如图，F 为圆锥曲线的焦点，l 为相应于焦点F 的圆锥曲线的准线，过点F 作准线l 的垂线，垂足为k ，令||FK p =，M 为圆锥曲线上任意一点，MN l ⊥于
N ，FH MN ⊥于H ，设xFM θ∠=，依圆锥曲线的统一定义有||
||
MF e MN =⑴，又
||||||||||co ||s MN NH MH FK MH p MF θ=±=±=+，代入(1)有
||cos ||
MF e p MF θ
=+，1|c |os ep
MF e θ
=
-⑵。

若直线MF 交圆锥曲线于另一点M '，同理可证|cos |1ep
M F e θ
'=+⑶，由此还可推出过焦点F 的弦长为
222||||||1cos 1cos 1cos ep ep ep
MM MF M F e e e θθθ''=+=+=
-+-⑷，两焦半径的比为||1cos ||1cos MF e M F e θθ+='-⑸。

例1：过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F ，作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别
为p 、q ，则11
p q +=4a 。

例2：已知椭圆长轴长为6，焦距为42，过椭圆的左焦点1F 作直线交椭圆于M 、
N 两点，设21(0)F F M ααπ∠=≤≤，当α=566
ππ
或时，||MN 等于椭圆短轴长。

例3：过双曲线2
2
12
y x -=的右焦点作直线l 交双曲线于A 、
B 两点，若实数λ使得||AB λ=的直线l 恰有3条，则λ= 4 。

例4：过椭圆的一个焦点作一条与长轴夹角为30︒的弦AB ，若||AB 恰好等于焦点到准线距离的2倍，
则此椭圆的离心率为2
3。

例5：1F 、2F 分别是椭圆2212x y +=的左、右焦点，过1F 作倾斜角为4
π
的直线与椭圆交于P 、Q 两点，
求2F PQ 的面积。

解：首先求出边PQ 的长度，它是过焦点1F 的弦，其倾斜角
4π
，2a =，1b =，1c =，故2242132|2
|PQ ==
-，而2F 到直线PQ 的距离为12sin ||24
F F π
=，所以2F PQ 的面积为14242233⋅⋅=。

例6：过椭圆22
143x y +=的右焦点2F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若22||:|2|AF BF =，则左焦点1F 到
直线l 的距离d 为25
3。

例7：过双曲线222222b x a y a b -=的右焦点且斜率为3
5
的直线交双曲线于P 、Q 两点，若OP OQ ⊥，||4PQ =，则双曲线的方程为2233x y -=。

解：设直线PQ 的倾斜角为θ，则3tan 5θ=
，23sin 8
θ=，又设直线PQ 的方程为()35y x c =-，11(),P x y ，22(),Q x y ，OP OQ ⊥，1212 0x x y y ∴+=，即12123
05
()()x x x c x c +--=，
化简得2121238()30c x x x x c +--=⑴，将直线方程代入双曲线方程，整理得22222222()()356350a b x a cx a c a b --++=，将上述方程的根与系数的关系代入⑴化简整理得2
2
3b a =⑵，由弦长公式④得2
22222
24|||/8|
5343ab b a ab b c =⇔-=-⑶，将⑵代入⑶化简，即得21a =，从而23b =，故所求双曲线方程为2233x y -=。

例8：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为21-。

例9：设椭圆22
2210()x y a b a b
+=>>　
的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦长等于1F 到
1l 的距离，则椭圆的离心率是1
2。

例10：设抛物线20)2(y px x =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC 平行于x 轴，证明直线AC 经过原点O 。

证明：如图，连AC ，设交EF 于O '，设AF
FB
λ=，AB 与x 轴所成角为θ，由
推论1cos 1cos 1cos 1cos e e θθλθθ++==--①，过点A 作AD ∥EF ∥BC ，有EO CO BF
AD AC AB ''==
，故11 AD BF BF EO AF AF
AB AB λ⋅'===+②，①代入②，整理得2EF
EO '=，∴O '为EF 中点，即AB 过原点O 。