南 京 师 范 大 学
2011年攻读硕士学位研究生入学考试（初试）试卷A 考试科目： 614数学分析 适用专业： 应用数学 满分150分 考试时间： 2011年1月16日上午8：30——11：30 注意事项：所有答案必须写在答题纸上，做在试卷或草稿纸上无效； 请认真阅读答题纸上的注意事项，试题随答卷一起装入试题袋中交回。

一、 计算题 （共 5 题，每题 8 分，共计 40 分）
（1） 求第二型曲面积分⎰⎰++S
dxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 是单位球面
1222=++z y x ，方向取外侧。

（2） 设函数)(x f 具有二阶连续导数，且,4)0('',0)(lim 0==→f x
x f x 求x
x x x f 10)(1lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→。

（3） 设),,(x y x y x f w -+=，其中f 有二阶连续偏导数，求y
x w ∂∂∂2。

（4） 在区间)2,0(π内将函数2)(x x f -=
π展开成傅里叶级数。

（5） 求函数2
31)(2+-=
x x x f 的n 阶导数。

二、（共 1题，共计12 分）
设函数)(x f 在区间]1,0[上可导，且)0(2)1(f f =，求证：存在)1,0(∈ξ，使得
)()(')1(ξξξf f =+。

三、（共 1 题，共计12 分）
设函数)(x f 在),(∞+-∞内二次可导，1)(lim 0=→x
x f x ，且0)(">x f ，则 ),(,)(∞+-∞∈∀≥x x x f 。

四、（共 1 题，共计12分）
设函数)(),(x g x f 在[]1,0上连续且单调减少，证明：
⎰
⎰⎰≥10101
0)()()()(dx x g dx x f dx x g x f 。

五、（共 1 题，共计 14 分）
（1）证明级数∑∞
=1)1ln(cos n n 收敛。

（2）设函数)(x f 在区间)1,1(-内具有直到三阶的连续导数，且
,0)0(=f 0)('lim 0=→x x f x ，则级数∑∞=2
)1(n n f n 绝对收敛。

六、（共 1 题，共计12 分）
将直角坐标系下Laplace 方程02222=∂∂+∂∂y
u x u 化为极坐标下的形式。

七、（共 1 题，共计 12 分）
讨论含参量反常积分⎰
∞+-0sin 2
dx x e x α关于α分别在),[∞+ε和),0(∞+上的一致收敛性，其中0>ε。

八、（共 1 题，共计 12 分） 证明函数x
x x f 1cos )111()(++=在),1[∞+上一致连续。

九、（共 1 题，共计 12 分） 证明：函数∑
∞=+=121cos )(n n nx x f 在)2,0(π内有连续的导函数。

十、（共 1 题，共计 12 分）
设)(x f 在],[b a 上连续，且存在非负整数m ，使得 ⎰==b
a n m n dx x f x ),,1,0(0)( ，
证明：)(x f 在),(b a 内至少有1+m 个零点。