采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，…
采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，…
采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，… (2)由计算结果及采样脉冲图形可以看出，虽然三个信号频率不同，但采样 后输出的三个脉冲序列却是相同的，产生了频率混迭，这个脉冲序列反映
.
4 25 2
()
2
0 0 30 50
0 0
30 50
单边幅频谱
单边相频谱
（2）复指数展开式 复指数与三角函数展开式之间的关系如下：
C0 =a0 CN =(an-jbn)/2 C-N =(an+jbn)/2
ReCN =an/2 ImCN =-bn/2
C0 A0 a0
Cn
1 2
a
2 n
bn2
2.14 频率混叠是怎样产生的，有什么解决办法？
答：
(1)当采用过大的采样间隔Ｔｓ对两个不同频率的正弦波采样时，将会得到一 组相同的采样值，造成无法辩识两者的差别，将其中的高频信号误认 为低频信号，于是就出现了所谓的混叠现象。
n
双边相频谱
-50 -30 -0 0 0 30 50
.
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解：该三角形窗函数是一非周期函数，其时域数学描述如下：
x(t) 1
-T0/2 0 T0/2
x(t)
1 1
2 T0 2
t t
T0 t 0 2 0 t T0
T0
2
t
用傅里叶变换求频谱。
X ( f ) x(t)e j2ft dt T0 /2 x(t)e j2ft dt
1 T0
T 0 x 2 (t)dt
0
1 T0
T0 0
sin 2
2f 0 t dt
1 2T 0
T0 0
(1 cos 4f 0 t) dt
1 2T 0
1
(T 0
4f 0
sin 4f 0 t
T0 0
)
1
1
2T 0
(T 0
4f 0
sin 4f 0 T 0 )
1/
2
解：周期三角波的时域数学描述如下：
A2 ( 1 )e a e 2at 2a
0
A2 e a 2a
解：
对于周期信号可用一个周期代替其整体，故有
Rx
(
)
1 T
T
x(t)x(t )dt
0
＝ 1 T A2 cos(t ) cos[(t ) ]dt
T0 式中，T是余弦函数的周期，T＝2/
令t ＝代入上式，则得
Rx
(
)＝
A2 2
不出三个信号的频率特征。原因是对于 定理。脉冲图见下图。
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，不符合采样
2.8. 利用矩形窗函数求积分
的值。
解：
(1)根据 Paseval 定理，时域能量与频域能量相等，而时域 域的矩形窗。
对应于频
即
(2)
.
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=
=
= =
2.9 什么是窗函数, 描述窗函数的各项频域指标能说明什么问题? 解： (1)窗函数就是时域有限宽的信号。其在时域有限区间内有值，频谱延伸至 无限频率。 (2)描述窗函数的频域指标主要有最大旁瓣峰值与主瓣峰值之比、最大旁瓣 10 倍频程衰减率、主瓣宽度。 (3)主瓣宽度窄可以提高频率分辨力，小的旁瓣可以减少泄漏。 2.10 什么是泄漏？为什么产生泄漏？窗函数为什么能减少泄漏？ 解： (1)信号的能量在频率轴分布扩展的现象叫泄漏。
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解： （1） 瞬变信号－指数衰减振荡信号，其频谱具有连续性和衰减性。 （2） 准周期信号，因为各简谐成分的频率比为无理数，其频谱仍具有离散
性。 （3） 周期信号，因为各简谐成分的频率比为无理数，其频谱具有离散性、
谐波性和收敛性。
解：x(t)=sin2f0t 的有效值（均方根值）：
x rms
则 x(t)sin n0t 也是奇函数，而奇函数在上下限对称区间上的积分等于 0。故
bn 0。
因此，其三角函数展开式如下：
x(t)
1 2
4 2
n1
1 n2
cos n0t
(n=1, 3, 5, …）
1 2
4 2
n1
1 n2
sin(n0t
2)
其频谱如下图所示：
.
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A()
1 2
4
2
4
9 2
n 1, 3, 5, n 2, 4, 6,
.
实频谱
1 2
2
2
2
9 2 2
25 2
ReCn
2
2
2
9 2
2 25 2
-50 -30 -0 0 0 30 50
虚频谱
ImCn
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-50 -30 -0 0 0 30 50
双边幅频谱
1 Cn
2
2
2
2
9 2 2
25 2
2
2
2
9 2
2 25 2
-50 -30 -0 0 0 30 50
.
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x(t
) 1
..
..
.
-T0/2 0
T0/2
.t
A
2A T0
t
x(t )
A
2A T0
t
x(t nT0 )
（1）傅里叶级数的三角函数展开：
T0 t 0 2
0 t T0 2
1
a0 T0
T0 / 2 x(t)dt 2
T0 / 2
T0
T0 / 2 (1 2 t)dt 1
.
a a`
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b b`
c c`
2.5 一线性系统，其传递函数为 时，
，当输入信号为
求：（1）
；（2）
；（3）
；（4）
。
.
解：(1) 线性系统的输入、输出关系为：
已知
，则
由此可得：
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(2) 求
有两种方法。其一是利用
的傅立叶逆变换；
其二是先求出
，再求
，其三是直接利用公式
求。
下面用第一种方法。
.
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(2)由于窗函数的频谱是一个无限带宽的函数，即是 x(t)是带限信号，在截 断后也必然成为无限带宽的信号，所以会产生泄漏现象。
(3)尽可能减小旁瓣幅度，使频谱集中于主瓣附近，可以减少泄漏。 2.11. 什么是 “栅栏效应”？如何减少“栅栏效应”的影响？ 解： (1)对一函数实行采样，实质就是“摘取”采样点上对应的函数值。其效果 有如透过栅栏的缝隙观看外景一样，只有落在缝隙前的少量景象被看到， 其余景象都被栅栏挡住，称这种现象为栅栏效应。
4f0t
T0 0
)
1/ 2
.
第二章 习 题（P68）
=
解： x2
Rx (0)
lim(60) sin(50 ) 0
lim
0
3000(sin 50 50
)
3000
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-
解：
T
Rx
(
)
lim
T
x(t)x(t )dt
T
lim T Aeat Aea(t ) dt T 0
A2 lim T e2at ea dt T 01 2An Nhomakorabean
arctg
ImCn ReCn
arctg( bn ) an
故有
ReCN =an/2
2 n2 2
sin 2
n 2
2
n
2
2
0
ImCN =-bn/2 ＝0
C0
A0
a0
1 2
1
Cn
2
an2
bn2
1 2 An
=
1 2 an
n
arctg
I mCn ReCn
arctg( bn ) 0 an
0
T0
2
an
2 T0
T0 / 2 T0 / 2
x(t) cosn0t
dt
4
T0
T0 0
/2
(1
2 T0
t) cosn0t
dt
4 n2 2
sin 2
n 2
4
n
2
2
0
n 1, 3, 5, n 2, 4, 6,
bn
2 T0
T0 / 2 T0 / 2
x(t) sin
n0t
dt
，式中由于 x(t)是偶函数，sin n0t 是奇函数，
2
2
2
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X(f ) T0/2
2
6
2
T0
T0
T0
6 T0
4
0
T0
4
f
T0
(f )
6 4 20
24 6
T0 T0 T0
T0 T0 T0
f
解： 方法一，直接根据傅里叶变换定义来求。
.
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X () x(t)e jt dt
0
eat sin 0t e jt dt
e(a j)t j (e j0t e j0t )dt
T
T
0
0
0
.
由于窗函数的频谱 W () 2T sin c(T ) ，所以
X ()
1 [W (
2
0 )
W (
0 )]
T[sin c( 0 )T sin c( 0 )T ]
其频谱图如上图所示。
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解：
x
1 T0
T0 x(t) dt