2016-2017年度山西重点中学协作体高三适应性考试（二）数学试卷（文理通用）第I卷（选择题 60分）一、选择题：共12题每题5分共60分2．“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3．已知a为常数,函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点x1,x2(x1<x2),则___.A.f(x1)>0,f(x2)>-B.f(x1)<0,f(x2)<-C.f(x1)>0,f(x2)<-D.f(x1)<0,f(x2)>-4．某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为,则该几何体的俯视图可以是A. B. C. D.5．点O是△ABC所在平面上的一点,且满足···,则点O是△ABC的A.重心B.垂心C.内心D.外心6．下列在曲线, 为参数)上的点是A. B. C. D.7．甲、乙两人各抛掷一次骰子(它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6),设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x,y则满足复数x+yi的实部大于虚部的概率是A. B. C. D.8．已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为3的球面上,且PA,PB,PC两两互相垂直,则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为A.18B.24C.18D.249．?过双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是A.B. C. D. 10．复数z=+(a∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次射击命中的概率为A. B. C. D.12．已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(,-1),n=(cosA,sin A).若m ⊥n,且acosB+bcos A=csin C,则角A,B的大小分别为A.,B.,C.,D.,第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题：共4题每题5分共20分（每题5分，20分）13．若圆x2+y2=r2和圆(x-2)2+(y-2)2=R2相交,其中的一个交点的坐标为(1,3),则另一个交点的坐标为.14．如图所示，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α (＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是____.15．定义运算“□”:a□b=.设F(x)=f(x)□g(x),若f(x)=sin x,g(x)=cos x,x∈R,则F(x)的值域为.16．已知在数列{an}中,a1=1,且对于任意正整数n,都有an+1=an+n,则a100= .三、解答题：共8题共70分请考生在第17、18、19 三题中任选一道做答，注意：只能做所选定的题目。
如果多做，则按所做的第一个题目计分。
17．(本题10分)已知在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数).(Ⅰ)以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；(Ⅱ)已知，圆上任意一点，求面积的最大值.18．(本题10分)已知直线l经过点，倾斜角，圆C的极坐标方程为（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)设l与圆C相交于两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积.19．(本题10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l经过点P(,1),倾斜角α=,圆C的极坐标方程为ρ=cos(θ-).(1)写出直线l的参数方程,并把圆C的方程化为直角坐标方程;(2)设l与圆C相交于A、B两点,求点P到A、B两点的距离之积.20．(本题12分)在平面直角坐标系中，已知A(cosx，1)，B(1，-sinx)，xR，(I)求|AB|的最小值；(Ⅱ)设，将函数f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)的对称中心.21．(本题12分)如图，在正方体中，、分别为,中点.（1）求异面直线与所成角的大小;（2）求证：平面.22．(本题12分)如图,从山脚下P处经过山腰N到山顶M拉一条电缆,其中PN的长为a 米,NM的边长为2a米,在P处测得M,N的仰角为45°,30°,在N处测得M的仰角为30°.(1)求此山的高度;(2)试求平面PMN与水平面所成角的余弦值.23．(本题12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)获得身高数据如下：甲班：158168162168163170182179171179乙班：159168162170165173176181178179 (1)完成数据的茎叶图(以百位十位为茎，以个位为叶)，并求甲班样本数据的中位数、众数；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率。
24．(本题12分)湖南省某市市政府为科技兴市,欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区(如图中阴影部分),形状为直角梯形QPRE(线段EQ和RP 为两个底边),已知AB=2 km,BC=6 km,AE=BF=4 km,其中AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线的一段曲线段.(1)若QP=x,阴影部分的面积为S,用x表示S的解析式;(2)试求该高科技工业园区的最大面积.参考答案1.D【解析】因为tan θ++=4,所以sin 2θ=.【备注】无2.C【解析】本题考查二次函数图象性质以及图象变换,意在考查转化与化归思想.根据二次函数的图象可知f(x)在(0,+∞)内单调递增等价于f(x)=0在区间(0,+∞)内无实根,本题不难求解.f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)内单调递增等价于f(x)=0在区间(0,+∞)内无实根,即a=0或<0,也就是a≤0,故“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)内单调递增”的充要条件,故选C.【备注】把函数f(x)在x轴下方的图象对折到x轴上方,在x轴上方的图象不变就可以得到函数|f(x)|的图象.3.D【解析】本题主要考查函数与导数的基础知识与基本运算,意在考查考生分析问题、处理问题的能力.∵f(x)=x(ln x-ax),∴f '(x)=ln x-2ax+1.又函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点x1,x2,∴f'(x)=ln x-2ax+1有两个零点x1,x2,即函数g(x)=ln x与函数h(x)=2ax-1有两个交点.∴a>0,且0<x1<x2.设经过点(0,-1)的曲线g(x)=ln x的切线与曲线g(x)=ln x相切于点(x0,ln x0),则切线方程为y-ln x0=(x-x0),将点(0,-1)代入,得x0=1,故切点为(1,0).此时,切线的斜率k=1,∴要使函数g(x)=ln x与函数h(x)=2ax-1的图象有两个交点,结合图象可知,0<2a<1,即0<a<且0<x1<1<x2.由函数的单调性得:∴f(x1)<0,f(x2)>f（1）=-a>-.故选D.求解本题时,考生要学会灵活转化,利用函数的单调性及数形结合的数学思想解题.【备注】无4.C【解析】本题主要考查空间几何体的三视图和体积的计算,高考中,对于三视图和体积的考查通常是给出三视图求几何体的体积,本题则考查逆向思维,由体积来确定几何体的三视图.由几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,可以确定此几何体一定是柱体,而且柱体的高为1,从而求得底面积,进而可以判断出形状.由几何体的正视图和侧视图可知,该几何体是柱体,所以其体积V=S底h=S底×1=,所以底面面积为S底=,故可以排除A、B、D.所以选C.【备注】无a5.B【解析】∵··,∴·(-)=0,即·=0,∴⊥.同理可得⊥,⊥,∴O是△ABC的垂心.【备注】无6.B【解析】化为普通方程：, 当时,.【备注】无7.B【解析】无【备注】无8.A【解析】本题主要考查补形问题,考查基本不等式的应用.∵PA,PB,PC两两互相垂直,∴可以利用补形方法将三棱锥补成一个以PA,PB,PC为邻边的长方体,则此长方体为球内接长方体,设PA=x,PB=y,PC=z,则x2+y2+z2=36.∴三棱锥的侧面积S=xy+yz+xz≤(x2+y2+z2)=18,故三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为18.【备注】无9.C【解析】本题主要考查双曲线的有关几何意义,即双曲线的渐近线,离心率,顶点等. 同时,又考查了考生利用解方程求解两条直线的交点,以及向量的坐标表示等问题. 双曲线的两条渐近线为y=±x,又过顶点A的直线方程为y=-x+a,分别联立方程,求得B,C两点的横坐标分别为:xB=,xC=(a≠b),由=得,xB-a=(xC-xB),即-a=(-)⇒b=2a,∴c==a,∴双曲线的离心率为e==,故选C.【备注】无10.C【解析】由题意得z==+i,对应的点为(,),设x=,y=,消去a得x+y=1,所以复数z对应的点在直线x+y=1上,故复数z对应的点不可能位于第三象限.【备注】无11.B【解析】设此射手击四次命中次数为,∴,依题意可知,,∴,∴.【备注】无12.C【解析】由m⊥n得m·n=0,即cos A-sin A=0,即2cos(A+)=0,由<A+<知A+=,即A=.又acosB+bcos A=2Rsin Acos B+2Rsin Bcos A=2Rsin(A+B)=2Rsin C=c,所以sin C=1,C=,所以B=π--=.【备注】无a13.(3,1)【解析】由题知两圆的圆心分别为(0,0)和(2,2),故两圆心所在的直线方程为y=x.由于两圆的交点关于两圆心所在的直线对称,又点(1,3)关于直线y=x的对称点为(3,1),所以另一个交点的坐标为(3,1).【备注】无14.平行四边形【解析】因为平面ADC∩α＝EF，且CD∥α，所以EF∥CD.同理GH∥CD，EG∥AB，FH∥AB，所以GH∥EF，EG∥FH，所以四边形EFHG是平行四边形.【备注】无15.[-1,]【解析】由已知得F(x)=sin x□cos x=,即F(x)=,k∈Z.当x∈[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)时,F(x)=sin x,F(x)∈[-1,];当x∈(+2kπ,+2kπ)(k∈Z)时,F(x)=cos x,F(x)∈(-1,),故综上可知,F(x)的值域为[-1,].【备注】无16.4 951【解析】本题主要考查累加法求特殊项及高斯算法.由a1=1,且对于任意正整数n,都有an+1=an+n知,an+1-an=n,所以a2-a1=1,a3-a2=2,a4-a3=3,…,a100-a99=99,累加得a100-a1=1+2+3+…+99=4 950,故a100=4 951.【备注】无17.解：(I)圆的参数方程为为参数)所以普通方程为圆的极坐标方程：.(II)点到直线：的距离为△的面积所以△面积的最大值为.【解析】本题主要考查的是参数方程与极坐标方程的转换以及点到直线的距离公式，意在考查考生的运算能力和方程思想.(Ⅰ)根据三角函数的平方公式消去参数，再根据把普通方程转化为极坐标方程；(Ⅱ)求出点到直线的距离，表示出的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的意义，求出面积的最大值.【备注】无18.解：(Ⅰ)直线l的参数方程为，即(t为参数).由,得，∴，得.(Ⅱ)把代入得.∴【解析】本题主要考查极坐标、参数方程与普通方程的互化.【备注】无19.(1)由题意可得,直线l的参数方程为a,即(t为参数).由ρ=cos(θ-),得ρ=cos θ+sin θ.所以ρ2=ρcos θ+ρsin θ,得圆C的直角坐标方程为(x-)2+(y-)2=.(2)把代入(x-)2+(y-)2=中,得t2+t-=0,所以|PA|·|PB|=|t1t2|=.【解析】无【备注】无20.解：(Ⅰ),所以,所以当时，.(Ⅱ),由题意得：,令得：,所以函数的对称中心为.【解析】本题考查向量的模、平面向量的数量积、三角函数图像变换、三角函数的性质，意在考查考生的分析理解能力.(Ⅰ)利用平面向量模的公式三角函数最值求得|AB|的最小值；(Ⅱ)先利用向量数量积公式求得函数，根据图像变换求得函数，从而求得其对称中心.【备注】无21.（1）连结,如图所示：、分别为,中点.异面直线与所成角即为.在等腰直角中故异面直线与所成角的大小为.（2）证明：在正方形中又平面.【解析】本题考查异面直线所成角的求解及空间线面垂直的证明,解题思路如下:（1）把异面直线通过平移到一个平面内，即可求异面直线所成角。