N ( N 1)
2.2 简单估计量及其性质
引理2.2：在简单随机抽样中，引入随机变量
1
i 0
如果Yi 入 样 如果Yi不入 样
则
P(i
1)
n N
P(i
0)
N n N
E(i )
E(i2 )
n N
V (i ) E(i2 ) E(i )
2
n N
n N
2
n N
(1
n N
)
E(i
j)
p(i
• 具体抽样时，通常是逐个抽取样本单元， 直到抽满n个单元为止。
• 简单随机抽样分为：有放回抽样和无放 回抽样（with/without replacement）
2.1 定义和符号
• 放回简单随机抽样在每次抽取样本单元 时，都将前一次抽取的样本单元放回总 体，因此，总体的结构不变，抽样是相 互独立进行的，每个样本被抽中的概率 为1/N.
简单估计量
例3. 设总体为{0,1,3,5,6}，计算总体均值 =3、总 体方差 2 5.2 和 S2 6.5；给出全部 n 2 的样本
验证 E y Y 及 E s2 S2 。
样本编号
单元1
单元2
样本均值
y Y
样本方差
1
0
2
0
3
0
4
0
5
1
6
1
7
1
8
3
9
3
10
5
平均
1
0.5
-2.5
0.5
1 n
(1
n N
)
1 N (N 1)
( N
1)
N i 1
Y2 i
(
N i 1
Yi )2
N i 1
Yi
2
1 n
(1
n N
)
1 N(N
1)
N
N i 1
Y2 i
N
2Y
2
1 n
(1
n N
)
1 (N 1)
N i 1
Y2 i
NY
2
S2
n
(1 )
nN
总体方差
修正总体方差
简单估计量
S 2 1 N N 1 i1
1&
j
1)
n N
( n 1) N 1
i j
cov(i , j )
E(i j )
E(i )E( j )
n N
(1
n N
)
n N
2
1 N 1
n N
(1
n N
)
2.2 简单估计量及其性质
一、对总体均值的估计
以样本均值 值的估计
y
1 n
n i1
yi
作为总体均
定理2.1：对于简单随机抽样，y 的无偏估计。
知的或事先确定的；
（3）每个抽样单元被抽中的概率都是相 等的
不放回简单随机抽样的样本量要受总体 大小的限制。在实际工作中，更多的 采用不放回简单随机抽样。
2.2 简单估计量及其性质
- 约定大写表示总体 - 小写表示样本
总体均值
Y
1 N
N
Yi
i 1
Y1 Y2 L N
YN
样本均值
y
1 n
n i 1
Yi 0或1
p
a n
1 n
n i 1
yi
yi 0或1
N
R
Yi
i 1 N
Xi
Y X
Y X
i 1
n
Rˆ
i 1 n
yi xi
y x
r
i 1
简单估计量
• 某一类特征的单元占总体单元数中的比例P
1，第i个单元具有所考虑的特征； Yi 0，否则 • 总体中具有研究特征的单元总数
N
A Yi Y i 1
• 在不放回简单随机抽样中，每个被抽中 的单元不再放回总体，而是从总体剩下 的单元中进行抽样，因此，每次抽样时 总体中单元个数不同，抽样是不独立的， 但可以证明每个单元被抽中的概率仍然 为1/N。
2.1 定义和符号
P(第一次未被抽中而第二次被抽中）
=P（A1A2）=P（A2|A1）P（A1） = 1 N 1 1
3
1.5
-1.5
4.5
5
2.5
-0.5
12.5
6
3
0
18
3
2
-1
2
5
3
0
8
6
3.5
0.5
12.5
5
4
1
2
6
4.5
1.5
4.5
6
5.5
2.5
0.5
3
0
6.5
方差1.95
简单估计量的性质
一、对总体均值的估计
引理2.1: 从N个总体中抽取n个简单随机样 本，则总体中每个特定单元人样的概率为 n/N，两个特定单元人样的概率为 n(n1)
n1 N 1
N
Yi
i 1
C
n N
N! n!(N n)!
N n
(N 1)! (n 1)!(N n)!
N n
C n1 N 1
N
E
y
y
C n1 N 1
Yi
i1
C
n N
nCNn
1 N
N
Yi Y
i1
2.2 简单估计量及其性质
证法2：由于每个单元出现在总体所有可能样 本中的次数相同，因此 Ey1 y2 yn
• 总体中具有研究特征的比例
P
A N
Y
• 总体比例P的估计为（比例估计化为均值估计）
Pˆ
p
a n
n
yi y Yˆ
i 1
简单估计量
判断下面要估计的总体目标量分别属于什么 类型？ – 调查城市居民家庭平均用电量。 – 估计湖中鱼的数量。 – 估计居民家庭用于做饭菜及饮用的用水 量占家庭总用水量的比重。 – 检测食盐中碘含量。 – 估计婴儿出生性别比。
Nn
n
式中： f n N 为抽样比(例)，
1 f
Nn N
为有限总体校正系数。
证明（对称论证法）： 2.2 简单估计量及其性质
V y E
y Y
2
E
1 n
n i 1
yi
Y
2
1 n2
n E
i1
( yi
Y
2 )
1 n2
n E
i1
( yi
Y
)
2
1 n2
E
i j
( yi
Y
)( y j
yi
y1
y2
n
yn
总体均值 Y 的简单估计量
)
Y
y1 n
n i 1
yi
y1 y2 L n
yn
总体总值 样本总值
简单估计量
N
Y Yi Y1 Y2 YN i 1
n
yi y1 y2 yn
i 1
总体总值的 Y 简单估计量为
Yˆ Ny
N n
n i 1
yi
总体方差 样本方差 修正总体方差 修正样本方差
例2. 不放回简单随机抽样
设总体有5个单元（1、2、3、4、5），按
不放回简单随机抽样的方式抽取2个单元，
则所有可能的样本为
CNn
C52
54 21
10
个
1，2 1，3 1，4 1，5
2，3 2，4 2，5
3，4 3，5
4，5
2.1 定义和符号
简单随机抽样的抽取原则：
（1）按随机原则取样； （2）每个抽样单元被抽中的概率都是已
N 1 N N P(前r-1次未被抽中而第r次被抽中） =P（Ar Ar-1...A1） =P（Ar | Ar-1...A1）P（A2|A1）P（A1） = 1 N r 1 ... N 2 N 1 1
N r 1 N r 2 N 1 N N
2.1 定义和符号
例1：放回简单随机抽样
设总体有5个单元（1、2、3、4、5），按
Yi Y
2
1 N N 1 i1
Yi2 2YiY Y 2
1 N
1
(
N i 1
Yi
2
N i 1
2YiY
NY 2 )
1 N
1
(
N i 1
Yi
2
NY
2)
2.2 简单估计量及其性质
推论2.4：对于简单随机抽样， Yˆ Ny 的方
差为：
V Ny N 2 1 f S 2
n
推论2.5：对于简单随机抽样， Pˆ p 的方
Y )
n
E (yi i1
Y
)
2
n N
N
(Yi
i1
Y )2
E i j
( yi
Y )( y j
Y )
n(n 1) N(N 1)
i j
(Yi
Y )(Yj
Y
)
•
E( yi
Y
)( y
j
Y
)
中的求和是对
i j
• (Yi Y )(Yj Y )中的求和是对
n(n 1) 2
N(N 1) 2
项的， 项的
i j
证法三：
Y 1
N
N
Yi
2.2 简单估计量及其性质
y 1
n
n
yi
1 n
N
iYi
其中
1
i 0
如果Yi 入 样 如果Yi不入 样