初三数学初中数学旋转的专项培优易错难题练习题(含答案)及答案一、旋转1．（操作发现）60°角与∠ACB重合，再将三角板绕（1）如图1，△ ABC为等边三角形，先将三角板中的点 C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点 D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB 上取点E，使∠ DCE=30°，连接AF，EF．①求∠ EAF的度数；②DE 与 EF相等吗？请说明理由；（类比探究）（2）如图 2，△ ABC为等腰直角三角形，∠ ACB=90°，先将三角板的 90°角与∠ ACB 重合，再将三角板绕点 C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于 45°），旋转后三角板的一直角边与 AB 交于点 D，在三角板另一直角边上取一点F，使 CF=CD，线段 AB 上取点 E，使∠D CE=45 ，°连接 AF， EF．请直接写出探究结果：① ∠EAF的度数；②线段 AE， ED， DB 之间的数量关系．【答案】（ 1）①120°② DE=EF；（ 2）①90°② AE2+DB2=DE2【解析】试题分析：（ 1）①由等边三角形的性质得出AC=BC，∠ BAC=∠ B=60°，求出∠ACF=∠ BCD，证明△ ACF≌ △ BCD，得出∠ CAF=∠ B=60 ，°求出∠ EAF=∠BAC+∠CAF=120 ；°②证出∠ DCE=∠ FCE，由 SAS证明△ DCE≌ △FCE，得出 DE=EF即可；（2）①由等腰直角三角形的性质得出 AC=BC，∠ BAC=∠ B=45°，证出∠ ACF=∠ BCD，由SAS证明△ACF≌△ BCD，得出∠ CAF=∠ B=45 °，AF=DB，求出∠ EAF=∠ BAC+∠ CAF=90 °；②证出∠ DCE=∠ FCE，由 SAS证明△ DCE≌ △FCE，得出 DE=EF；在 Rt△ AEF中，由勾股定理得出 AE2+AF2=EF2，即可得出结论．试题解析：解：（1）① ∵ △ ABC是等边三角形，∴ AC=BC，∠B AC=∠B=60 ．°∵ ∠DCF=60 ，°∴∠ ACF=∠ BCD．在△ ACF和△ BCD中，∵ AC=BC，∠ ACF=∠ BCD， CF=CD，∴ △ACF≌△ BCD（SAS），∴∠ CAF=∠B=60 ，°∴∠EAF=∠ BAC+∠ CAF=120 ；°② DE=EF．理由如下：∵∠ DCF=60 °，∠ DCE=30 ，°∴ ∠ FCE=60 ﹣°30 °=30 ，°∴ ∠ DCE=∠ FCE．在△ DCE和△ FCE 中，∵ CD=CF，∠ DCE=∠ FCE， CE=CE，∴ △ DCE≌ △ FCE（ SAS），∴ DE=EF；（2）① ∵ △ ABC是等腰直角三角形，∠ ACB=90°，∴AC=BC，∠B AC=∠B=45 ．°∵∠ DCF=90 ，°∴ ∠ ACF=∠ BCD．在△ ACF和△BCD中，∵ AC=BC，∠A CF=∠ BCD，CF=CD，∴△ ACF≌ △ BCD（ SAS），∴∠ CAF=∠ B=45 ，°AF=DB，∴∠ EAF=∠ BAC+∠ CAF=90 °；②AE2+DB2=DE2，理由如下：∵∠ DCF=90 °，∠ DCE=45 ，°∴ ∠ FCE=90 ﹣°45 °=45 ，°∴ ∠ DCE=∠ FCE．在△ DCE和△FCE中，∵ CD=CF，∠ DCE=∠ FCE， CE=CE，∴ △ DCE≌ △ FCE（ SAS），∴ DE=EF．在 Rt△ AEF中， AE2+AF2=EF2，又∵ AF=DB，∴ AE2+DB2=DE2．2．如图所示，(1)正方形 ABCD及等腰 Rt△ AEF有公共顶点A，∠ EAF=90°，连接 BE、 DF．将 Rt△ AEF绕点A 旋转，在旋转过程中，BE、DF 具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；ABCD，等腰Rt△AEF 变为Rt△ AEF，且AD=kAB，(2)将 (1)中的正方形ABCD变为矩形AF=kAE，其他条件不变．(1)中的结论是否发生变化？结合图(2)说明理由；ABCD，将Rt△ AEF变为△ AEF，且(3)将 (2)中的矩形ABCD变为平行四边形∠B AD=∠ EAF=a，其他条件不变． (2)中的结论是否发生变化？结合图 (3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用 k 表示出线段 BE、 DF的数量关系，用 a 表示出直线 BE、DF形成的锐角β．【答案】（ 1） DF=BE且 DF⊥ BE，证明见解析；（ 2）数量关系改变，位置关系不变，即DF=kBE， DF⊥BE；（ 3）不改变． DF=kBE，β =180-α°【解析】【分析】（1）根据旋转的过程中线段的长度不变，得到 AF＝ AE，又∠ BAE与∠ DAF 都与∠ BAF 互余，所以∠BAE＝∠ DAF，所以△ FAD≌ △ EAB，因此 BE 与 DF 相等，延长 DF 交 BE于 G，根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠ EGF＝ 90°，所以 DF⊥ BE；（2）等同（ 1）的方法，因为矩形的邻边不相等，但根据题意，可以得到对应边成比例，所以△ FAD∽ △ EAB，所以 DF＝ kBE，同理，根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于 360°求出∠ EHF＝ 90°，所以 DF⊥ BE；（3）与（ 2）的证明方法相同，但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360 °求出∠ EAF+∠ EHF＝ 180 °，所以 DF 与 BE 的夹角β＝ 180 °﹣α．【详解】（1） DF 与 BE 互相垂直且相等．证明：延长DF 分别交 AB、 BE于点 P、 G在正方形ABCD和等腰直角△ AEF中AD＝ AB， AF＝ AE，∠BAD＝∠ EAF＝ 90 °∴∠ FAD＝∠ EAB∴△ FAD≌ △ EAB∴∠ AFD＝∠ AEB， DF＝BE∵∠ AFD+∠ AFG＝ 180 ，°∴∠ AEG+∠AFG＝ 180 ，°∵∠ EAF＝ 90 °，∴∠ EGF＝ 180 ﹣°90 °＝ 90 °，∴D F⊥ BE（2）数量关系改变，位置关系不变． DF＝ kBE， DF⊥BE．延长 DF 交 EB于点 H，∵AD＝ kAB， AF＝ kAEADk ，AF∴k AB AEAD AF∴AEAB∵∠ BAD＝∠ EAF＝a ∴∠ FAD＝∠ EAB∴△ FAD∽ △ EAB∴DF AFk BE AE∴D F＝ kBE∵△ FAD∽ △ EAB，∴∠ AFD＝∠ AEB，∵∠ AFD+∠ AFH＝ 180 ，°∴∠ AEH+∠AFH＝180 °，∵∠ EAF＝ 90 °，∴∠ EHF＝ 180 ﹣°90 °＝ 90 °，∴D F⊥ BE（3）不改变． DF＝ kBE，β＝ 180°﹣a．延长 DF 交 EB的延长线于点 H，∵AD＝ kAB， AF＝ kAEADk ，AF∴k AB AE∴ AD AFAB AE∵∠ BAD＝∠ EAF＝a ∴∠ FAD＝∠ EAB∴△ FAD∽ △ EAB∴DF AFk BE AE∴D F＝ kBE由△ FAD∽ △ EAB得∠ AFD＝∠ AEB∵∠ AFD+∠ AFH＝ 180 °∴∠ AEB+∠ AFH＝ 180 °∵四边形 AEHF的内角和为360 °，∴∠ EAF+∠ EHF＝ 180 °∵∠ EAF＝α，∠ EHF＝β∴a+ β＝ 180 ∴° β＝ 180 ﹣° a【点睛】本题（ 1）中主要利用三角形全等的判定和性质以及正方形的性质进行证明；（2）（ 3）利用相似三角形的判定和性质证明，要解决本题，证明三角形全等和三角相似是解题的关键，也是难点所在．3．在等边△ AOB 中，将扇形 COD按图 1 摆放，使扇形的半径OC、OD 分别与 OA、 OB 重合， OA＝ OB＝ 2，OC＝ OD＝ 1，固定等边△ AOB不动，让扇形COD 绕点 O 逆时针旋转，线段 AC、 BD 也随之变化，设旋转角为α．（ 0＜α≤ 360）°（1）当 OC∥ AB 时，旋转角α＝度；发现：（ 2）线段 AC 与 BD 有何数量关系，请仅就图 2 给出证明．应用：（ 3）当 A、 C、 D 三点共线时，求 BD 的长．拓展：（ 4） P 是线段 AB 上任意一点，在扇形 COD 的旋转过程中，请直接写出线段PC 的最大值与最小值．【答案】（ 1） 60 或 240； (2) AC=BD，理由见解析；（3）13+1或13 1；（4）PC的22最大值 =3， PC的最小值 = 3 ﹣1．【解析】分析：（ 1）如图 1 中，易知当点 D 在线段 AD 和线段 AD 的延长线上时， OC∥ AB，此时旋转角α=60°或 240°．（2）结论： AC=BD．只要证明△ AOC≌ △ BOD即可．（3）在图 3、图 4 中，分别求解即可．（4）如图 5 中，由题意，点 C 在以 O 为圆心， 1 为半径的⊙O 上运动，过点 O 作OH⊥ AB 于 H，直线 OH 交⊙ O 于 C′、C″，线段 CB的长即为PC的最大值，线段C″H 的长即为 PC的最小值．易知PC的最大值 =3， PC的最小值 = 3 ﹣1．详解：（ 1）如图 1 中，∵ △ ABC是等边三角形，∴ ∠ AOB=∠ COD=60°，∴当点D在线段AD 和线段 AD 的延长线上时，OC∥ AB，此时旋转角α =60或° 240°．故答案为60 或 240 ；（ 2）结论： AC=BD，理由如下：如图 2 中，∵ ∠COD=∠ AOB=60 °，∴ ∠ COA=∠ DOB．在△ AOC和△BOD 中，OA OBCOA DOB ，∴ △AOC≌ △BOD，∴AC=BD；CO OD（ 3）①如图 3 中，当 A、 C、 D 共线时，作OH⊥AC 于 H．在 Rt△ COH中，∵ OC=1，∠COH=30 °，∴ CH=HD= 1， OH=3．在Rt△AOH中，22AH= OA2OH 2=13，∴ BD=AC=CH+AH=113 ．22如图 4 中，当 A 、C 、 D 共线时，作 OH ⊥ AC 于 H ．易知 AC=BD=AH ﹣ CH=131．2综上所述：当 A 、 C 、 D 三点共线时， BD 的长为13 1 或 13 1；22（ 4）如图 5 中，由题意，点 C 在以 O 为圆心， 1 为半径的 ⊙O 上运动，过点 O 作OH ⊥ AB 于 H ，直线 OH 交 ⊙ O 于 C ′、C ″，线段 CB 的长即为 PC 的最大值，线段C ″H 的长即为 PC 的最小值．易知 PC 的最大值 =3， PC 的最小值 =3 ﹣1．点睛：本题考查了圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．4．如图 1，在锐角 △ ABC 中， ∠ ABC=45°，高线 AD 、 BE 相交于点 F ．（ 1）判断 BF 与 AC 的数量关系并说明理由；（ 2）如图 2，将 △ ACD 沿线段 AD 对折，点 C 落在 BD 上的点 M ， AM 与 BE 相交于点 N ，当 DE ∥AM 时，判断 NE 与 AC 的数量关系并说明理由．1【答案】（ 1） BF=AC，理由见解析；（2） NE= AC，理由见解析.2【解析】试题分析：（ 1）如图 1，证明△ADC≌△ BDF（AAS），可得BF=AC；（2）如图 2，由折叠得： MD=DC，先根据三角形中位线的推论可得： AE=EC，由线段垂直平分线的性质得： AB=BC，则∠ABE=∠ CBE，结合（ 1）得：△ BDF≌△ ADM ，则1∠DBF=∠ MAD，最后证明∠ ANE=∠ NAE=45 ，°得 AE=EN，所以 EN=AC．2试题解析：（1） BF=AC，理由是：如图 1，∵ AD⊥ BC， BE⊥ AC，∴∠ ADB=∠ AEF=90 ，°∵∠ ABC=45 ，°∴△ ABD 是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵∠AFE=∠ BFD，∴∠ DAC=∠ EBC，在△ ADC和△ BDF 中，DAC DBF∵ADC BDF ，AD BD∴△ ADC≌ △ BDF（ AAS），∴B F=AC；1（2） NE= AC，理由是：2如图 2，由折叠得：MD=DC，∵DE∥AM，∴AE=EC，∵BE⊥AC，∴A B=BC，∴∠ ABE=∠ CBE，由（ 1）得：△ ADC≌ △ BDF，∵△ ADC≌ △ ADM，∴△ BDF≌ △ ADM，∴∠ DBF=∠MAD ，∵∠ DBA=∠ BAD=45 ，°∴∠ DBA﹣∠ DBF=∠ BAD﹣∠ MAD，即∠ ABE=∠ BAN，∵∠ ANE=∠ ABE+∠ BAN=2∠ ABE，∠N AE=2∠NAD=2∠CBE，∴∠ ANE=∠ NAE=45 ，°∴AE=EN，1∴E N= AC．25．在平面直角坐标系中，O 为原点，点A（ 3， 0），点 B（ 0， 4），把△ ABO 绕点 A 顺时针旋转，得△ AB′O′，点 B， O 旋转后的对应点为B′， O．（1）如图 1，当旋转角为 90°时，求 BB′的长；（2）如图 2，当旋转角为 120°时，求点 O′的坐标；（3）在（ 2）的条件下，边 OB 上的一点 P 旋转后的对应点为 P′，当 O′P+AP′取得最小值时，求点 P′的坐标．（直接写出结果即可）【答案】（ 1） 52；（ 2）O'（9，33）；（ 3）P'（27，63） .2255【解析】【分析】（1）先求出AB．利用旋转判断出△ ABB'是等腰直角三角形，即可得出结论；（2）先判断出∠ HAO'=60 °，利用含30 度角的直角三角形的性质求出AH， OH，即可得出结论；（3）先确定出直线O'C 的解析式，进而确定出点P 的坐标，再利用含30 度角的直角三角形的性质即可得出结论．【详解】（1）∵ A（ 3，0）， B（ 0， 4），∴OA=3， OB=4，∴AB=5，由旋转知， BA=B'A，∠BAB'=90 ，°∴△ABB'是等腰直角三角形，∴ BB'=2 AB=52；（2）如图 2，过点 O'作 O'H⊥ x 轴于 H，由旋转知， O'A=OA=3，∠ OAO'=120 °，∴∠ HAO'=60 ，°∴∠ HO'A=30 ，°∴ AH=1AO'=3，OH= 3 AH=33，∴ OH=OA+AH=9，2222 933）；∴O'（，22（3）由旋转知，AP=AP'，∴ O'P+AP'=O'P+AP．如图 3，作 A 关于 y 轴的对称点C，连接 O'C 交 y 轴于 P，∴ O'P+AP=O'P+CP=O'C，此时， O'P+AP 的值最小．∵点 C 与点 A 关于 y 轴对称，∴ C（﹣ 3， 0）．∵O'（933），∴直线 O'C 的解析式为 y=333，令 x=0，∴ y=33，∴P（ 0，2，25x+5533），∴ O'P'=OP= 3 3，作 P'D⊥ O'H 于 D．55∵∠ B'O'A=∠ BOA=90 ，°∠ AO'H=30 ，°∴ ∠ DP'O'=30 ，°∴ O'D=1O'P'= 33 ，2109，∴ DH=O'H﹣ O' D=63，O'H+P'D=272763）．P'D= 3 O'D=5，∴ P'（5，5105【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含 30 度角的直角三角形的性质，构造出直角三角形是解答本题的关键．6．如图 1，在 Rt△ ADE中，∠ DAE=90°， C 是边 AE 上任意一点（点 C 与点 A、 E 不重合），以 AC 为一直角边在 Rt△ ADE 的外部作 Rt△ABC，∠ BAC=90°，连接 BE、 CD．（1）在图 1 中，若 AC=AB，AE=AD，现将图 1 中的 Rt△ ADE 绕着点 A 顺时针旋转锐角α，得到图 2，那么线段 BE． CD 之间有怎样的关系，写出结论，并说明理由；（2）在图 1 中，若 CA=3， AB=5， AE=10， AD=6，将图 1 中的 Rt△ ADE绕着点 A 顺时针旋转锐角α，得到图 3，连接 BD、 CE．①求证：△ ABE∽ △ ACD；②计算： BD2+CE2的值．【答案】（ 1） BE=CD， BE⊥ CD，理由见角；（2）①证明见解析；②BD2+CE2=170．【解析】【分析】（1）结论： BE=CD， BE⊥ CD；只要证明△ BAE≌ △CAD，即可解决问题；（2）①根据两边成比例夹角相等即可证明△ ABE∽ △ ACD．②由① 得到∠AEB=∠CDA．再根据等量代换得到∠DGE=90 °，即 DG⊥ BE，根据勾股定理2222得到 BD+CE =CB +ED ，即可根据勾股定理计算．【详解】（1）结论： BE=CD， BE⊥ CD．理由：设BE 与 AC 的交点为点F，BE 与 CD的交点为点G，如图 2．∵∠ CAB=∠ EAD=90 ，°∴ ∠ CAD=∠BAE．AB AC在△ CAD和△ BAE中，∵BAE CAD ，∴ △CAD≌ △BAE，∴CD=BE，AE AD∠A CD=∠ ABE．∵∠ BFA=∠ CFG，∠ BFA+∠ABF=90 ，° ∴ ∠ CFG+∠ ACD=90 ，°∴∠CGF=90 ，°∴BE⊥CD．（2）①设 AE 与 CD 于点 F， BE与 DC的延长线交于点G，如图 3．∵∠ CABB=∠EAD=90 ，°∴∠ CAD=∠ BAE．∵CA=3， AB=5， AD=6， AE=10，∴AE AD=2，∴ △ ABE∽ △ACD；=ACAB② ∵△ ABE∽ △ ACD，∴ ∠ AEB=∠ CDA．∵∠ AFD=∠ EFG，∠ AFD+∠ CDA=90 ，°∴ ∠ EFG+∠ AEB=90 ，°∴∠ DGE=90 ，°∴ DG⊥BE，222， BD222，∴BD222222．=CG +EG=BG +DG+CE =CG +EG +BG +DG，22222222222222∵CG +BG =CB， EG +DG =ED ，∴ BD +CE=CB +ED =CA +AB +AD +AD =170．【点睛】本题是几何综合变换综合题，主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用，运用类比，在变化中发现规律是解决问题的关键．7．如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成 3 个扇形，乙转盘被等分成形，每一个扇形上都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，计算指针所指4 个扇区域内的数字之和．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．（1）请你通过画树状图或列表的方法分析，并求指针所指区域内的数字和小于10 的概率；（2）小亮和小颖小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：指针所指区域内的数字和小于10，小颖获胜；指针所指区域内的数字之和等于10，为平局；指针所指区域内的数字之和大于 10，小亮获胜．你认为该游戏规则是否公平？请说明理由；若游戏规则不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．【答案】（ 1）1；（ 2）不公平．3【解析】试题分析：（ 1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．（ 2）判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则不公平．试题解析：（ 1）共有 12 种等可能的结果，小于 10 的情况有 4 种，所以指针所指区域内的数字和小于10 的概率为1．3（2）不公平，因为小颖获胜的概率为；小亮获胜的概率为5．小亮获胜的可能性大，所以不公平．12可以修改为若这两个数的和为奇数，则小亮赢；积为偶数，则小颖赢． 考点： 1．游戏公平性； 2．列表法与树状图法．8．在 △ AOB 中， C ， D 分别是 OA ， OB 边上的点，将 △ OCD 绕点 O 顺时针旋转到 △ OC ′ D ．′（1）如图 1，若 ∠ AOB=90°， OA=OB ， C ， D 分别为 OA ， OB 的中点，证明： ①AC ′=BD ′；② AC ′⊥ BD ′；（ 2）如图 2，若 △ AOB 为任意三角形且 ∠ AOB=θ， CD ∥ AB ， AC ′与 BD ′交于点 E ，猜想 ∠AEB= θ是否成立？请说明理由．【答案】（ 1）证明见解析；（ 2）成立，理由见解析【解析】试题分析：（ 1） ① 由旋转的性质得出 OC=OC ′， OD=OD ′，∠ AOC ′=∠ BOD ′，证出 OC ′ =OD ，′由 SAS 证明 △ AOC ′≌ △ BOD ′，得出对应边相等即可； ② 由全等三角形的性质得出∠ OAC ′=∠ OBD ′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90 ，°即可得出结论；（2）由旋转的性质得出OC=OC ′，OD=OD ′， ∠AOC ′=∠ BOD ′，由平行线得出比例式，得出，证明 △AOC ′∽ △ BOD ′，得出 ∠ OAC ′=∠ OBD ′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠ AEB=θ．试题解析：（ 1）证明：① ∵ △ OCD 旋转到△ OC′D，′∴OC=OC，′ OD=OD′，∠ AOC′=∠ BOD′，∵OA=OB，C、 D 为 OA、 OB 的中点，∴OC=OD，∴OC′ =OD，′在△ AOC′和△ BOD′中，，∴△ AOC′≌ △ BOD′（ SAS），∴AC′ =BD；′②延长 AC′交 BD′于 E，交 BO 于 F，如图 1 所示：∵△ AOC′≌ △ BOD′，∴∠ OAC′=∠ OBD′，又∠ AFO=∠BFE，∠ OAC′+∠ AFO=90°，∴∠ OBD′+∠ BFE=90 ，°∴∠ BEA=90 ，°∴AC′⊥ BD′；（2）解：∠ AEB=θ成立，理由如下：如图 2 所示：∵△ OCD旋转到△ OC′，D′∴OC=OC，′ OD=OD′，∠ AOC′=∠ BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠ AOC′=∠ BOD′，∴△ AOC′∽ △ BOD′，∴∠ OAC′=∠ OBD′，又∠ AFO=∠BFE，∴∠ AEB=∠ AOB= θ．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．9．边长为 2 的正方形ABCD的两顶点A、C 分别在正方形EFGH的两边 DE、 DG 上 (如图1)，现将正方形ABCD绕 D 点顺时针旋转，当 A 点第一次落在DF 上时停止旋转，旋转过程中， AB边交 DF 于点 M，BC边交 DG 于点 N.（1）求边 DA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当 MN 和 AC平行时 (如图 2)，求正方形 ABCD旋转的度数；（3）如图 3，设△ MBN 的周长为 p，在旋转正方形 ABCD的过程中， p 值是否有变化？请证明你的结论 .【答案】（ 1）；（ 2）；（3）不变化，证明见解析.【解析】试题分析：（ 1）将正方形ABCD绕 D 点顺时针旋转，当 A 点第一次落在DF 上时停止旋转，旋转过程中，DA 旋转了，从而根据扇形面积公式可求DA 在旋转过程中所扫过的面积 .（2）旋转过程中，当MN 和 AC平行时，根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求正方形 ABCD旋转的度数为.（3）延长 BA 交 DE轴于 H 点，通过证明和可得结论.（1）∵ A 点第一次落在DF 上时停止旋转，∴ DA旋转了.∴DA 在旋转过程中所扫过的面积为（2）∵ MN ∥AC，∴∴.∴.又∵，∴.又∵,∴,...∴.∴∴旋转过程中，当MN (3)不变化，证明如下：和AC 平行时，正方形.ABCD旋转的度数为.如图，延长BA 交DE 轴于H 点，则，，∴.又∵.∴．∴．又∵, ,∴．∴.∴.∴.∴在旋转正方形ABCD的过程中，值无变化.考点： 1.面动旋转问题；2．正方形的性质； 3.扇形面积的计算； 4.全等三角形的判定和性质.10．思维启迪：（1）如图1， A， B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点 C，连接 BC，取 BC 的中点 P（点CD∥ AB 交 AP 的延长线于点D，此时测得P 可以直接到达 A 点），利用工具过点CD＝ 200 米，那么A， B 间的距离是C 作米．思维探索：（ 2）在△ABC 和△ ADE 中， AC＝BC， AE＝ DE，且 AE＜ AC，∠ ACB＝∠ AED＝90°，将△ ADE 绕点 A 顺时针方向旋转，把点 E 在 AC 边上时△ ADE 的位置作为起始位置（此时点 B 和点 D 位于 AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．① 如图② 如图2，当△ ADE 在起始位置时，猜想：PC 与 PE 的数量关系和位置关系分别是3，当α＝ 90°时，点 D 落在 AB 边上，请判断PC 与 PE的数量关系和位置关系，并；证明你的结论；③当α＝ 150 °时，若 BC＝ 3， DE＝ l ，请直接写出PC2的值．【答案】（ 1） 200；（ 2）①PC ＝ PE， PC⊥PE；②PC 与 PE的数量关系和位置关系分别是PC＝ PE， PC⊥ PE，见解析；③PC2＝10 3 3.2【解析】【分析】（1）由 CD∥ AB，可得∠C＝∠B，根据∠ APB＝∠ DPC即可证明△ABP≌ △ DCP，即可得AB ＝CD，即可解题．（2）①延长 EP 交 BC 于 F，易证△ FBP≌ △ EDP（ SAS）可得△ EFC是等腰直角三角形，即可证明 PC＝ PE， PC⊥ PE．②作 BF∥ DE，交 EP 延长线于点 F，连接 CE、 CF，易证△ FBP≌ △ EDP（ SAS），结合已知得 BF＝ DE＝ AE，再证明△ FBC≌ △EAC（ SAS），可得△ EFC是等腰直角三角形，即可证明PC＝ PE， PC⊥ PE．③作 BF∥ DE，交 EP 延长线于点F，连接 CE、 CF，过 E 点作 EH⊥ AC 交 CA 延长线于 H点，由旋转旋转可知，∠ CAE＝ 150°， DE 与 BC 所成夹角的锐角为30°，得∠ FBC＝∠ EAC，同②可证可得 PC＝ PE， PC⊥PE，再由已知解三角形得222＝ 10 3 3，即可∴ EC＝CH +HE求出PC21EC210 33 22【详解】（1）解：∵ CD∥ AB，∴∠ C＝∠B，在△ ABP 和△ DCP中，BP CPAPB DPC ，B C∴△ ABP≌ △DCP（ SAS），∴DC＝AB．∵AB＝ 200 米．∴CD＝200 米，故答案为： 200．（2）①PC 与 PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE， PC⊥ PE．理由如下：如解图1，延长 EP 交 BC于 F，同（ 1）理，可知∴ △FBP≌ △ EDP（ SAS），∴PF＝ PE， BF＝ DE，又∵ AC＝ BC， AE＝ DE，∴F C＝ EC，又∵ ∠ ACB＝ 90°，∴△ EFC是等腰直角三角形，∵EP＝ FP，∴PC＝ PE， PC⊥ PE．② PC 与 PE的数量关系和位置关系分别是PC＝ PE，PC⊥ PE．理由如下：如解图 2，作 BF∥ DE，交 EP延长线于点 F，连接 CE、 CF，同① 理，可知△ FBP≌ △ EDP（ SAS），∴B F＝ DE， PE＝ PF＝1 EF，2∵DE＝AE，∴B F＝ AE，∵当α＝ 90 °时，∠EAC＝ 90 °，∴ED∥ AC， EA∥ BC∵FB∥AC，∠FBC＝90，∴∠ CBF＝∠ CAE，在△ FBC和△ EAC中，BF AECBE CAE ，BC AC∴△ FBC≌ △ EAC（ SAS），∴C F＝ CE，∠FCB＝∠ ECA，∵∠ ACB＝ 90 °，∴∠ FCE＝ 90 °，∴△FCE是等腰直角三角形，∵EP＝ FP，1∴CP⊥ EP， CP＝EP＝EF ．③如解图 3，作 BF∥ DE，交 EP延长线于点 F，连接 CE、 CF，过 E 点作 EH⊥ AC 交 CA 延长线于 H点，当α＝ 150°时，由旋转旋转可知，∠ CAE＝150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°，∴∠ FBC＝∠ EAC＝α＝150 °同② 可得△ FBP≌△ EDP（SAS），同②△ FCE是等腰直角三角形，CP⊥ EP， CP＝EP＝2 CE，2在 Rt△ AHE 中，∠ EAH＝ 30°，AE＝ DE＝ 1，∴HE＝1，AH＝3，22又∵ AC＝ AB＝ 3，∴CH＝3+3，2∴EC 2＝CH 2+HE 2＝ 10 3 3∴PC 2＝ 1EC 210 33 22【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质、勾股定理和 30°直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于压轴题．11． 我们定义 : 如果一个三角形一条边上的高等于这条边 ,那么这个三角形叫做“等高底 ”三角形,这条边叫做这个三角形的 “等底 ”。