则 y d p d p d y p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1 y,
(一阶线性齐次方程) 故所求通解为
法二
yy y 2 0 ,
yy y2 d y
( ) 0,
y2
dx y
故
y y
C1,
(ln | y |) C1,
ln | y | C1x ln | C2 |,
从而通解为 y C2eC1x .
法三
原方程变为
y y , y y
(ln | y |) (ln | y |)， ln | y | ln | y | ln | C1 |，
即 y C1 y，
原方程通解为 y C2eC1x .
例 4 求 方 程 yy y2 0 的 通 解.
例2. 求解 解:
(1 x 2 ) y 2x y y x0 1, y x0 3
代入方程得
(1 x 2 ) p 2x p 分离变量
积分得 ln p ln (1 x 2 ) ln C1 ,
利用 y x 0 3 , 得 C1 3, 于是有 y 3 (1 x 2 ) 两端再积分得 y x3 3 x C2 利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
解： 法一：
…
法二：将方程写成 d ( yy) 0, dx
故有
yy
1 2 C1,
即 ( y2 ) C1,
积分后得通解 y2 C1x C2.
注意: 这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.
例5.
解初值问题
y e2y
y
x0
0 0,
y x0 1
解:
令
y
p ( y),
则
y
pdp, dy
代入方程得
积分得
1 2
p2
1 2
e
2
y
C1
由初始条件, 得 C1 0, 根据 p y0 y x0 1 0, 得
dy p ey dx
积分得 e y x C2 , 再由 y x0 0, 得 C2 1
故所求特解为 1 e y x
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分
令 y p(x) , 令 y p(y) ,
第五节 可降阶的高阶微分方程
一、 y (n) f (x) 型的微分方程
解法:
y (n2)
dx C2
dx C1x C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
例1.
解: y e2x cos x dx C1
1 2
e2x
sin
x
C1
y
1 e2x 4
cos
x
C1x
C2
yБайду номын сангаас
1 e2x 8
sin
x
C1x2
C2x
C3
二、 y f (x, y) 型的微分方程
特点： 不显含未知函数y. 解法： 设 y p (x) ,
原方程化为一阶方程：
设其通解为 p ( x, C1)
则得
y (x, C1)
再一次积分, 得原方程的通解
y (x, C1) dx C2
作业
P288习题4_5 1(单)，2(单)，3，4
y x3 3x 1
三、 y f ( y , y ) 型的微分方程
特点： 右端不显含自变量 x.
解法： 令 y p ( y),
则 y d p d p d y dx dy dx
故方程化为
设其通解为 p ( y, C1), 即得
分离变量后积分, 得原方程的通解
例3. 求解 解:
代入方程得