第1章 测试技术基础知识1.4 常用的测量结果的表达方式有哪3种？对某量进行了8次测量，测得值分别为：82.40、82.43、82.50、82.48、82.45、82.38、82.42、82.46。

试用3种表达方式表示其测量结果。

解：常用的测量结果的表达方式有基于极限误差的表达方式、基于t 分布的表达方式和基于不确定度的表达方式等3种1）基于极限误差的表达方式可以表示为0max x x δ=±均值为8118ix x==∑82.44因为最大测量值为82.50，最小测量值为82.38，所以本次测量的最大误差为0.06。

极限误差m ax δ取为最大误差的两倍，所以082.4420.0682.440.12x =±⨯=±2）基于t 分布的表达方式可以表示为x t x x ∧±=σβ0标准偏差为s ==0.04样本平均值x 的标准偏差的无偏估计值为ˆx σ==0.014自由度817ν=-=，置信概率0.95β=，查表得t 分布值 2.365t β=，所以082.44 2.3650.01482.440.033x =±⨯=±3）基于不确定度的表达方式可以表示为0xx x x σ∧=±=±所以082.440.014x =±解题思路：1）给出公式；2）分别计算公式里面的各分项的值；3）将值代入公式，算出结果。

第2章 信号的描述与分析2.2 一个周期信号的傅立叶级数展开为12ππ120ππ()4(cossin)104304n n n n n y t t t ∞==++∑（t 的单位是秒）求：1）基频0ω；2）信号的周期；3）信号的均值；4）将傅立叶级数表示成只含有正弦项的形式。

解：基波分量为12ππ120ππ()|cossin104304n y t t t ==+所以：1）基频0π(/)4rad s ω=2）信号的周期02π8()T s ω==3）信号的均值042a = 4）已知 2π120π,1030n n n n a b ==，所以4.0050n A n π===120π30arctanarctanarctan 202π10n n nn b n a ϕ=-=-=-所以有0011()cos()4 4.0050cos(arctan 20)24n n n n a n y t A n t n t πωϕπ∞∞===++=+-∑∑2.3某振荡器的位移以100Hz 的频率在2至5mm 之间变化。

将位移信号表示成傅立叶级数，并绘制信号的时域波形和频谱图。

解:设该振荡器的位移表达式为()sin()s t A t Bωϕ=++由题意知100f Hz =振荡频率，所以有2200f ωππ==信号的幅值52 1.52A -==信号的均值25 3.52B +==信号的初相角0ϕ=所以有() 3.5 1.5sin(200)s t t π=+=3.5 1.5cos(200)2t ππ++即该信号为只含有直流分量和基波分量的周期信号。

2．5 求指数函数()e (00)at x t A a t -=>≥，的频谱。

√ 解：dt eAedt e t x X tj attj ⎰⎰+∞--+∞∞--==)()(ωωω()22)j a tAA A a j ea j a j a ωωωωω+∞-+-=-==+++（（到此完成，题目未要求，可不必画频谱）|()|||()arctanAX j ωαωωφωα==+=-2．6求被截断的余弦函数0cos t ω0cos ||()0 ||t t T x t t Tω<⎧=⎨≥⎩(题图2-6 )的傅里叶变换。

√()()j tX x t edt ωω+∞--∞=⎰00TT00000012sin()sin()[]([sin c()sin c()]j t j t j t e e e dt TTT T T ωωωωωωωωωωωωωωω---=+-=++-=++-⎰（+）到此式也可以）2． 7求指数衰减振荡信号0()e sin atx t t ω-=的频谱。

√题图2-60000j j 022()()esin 1j(ee)e2())j tatj tt tatj tX x t e dt t e dtedt a j ωωωωωωωωωω+∞+∞----∞+∞---==⋅=-=++⎰⎰⎰2．8 余弦信号()cos x t X t ω=的绝对均值x μ和均方根值rm s x 。

√ 解：π20=TπωππμππXdt t X dt t x dt t x T T 2cos 21)(21)(12020x====⎰⎰⎰2)(102X dt t x T x T rms ==⎰2． 9求()h t 的自相关函数。

√e (00)()0 (0)at t a h t t -⎧≥>=⎨<⎩，解：对能量有限信号()h t 的相关函数()()()()d ()x ata t x R x t x t tR eedtττττ∞-∞∞--+=+=⋅⎰⎰202a ateedt a τ-∞-=⎰20()2a ateea τ--+∞=-2a eaτ-=2．10求正弦波和方波的互相关函数。

√ 解法一：()sin x t t ω=，1(/23/2)()1(0/2,3/22)t y t t t πππππ<≤⎧⎪=⎨-<≤<≤⎪⎩1()lim()()Txy T R x t y t dt Tττ→∞=+⎰1()()T x t y t dt T τ=+⎰/23/22/23/2[sin sin sin ]2tdt tdt tdt πτπτπττπτπτωωωωπ-----=-++-⎰⎰⎰/23/22/23/2[cos |cos |cos |]2t t t πτπτπττπτπτωωωωπ-----=-+2sin ωτπ=解法二：因为()()xy yx R R ττ-= 00344441()lim()()()1lim()()sin ()sin ()2sin Txy T yx TT TTT T R x t y t dtTR y t x t dtTt dt t dtττττωτωτωτπ→∞→∞-=+=-=-=--+-=⎰⎰⎰⎰2． 12 知信号的自相关函数为cos A ωτ，请确定该信号的均方值2x ψ和均方根值rm s x 。

√解：2(0)cos 0x x R A A φ===rms x ==3-16 三个余弦信号1()cos 2x t t π=、2()cos 6x t t π=、3()cos10x t t π=进行采样，采样频率4H z s f =，求三个采样输出序列，比较这三个结果，画出1()x t 、2()x t 、3()x t 的波形及采样点位置并解释频率混叠现象。

√ 解：114s sT f ==11()()()()()()()44s s n s s n n x t x t t nT x nT t nT n n x t δδδ∞=-∞∞=-∞∞=-∞=⋅-=-=-∑∑∑1()cos(2)()44cos()()24s n n n n x t t n n t πδπδ∞=-∞∞=-∞=-=-∑∑cos2n π=（也可以写成这种形式）2()cos(6)()443cos()()24s n n n n x t t n n t πδπδ∞=-∞∞=-∞=-=-∑∑3cos2n π= 3()cos(2)()445cos()()24s n n n n x t t nn t πδπδ∞=-∞∞=-∞=-=-∑∑5cos2n π=∵ 8s ωπ=，πω21=，πω62=，πω103=∴12s ωω>， 1()x t 不产生混叠；22s ωω<、32s ωω<，2()x t 、3()x t 产生混叠。

第3章 测试系统的基本特性3． 5用一个时间常数为0.35s 的一阶装置去测量周期分别为1s 、2s 和5s 的正弦信号，问幅值误差将是多少？√ 解：∵一阶装置的幅频特性为：2)(11)(τωω+=A ，其中时间常数35.0=τ若测量周期分别为1s 时，即πππω2221===Tf则=+=211)(11)(τωωA∴振幅误差==-=-9.01)(11ωA3．6求周期信号()0.5cos100.2cos(10045)x t t t =+- 通过传递函数为1()0.0051H s s =+的装置后所得到的稳态响应。

√ 解：因为1()0.0051H s s =+，0.005τ∴=又因为()0.5cos100.2cos(10045)o x t t t =+- 令1()0.5cos10x t t =则：1()0.99875A ω==11()arctan() 2.86oϕωτω=-=-令2()0.2cos(10045)ox t t =-则：2()0.894A ω==22()arctan()26.57oϕωτω=-=-()0.50.99875cos(10 2.86)0.20.894cos(1004526.57)o o oy t t t ∴=⨯-+⨯-- 0.5cos(10 2.86)0.18cos(10071.57)oot t ≈-+-。

3． 10频率函数为23155072(10.01j )(1577536176j )ωωω++-的系统对正弦输入()10sin(62.8)x t t =的稳态响应的均值显示。

√解：222221222113155072()(10.01)(1577536176)11256210.01125612560.07()11256(),()10.01125612560.07()21()()10*(62.8)10.01()H j j j j j j H j H j j j j S H j X t t j A ωωωωωωωωωωωωωωω=++-=⨯⨯++⨯+∴==++⨯+∴===+∴ 系统为一阶系统和二阶系统串联，灵敏度对于，输入222220000.851256()125612560.07()0.07,1256()0.998101020.850.99816.9660.70712n rm s H j j j A x y y y ωωωζωω====+⨯+==∴===∴=⨯⨯⨯=∴=⨯= 对于有3.11试求传递函数分别为 1.53.50.5s +和222411.4nn ns s ωωω++的两环节串联后组成的系统的总灵敏度。

√ 解：同上题，先将2个传递函数改写，求出1S 、2S ：1.533.50.571s s =++，13S =222411.4nn ns s ωωω++，241S =两环节串联后组成的系统的总灵敏度21S S S ⨯==1233.12设某力传感器可作为二阶振荡系统处理。