VA
VB
2、符号
（1） C A ( t ), C B ( t ) 表示 t 时刻薄膜两侧溶液的浓度（单位：mg/cm3） ； （2） a A , a B 表示初始时刻薄膜两侧溶液的浓度； （3）K 表示渗透率； （4）V A ,VB 表示由薄膜组个的容器两侧的体积。
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那么，Taylor是如何对原子弹爆炸的能量进行估计的呢？Taylor知道，爆炸 产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播，爆炸的能量越大，在一定 时刻冲击波传播得越远，而冲击波又可以通过爆炸形成的“蘑菇云”反映出 来。Taylor研究这次爆炸的录影带，测量出了从爆炸开始，不同时刻爆炸所 产生的“蘑菇云”的半径大小。表3是他测量出的时刻t所对应的“蘑菇云” 半径r(t)。现在的任务就是利用表3和其它知识，估计这次爆炸所释放的能量。
VA
VB
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薄膜渗透率的测定模型
1、假设
（1）薄膜两侧的溶液始终是均匀的，即在任何时
刻薄膜两侧的每一处溶液的浓度都是相同的； （2）当两侧浓度不一致时，物质的分子穿透薄膜 综总是从高浓度向低浓度溶液扩散； （3）通过单位面积薄膜分子扩散的速度与薄膜两 侧的浓度差成正比； （4）薄膜是双向同性的，即物质从薄膜的任何一 侧向另一侧渗透的性能相同。
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地区人口模型
第一步
做出散点图
第二步
根据散点图，选择近似的数学模型
1 可以考虑应用Logistic曲线模型 y a be t
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地区人口模型
第三步
求解数学模型
1 y t a be
年份 人口数量（人） 年份 人口数量（人） 年份 人口数量（人） 1971 33815 1981 34483 1991 34515 1972 33981 1982 34488 1992 34517 1973 34004 1983 34513 1993 34519 1974 34165 1984 34497 1994 34519 1975 34212 1985 34511 1995 34521 1976 34327 1986 34520 1996 34521 1977 34344 1987 34507 1997 34523 1978 34458 1988 34509 1998 34525 1979 34498 1989 34521 1999 34525 1980 34476 1990 34513 2000 34527
由质量守恒定律，两者应该相等，于是有
VAC A ( t t ) VAC A ( t ) SK (C B C A )t
两边同除 t ，令 t
VB
0 ，整理得
dC A SK (C B C A ) dt VA
（1）
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薄膜渗透率的测定模型
VB
西南交渗透率的测定模型
4. 求解参数
设VA
VB 1000cm 3 , S 10cm 2 ，对容器 B 部分溶液浓度的测试结果如下表 2.
表 2 容器 B 部分溶液测试浓度
tj / s
100
200
300
400
500
C j /(mg cm 3 )
直接拟合吗？可以！但面临非线性最优化问题求解！
将模型变更一下会更好！
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地区人口模型
对于模型（1.1） ，只要令
1 y ' , x ' et y
就可以将其转化为线性模型
（1.2）
y ' a bx '
然后利用线性最小二乘法求解即可。
（1.3）
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（3）
由此得到量纲矩阵
A35
1 0 2 3 1 0 0 1 1 1 0 1 2 0 2
（4）
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原子弹爆炸能量的估计模型
A35
1 0 2 3 1 0 0 1 1 1 0 1 2 0 2
案例1：地区人口模型[1]
表 1 是某地区 1971—2000 年的人口数据，试给出该地区人口增长的数学模型。 表 1 某地区人口变化数据 年份 人口数量（人） 年份 人口数量（人） 年份 人口数量（人） 1971 33815 1981 34483 1991 34515 1972 33981 1982 34488 1992 34517 1973 34004 1983 34513 1993 34519 1974 34165 1984 34497 1994 34519 1975 34212 1985 34511 1995 34521 1976 34327 1986 34520 1996 34521 1977 34344 1987 34507 1997 34523 1978 34458 1988 34509 1998 34525 1979 34498 1989 34521 1999 34525 1980 34476 1990 34513 2000 34527
10
2
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案例3：原子弹爆炸能量的估计模型[3]
【背景】：1945年7月16日，美国科学家在新墨西哥州阿拉莫戈多沙漠进行 了“三位一体实验”（Trinity Test），试爆了全球第一颗原子弹。这一事 件令世界为之震惊，并从某种程度上改变了第二次世界大战以及战后世界的 历史。但在当时，有关原子弹爆炸的任何资料都是保密的，一般人无法得到 任何有关的数据或影像资料，因此人们无法比较准确地了解这次爆炸的为例 究竟有多大。两年后，美国政府首次公开了这次爆炸的录影带，但没有发布 任何有关的数据。英国物理学家G.I.Taylor（1886--1975）通过研究这次爆 炸的录影带，建立数学模型对这次爆炸所释放的能力进行了估计，得到的估 计值为19.2千吨（千吨即相当于1千吨TNT的核子能量）。后来正式公布的信 息显示，这次爆炸所释放的实际能量为21千吨，可见二者是相当接近的。
案例2：薄膜渗透率的测定模型[1]
某种医用薄膜有允许一种物质的分子穿透它（从高浓 度的溶液向低浓度的溶液扩散）的功能，在试制时需测定 薄膜被这种分子穿透的能力。测定方法如下：用面积为 S 的薄膜将容器分成体积分别为V A ,VB 的两部分（见图） ，在 两部分中分别注满该物质的两种不同浓度的溶液。此时， 该物质分子就会穿过薄膜从高浓度向低浓度溶液扩散。一 种通过单位面积薄膜分子扩散的速度与薄膜两侧溶液浓度 差成正比，比例系数 K 表征了薄膜被该物质分子穿透的能 力，称为渗透率。定时测量容器中薄膜某一侧的溶液浓度 值，可以确定 K 的数值，试用数学建模的方法解决 K 值的 求解问题。
tj / s
4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 600 700 800 900 1000
C j /(mg cm 3 )
此时极小化的函数为
6.10 6.26 6.39 6.50 6.59
0.02 Kt j E ( K , a , b) a be Cj j 1
dC A SK (C B C A ) dt VA
且注意到整个容器的溶液中含有该物质的质量应该不变，即有下式成立：
（1）
VAC A ( t ) VB C B ( t ) V Aa A VB a B
（2） （3）
C A (t ) a A
将（3）代入（1） ，得到
VB V aB B C B ( t ) VA VA
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原子弹爆炸能量的估计模型
表3 时刻t所对应的“蘑菇云”的半径r t/ms 0.10 0.24 0.38 0.52 r(t)/m 11.1 19.9 25.4 28.8 t/ms 0.80 0.94 1.08 1.22 r(t)/m 34.2 36.6 38.9 41.0 t/ms 1.50 1.65 1.79 1.93 r(t)/m 44.4 46.0 46.9 48.7 t/ms 3.53 3.80 4.07 4.34 r(t)/m 61.1 62.9 64.3 65.6 t/ms 15.0 15.0 34.0 53.0 r(t)/m 106.5 130.0 145.0 175.0
p） ，
r (t , E, , p)
记作更一般的形式
（1）
f (r , t , E , , p) 0
其中有 5 个物理量，接下来的任务是用量纲分析法确定这个函数关系。
（2）
取三个基本量纲：长度 L，质量 M 和时间 T，式（2）中各个物理量的量纲分析分别为
[r ] L,[t ] T ,[ E ] L2 MT 2 ,[ ] L3 M ,[ p] L1 MT 2
VB
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薄膜渗透率的测定模型
至此， 问题归结为利用 C B 在时刻 t j 的测量数据 C j ( j 对应的数学模型变为
n
1,2,..., n) 来辨识参数 K 和 a A , a B ，
min E ( K , a A , a B ) (C B ( t j ) C j )2
数学建模基础之
用MATLAB解数学模型问题
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内容提要：
1. 案例1：确定某地区人口增长模型
2. 案例2：薄膜渗透率的测定
3. 案例3：原子弹爆炸的能量估计 4. 案例4：街头骗局揭秘 5. 案例5：生物种群增长的Logistic模型 6. 学习资源
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量纲分析法就是利用量纲齐次性原则来建立物理量之间的数学模