 15125y v v θ==⨯=． ································································ 3分 （2）由（1）得9x v =，12y v =．根据题意，得 225125y d v t t t t =-=-，M A y y d -=．∴点M 的横坐标为：9x x v t t ==，①纵坐标为：21551215y d t t =+=-++．② ····································· 6分 由①得9t x =，代入②得 25415813y x x =-++． ····································· 8分 （3）∵坡顶的铅直高度为15米，山坡的坡比为13，∴115453OB =÷=（米）． ∴A 点的坐标为（0，15），B 点的坐标为（45，0）．设线段AB 的函数关系式为：y kx b =+．将 A ，B 两点坐标代入上式，得 15045b k b =⎧⎨=+⎩，.解得 1513b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩，. ∴线段AB 的关系式为：1153y x =-+． ············································· 10分 由254158131153y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，.解得 276x y =⎧⎨=⎩，. ∴水流在山坡上的落点C 离喷射点A 的水平距离是27米． ··················· 11分 过C 点作CD x ⊥轴，垂足为D ，得CD =6，BD =18．在Rt △DCO 中，根据勾股定理，得BC ==．由平移的性质可得，需要把喷射点沿坡面AB方向移动 ············ 13分四、2019年莆田压轴题：25.(本小题满分14分)函数y 1=kx 2+ax+a 的图象与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，函数y 2=kx 2+bx+b 的图象与x 轴交于点C 、D (点C 在点D 的左侧)，其中k ≠0，a ≠b .(1)求证：函数y 1与y 2的图象交点落在一条定直线上；(2)若AB=CD ，求a 、b 和k 应满足的关系式；(3)是否存在函数y 1与y 2，使得B 、C 为线段AD 的三等分点?若存在，求ba 的值； 若不存在，说明理由.图2参考答案：（1）kx 2+ax+a =kx 2+bx+b两抛物线的交点为(－1，k )，定直线为：x ＝－1（2）AB ＝k ak a 42-，CD ＝kbk b 42- 当AB ＝CD 时，a 2－4ak =b 2－4bk ，(a －b )( a +b －4k )=0∵a ≠b ，∴a +b －4k =0∴a +b ＝4k .，此时△＝－ab >0，ab <0（3）设A (x 1，0)、B (x 2，0)，C (x 3，0)、D (x 4，0)，当B 、C 为线段AD 的三等分点时，∴x 1＝k ak a a 242---， x 2＝kak a a 242-+-， x 3＝k bk b b 242---，x 4＝kbk b b 242-+- ①若x 1< x 3<x 2 <x 4 ，AC ＝BC ＝BD .x 3－x 1＝kbk b ak a b a 24422---+-， x 2－x 3＝kbk b ak a b a 24422-+-++- 则a －b ＝bk b 42-＝ab -，a 2+b 2＝ab ，b a +ab ＝1，设b a ＝ x ，则x +x1＝1无解 ②若x 1< x 2<x 3 <x 4，AB ＝BC ＝CD .x 2－x 1＝x 3－x 2，且ak a 42-＝bk b 42- k ak a 2422-＝kbk b ak a b a 24422----+- 化简得：4bk b 42-＝－a+b ，4ab -＝－a+b－16 ab ＝a 2+b 2－2ab ，a 2+b 2+14ab ＝0(b a )2+14(ba )+1 设b a ＝ x ，则x 2+14 x +1=0 x ＝－7±43∴存在这样的函数，使得B 、C 三等分线段AD ，且ba ＝－7±43五、2019年泉州市质检压轴题25．（13分）如图，二次函数32-+=bx x y 的图象与x 轴分别相交于A 、B 两点，点B 的坐标为（3，0），与y 轴的交点为C ，动点T 在射线AB 上运动，在抛物线的对称轴l 上有一定点D ，其纵坐标为32，l 与x 轴的交点为E ，经过A 、T 、D 三点作⊙M .(1)求二次函数的表达式；(2)在点T 的运动过程中，①∠DMT 的度数是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； ②若AD MT 21=，求点M 的坐标； (3)当动点T 在射线EB 上运动时，过点M 作MH ⊥x 轴于点H ，设时，求y的最大值与最小值（用含a的式子表示）. 参考答案与评分标准：六、2019年漳州压轴题25.(14分)已知，抛物线y =x 2+(2m －1)x －2m (－21<m ≤23)，直线l 的解析式 为y =(k －1)x +2m －k +2.(1)若抛物线与y 轴交点的纵坐标为－3，试求抛物线的顶点坐标；(2)试证明：抛物线与直线l 必有两个交点；(3)若抛物线经过点(x 0，－4)，且对于任意实数x ，不等式x 2+(2m －1)x －2m ≥－4都成立；当k －2≤x ≤k 时，批物线的最小值为2k +1. 求直线l 的解析式.参考答案：（1）抛物线：y=x 2+2x －3=( x +1)2－4，顶点(－1，－4) （2）抛物线：y =x 2+(2m －1)x －2m 直 线：y =(k －1)x +2m －k +2. x 2+(2m －k )x －4m +k －2=0△=(2m －k )2－4(－4m +k －2)= (2m －k )2+16m －4k +8 ＝(2m －k )2+4(2m －k )+8m +4 =(2m －k +2)2+8m +4 ∵m >－21， (2m －k +2)2≥0 ∴△>0，抛物线与直线l 必有两个交点. （3）依题意可知y 最小值=－4即：4)12()2(142---⨯⨯m m =－4，m ＝23或m ＝－25∵－21<m ≤23∴m ＝23，此时抛物线的对称轴为直线 x ＝－1①当k ≤－1时，抛物线在k －2≤x ≤k 上，图象下降，y 随x 增大而减小. 此时y 最小值= k 2+2k －3∴ k 2+2k －3=2k +1解得：k 1＝2>－1（舍去），k 2＝－2②当k －2<－1<k ，即<－1<k <1时，抛物线在k －2≤x ≤k 上， y 最小值=－4 ∴ 2k +1=－4 ∴解得：k =－25<－1 (舍去)· ③当k －2≥－1，即k ≥1时，抛物线在k －2≤x ≤k 上，图象上升，y 随x 增大而增大， 此时y 最小值= (k －2)2+2 (k －2)－3(k －2)2+2 (k －2)－3=2k +1，解得：k 1＝2+22 ，k 2＝2－22<1 (舍去)，综上所述，直线l ：y =－3 x +7或y =(1+22)x +3+22七、2019龙岩25.(14分)已知直线y=x+t 与双曲线y =xk(k >0)交于C 、D 两点，过C 作CA ⊥x 轴于点A ，过D 作DB ⊥y 轴于点B ，连接AB .(1)求C 、D 两点的坐标;(2)试探究直线AB 与CD 的位置关系并说明理由;(3)已加点D (3,2)，且C 、D 在抛物线y=ax 2+bx +5(a ≠0) 上，若当m ≤x ≤n(其中mn <0)时，函数y=ax 2+bx +5的最 小值为2m ，最大值为2n ，求m+n 的值，试题答案与评分标准：（Ⅰ）直线y x t =+与双曲线ky x=相交， 由k x t x=+得20x tx k +-=，所以x =2分设(,)C C C x y ，(,)D D D x y若C D x x <，则C,D若C D x x >，则2244(,)22t b k t b k D --+-+,2244(,)22t b k t b kC -++++ ……………………………… 4分（注：只写其中一种不扣分）（Ⅱ）//AB CD ，理由如下：………………5分不妨设C D x x <，由（Ⅰ）知2244(,)22t b k t b k C --+-+,2244(,)22t b k t b kD -++++ 所以24(,0)2t b k A --+,24(0,)2t b k B ++．………………6分 设直线AB 的解析式为y px q =+，则将,A B 两点坐标代入有：2402t b kp q --+⋅+=， 242t b k q ++=，所以1p =，所以直线AB 的解析式为242t b ky x ++=+………………7分所以直线AB 与CD 的位置关系是//AB CD ．………………8分（Ⅲ）将()32D ，代入双曲线(0)ky k x=>得6k =， 将(3,2)D 代入直线y x t =+，得1t =-.∴双曲线：by x=，直线1y x =-． 由61x x=-得123,2x x ==-，所以(2,3)C --．…………………………9分 因为(2,3)C --,()32D ，在抛物线25(0)y ax bx a =++≠上，所以有 42539352a b a b -+=-⎧⎨++=⎩解得12a b =-⎧⎨=⎩，即2225(1)6y x x x =-++=--+．………………………… 10分由0mn <,可知0m <,0n >．①当01n <≤时，由函数的最小值为2m ，最大值为2n 可知22252252n n nm m m⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩，所以,m n 即为一元二次方程2252x x x -++=的两解x = 又m n <，所以m =n =又因为01n <≤，所以m =n =……………………11分②当1()12m n +≤，即2m n ≤-时， 由函数的最小值为2m ， 最大值为2n 可知226252n m m m=⎧⎨-++=⎩所以3n m =⎧⎪⎨=⎪⎩1232m n =≤-=-=-满足题意．所以3m n +=．…………………………12分 ③当1()12m n +>，即2m n >-时，由函数的最小值为2m ， 最大值为2n 可知226252n n n m=⎧⎨-++=⎩所以31n m =⎧⎨=⎩，又因为0m <.1m ∴=，3n =不合题意．…………………………13分综上所述，满足题意的m n +的值为3+．……………………14分八、2019三明压轴题25.( 14分）已知二次函数21y mx nx m n =--+（m >0）.(1)求证：该函数图象与x 轴必有交点； (2)若m －n =3，①当－m ≤x <1时，二次函数的最大值小于0，求m 的取值范围；②点A (p ，q )为函数22y mx nx m n =--+图象上的动点，当－4<p <－1时，点A 在直线y =－x +4的上方，求m 的取值范围.答案： 25．(Ⅰ)证明：∵2()4()n m m n ∆=---+=2(2)n m -≥0 …………3分 ∴该函数图象与x 轴必有交点. …………4分(Ⅱ) (ⅰ)∵m －n ＝3， ∴n =m －3.∴21y mx nx m n =--+=2(3)3mx m x ---.当y 1=0时，2(3)3mx m x ---＝0， 解得11x =，23x m=-.…………5分∴二次函数图象与x 轴交点为(1，0)和(3m-，0) ∵当－m ≤x <1时，二次函数的最大值小于0， ∴31m m-<-<.…………7分 又∵m >0，∴0m <<分(ⅱ) ∵22y mx nx m n =--+，m －n ＝3，∴当3x m<-或x ＞1时，y 2＝2(3)3mx m x ---， 当31x m-≤≤时，y 2=2(3)3mx m x -+-+. ∵当－4＜p <－1时，点A 在直线y =－x +4上方， ∴当31m-<-，即m ＞3时，有 2(1)(3)(1)3(1)4m m ⨯---⨯--≥--+，…………10分解得112m ≥. …………11分 当34m-<-，即m 34<时，有2(1)(3)(1)3(1)4m m -⨯-+-⨯-+≥--+且2(4)(3)(4)3(4)4m m -⨯-+-⨯-+≥--+,…………13分 ∴720m ≤. 又∵m >0， ∴7020m <≤. 综上，7020m <≤或112m ≥. …………14分九、2019南平压轴题25.(14分)已知m 、n 分别是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=a 与ax 2+bx+c=b 的一个根，且m=n +1.(1)当m =2，a =－1时，求b 与c 的值； (2)用只含字母a 、n 的代数式表示b ；(3)当a <0时，函数y =ax 2+bx+c 满足b 2－4ac=a ，b+c ≥2a ，n ≤－21，求a 的取值范围.试题答案及评分标准：（1）解：因为m ，n 分别是关于x 的一元二次方程与的一个根，所以22am bm c a an bn c b⎧++=⎪*⎨++=⎪⎩①②（），……………………………………………2分 （考查方程根的概念，正确写出一个等式得1分） 由m =n +1，m =2得n = 1把n =1，m =2，a = -1,代入（*）得，4211b c b c b-++=-⎧⎨-++=⎩ ， ……………………………………………………………4分 （正确代入写出一个等式得1分） 解得11b c =⎧⎨=⎩， ……………………………………………………………………5分 （考查解方程组，要求方程组的解正确及书写正确给1分，否则不得分） （2）解：由（1）的方程组（*）中①-②，得22()()a m n b m n a b -+-=-，…………………………………………………6分2ax bx c a ++=2ax bx c b ++=()[()]m n a m n b a b -++=-，…………………………………………………7分（考查因式分解的应用，学生不写上式，但能解出正确答案，不扣分） 由m =n +1，得m -n =1，故a ()m n b a b ++=-， ………………………………………………………8分 （考查转换思想，学生只要是代入正确得1分） 所以(21)a n b a b ++=-，从而b na =-， …………………………………………………………………9分（3）解：把b na =-代入方程组（*）中②，得c na =-，…………………………………………………………………10分由b c +≥2a 得2na -≥2a ，当a ＜0时，n ≥-1， 由n ≤-12得，-1≤n ≤-12，……………………………………………………11分 （考查学生审题能力，学生只算出n ≥-1，而没有完整的得出-1≤n ≤-12不给分） 由24b ac a -=，且b c na ==-，得24)na a na a ---=（）（，整理得，2224n a na a +=，因为a ＜0 所以，214n n a=+， 即21+24n a=-（），…………………………………………………………12分 由于1a 在-1≤n ≤-12时随n 的增大而增大，………………………………13分 （考查二次函数的性质，只要学生能用性质即得分，若没有写“随n 的增大而增大”，不扣分）所以当n = -1时，a = -13，当n = -12时，a = -47即-47≤a≤-13………………………………………………………14分（最后一步考查学生思维的完整性，学生要能完整的写出-47≤a≤-13才得分）。