圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题一、临阵磨枪1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程。

这种求轨迹的方法称之为直接法。

2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。

3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。

4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标(,)x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。

5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。

二、小试牛刀1.已知M （-3,0），N （3,0）6=-PN PM ,则动点P 的轨迹方程为 析：MN PM PN =-Q ∴点P 的轨迹一定是线段MN 的延长线。

故所求轨迹方程是 0(3)y x =≥2.已知圆O 的方程为222=+y x ，圆O '的方程为010822=+-+x y x ，由动点P 向两圆所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为析：∵圆O 与圆O '外切于点M(2,0) ∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等， 故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为2x =3.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，M 是椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点，则线段1MF 的中点P 的轨迹方程为析：设P (,)x y 00(,)M x y 又1(,0)F c - 由中点坐标公式可得：00002222x c x x x c y y y y -⎧=⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩ 又点00(,)M x y 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上 ∴2200221(0)x y a b a b +=>> 因此中点P 的轨迹方程为2222(2)41x c y a b++= 4.已知A 、B 、C 是不在同一直线上的三点，O 是平面ABC 内的一定点，P 是动点，若[)+∞∈+=-,0),21(λλBC AB OA OP ,则点P 的轨迹一定过三角形ABC 的 重 心。

析：设点D 为BC 的中点，显然有OP OA AP -=u u u r u u u r u u u r12AB BC AB BD AD +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r[),0,AP AD λλ=∈+∞u u u r u u u r故点P 的轨迹是射线AD ， 所以，轨迹一定过三角形的重心。

三、大显身手1、直接法例1、设过点P （x,y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，若,2PA BP =且1=⋅AB OQ ,则P 点的轨迹方程为解：设(,0),(0,)A a B b 又(,)P x y 所以(,),(,)BP x y b PA a x y =-=--u u u r u u u r又,2PA BP = 所以32()223x a x a xy b y b y⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=⎩33(,0),(0,3)(,3)22A xB y AB x y ∴∴=-u u u r而Q 点与P 点关于y 轴对称，∴点Q 的坐标为(,)x y - 即(,)OQ x y =-u u u r又1=⋅AB OQ 所以223312x y += 这个方程即为所求轨迹方程。

变式1、已知两点M （-2,0），N （2,0），点P 满足0=⋅+⋅NP MN MP MN ,动点P 的轨迹方程为解:设(,)P x y则：4,(4,0),(2,).MN MP MN NP x y ====-u u u u r u u u r又0=⋅+⋅NP MN MP MN4(2)0x ∴+-= 化简得所求轨迹方程为：28y x =-2、定义法 例2、已知圆A的方程为100)3(22=+-y x ，点B （-3,0），M 为圆O上任意一点，BM 的中垂线交AM 于点P ，求点P 的轨迹方程。

解：由题意知：BP MP =AM PA MP PA PB =+=+∴又圆A 的半径为10，所以 10=AM 10=+∴PB PA即点P 的轨迹是以定点A(3,0) B(-3,0)为焦点，10为长轴的椭圆 （椭圆与长轴所在的对称轴的两交点除外）其轨迹方程为)5(1162522±≠=+x y x变式2、已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点为21,F F ，P 是椭圆上的任意一点，如果M 是线段P F 1的中点，则动点M 的轨迹方程是 解：因为M 是线段P F 1的中点，连接OM ，则221PF OM =1121PF MF = 由椭圆的定义知：a PF PF 221=+a PF PF MO MF =+=+)(21211 即点M 到定点O 、定点1F 的距离和为定值a ，故动点M 的轨迹是以O 、1F 为焦点，以a 为长轴的椭圆，其方程为14)2(42222=++by a c x（说明：此题也可以用代入法解决）3、坐标转移法（代入法）例3、从双曲线122=-y x 上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程。

解：设Q ),(00y x 则由⎩⎨⎧=-+=+--02000y x y x y x 可得 N 点坐标 ⎪⎩⎪⎨⎧++-=+-=22220000y x y y x x 设),(y x P 由中点坐标公式可得：0xyPF1F2M⎩⎨⎧-+=-+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧++-=+-=23223222322232000000y x y y x x y x y y x x 又点Q ),(00y x 在双曲线122=-y x 上， 所以 4442020=-y x 代入得4)23()23(22=-+--+y x y x化简得 21)21()21(22=---y x 即为所求轨迹方程。

变式3、自抛物线x y 22=上任意一点P 向其准线l 引垂线，垂足为Q ，连接顶点O 与P 的直线和连接焦点F 与Q 的直线交于R ，求点R 的轨迹方程。

解：设),(),,(00y x P y x R ∵抛物线的方程是x y 22=∴),21(),0,21(0y Q F -所以 直线OP 的方程是000=-x x x y 直线QF 的方程是 02100=-+y y x y 联立两方程得：⎪⎩⎪⎨⎧--=--=12212200x y y x x x 又 0202x y =所以 )122(2)122(2--=--x xx y 化简得：0222=-+x y x 即为所求轨迹方程。

4、参数法例4、设椭圆方程为1422=+y x ，过点M （0,1）的直线l 交椭圆于A 、B ，点P 满足)(21OB OA OP +=,点)21,21(N ，当直线l 绕点M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程； （2）NP 的最大、最小值。

解：（1）设直线l 的方程为1+=kx y 代入椭圆方程得032)4(22=-++kx x k设),(),,(2211y x B y x A 则 22142k kx x +-=+2422)(222121++-=++=+∴kk x x k y y 设动点P 的坐标为),(y x ，由)(21OB OA OP +=可得 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+-=+=22122144242k y y y k k x x x 消去参数k 即得所求轨迹方程为：0422=-+y y x 当斜率k 不存在时，点P 的坐标为（0,0）显然在轨迹上， 故动点P 的轨迹方程为0422=-+y y x 。

（2）P 点的轨迹方程可以化为1)21(41622=-+y x所以可设点P 的坐标为)sin 2121,cos 41(αα+ 则21cos 41cos 163)sin 21()21cos 41(2222+--=+-=ααααPN127)32(cos 1632++-=α所以 当32cos -=α时 621max=PN 当1cos =α时 41min =PN 变式4、过抛物线x y 22=的顶点作互相垂直的两弦OA 、OB.(1) 求弦AB 的中点的轨迹方程；（2）证明：直线AB 与x 轴的交点为定点。

解：（1）由题意知OA 的斜率存在且不为零，设为k则直线OA 的方程为kx y =与抛物线x y 22=联立可得点A 的坐标为)2,2(2kk 同理可得点B 的坐标为)2,2(2k k - 设弦AB 的中点为M （x,y ）则⎪⎩⎪⎨⎧-=+=kk y k k x 1122消去k 得弦AB 的中点的轨迹方程为 22-=x y（2）直线AB 的斜率为21k kk AB -=所以，其方程为)2(1222k x kk k y --=+ 令0=y 得2=x 故直线AB 与x 轴的焦点为定点（2,0） 5、交轨法例5、垂直于x 轴的直线交双曲线1222=-b y a x 于M 、N 两点，21,A A 为双曲线的顶点，求直线M A 1与N A 2的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状。

解：.解：(1)设M 点的坐标为(x 1,y 1)，则N 点坐标为(x 1,－y 1),又有)0,(),0,(21a A a A -则A 1M 的方程为：y =)(11a x ax y ++ ① A 2N 的方程为：y =－)(11a x ax y -- ② ①×②得：y 2=－)(2222121a x ax y --③又因点M 在双曲线上，故).(,12212221221221a x ab y b y a x -==-即代入③并整理得2222by a x +=1.此即为P 的轨迹方程.变式5、设点A 、B 为抛物线)0(22>=p px y 上除原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB,OM ⊥AB 于M ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。