数学必修4基础知识与典型例题
三角函数
角的概念1.①与α终边相同的角β的集合：__________________________
②第一象限角的集合：_____________________________
2.角度与弧度的互换关系：______________________
3.弧长公式：____________ 扇形面积公式：_____________
例1.已知α为第三象限角，则
2
α
所
在的象限是( )
(A)第一或第二象限
(B)第二或第三象限
(C)第一或第三象限
(D)第二或第四象限
三角函数的定义1.三角函数定义:在角α终边上任取一点(,)
P x y（与原点不重合），记
2
2y
x
r+
=，则=
α
sin____,=
α
cos____,=
α
tan____
2.各象限角的三角函数值符号:
一全二正弦,三切四余弦
α
sinα
cosα
tan
1.同角三角函数基本关系:_________________________________
2.诱导公式:
公式（一）公式（二）
=
+)
2
sin(x
kπ_______; =
-)
sin(x_________;
=
+)
2
cos(x
kπ_______; =
-)
cos(x________;
=
+)
2
tan(x
kπ_______; =
-)
tan(x_________;
公式（三）公式（四）
=
+)
sin(x
π_________; =
-)
sin(x
π_________;
=
+)
cos(x
π_________; =
-)
cos(x
π_________;
=
+)
tan(x
π_________; =
-)
tan(x
π_________;
例 2.已知角α的终边经过点
)3
,4(-
P,求α
αcos
sin
2+的值.
例 3.若θ是第三象限角,且
cos cos
22
θθ
=-,则
2
θ
是( )
(A)第一象限角(B)第二象限角
(C)第三象限角(D)第四象限角
例4.若cos0,
θ>sin20,
θ<
且
θ
则角的终边所在象限是（）
(A)第一象限(B)第二象限
(C)第三象限(D)第四象限
例5.化简：①
440
sin
12
-
②
)
2
5
sin(
)
4
tan(
)
tan(
)
2
3
cos(
)
sin(
α
π
α
π
α
π
α
π
α
π
+
-
-
-
-
-
③α
αsin
3
cos+
例 6.已知点P(cos,sin)
θθ在直线
20
x y
-=上，试求下列各三角函数
式的值:
三角函数 三角函数
1.向量的有关概念
（1）向量:既有_____又有____的量.向量的_______叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度). （2）理解零向量、相等向量、单位向量、共线向量、相反向量的概念。
注：①向量不能比较大小，向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a 与b 相等,记为a b = ②共线向量又称为平行向量。
规定:0与任一向量共线. 0与任一向量垂直。
2.向量的运算 运 算
图形语言
符号语言
坐 语言
加法与 减法
OA --→
+OB --→
=_____
OB --→OA --→
-=_____ 记OA --→
=(x 1,y 1),OB --→
=(x 1,y 2) 则OA OB +=_____________
OB OA -=_______________
OA --→
+AB --→
=______
实数与向量的乘积
AB --→=λa →
，λ∈R
记a →
=(x ,y )，则λa →
=__________ ___
两个向量的数量积
=•b a _________
记1122(,),(,)a x y b x y == 则a →
·b →
=________________
叫做表示这一平面内所有向量的②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量1122e e λλ+①当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若___________________________ (求线段的长度b 在a 的模与b 在a =____________;如果
1(P x
4.已知向量→a ＝(4,2)，→b ＝(x ,3)，且→a ∥→
b ，则x 的值是( ) A ．6 B ．－6 C ．9 D ．12
5.已知向量)2,3(-=a , )0,1(-=b ，向量a b λ+与b a 2-垂直，则实数λ的值为( ) A.71-
B. 71
C. 61
D. 6
1
-
6.已知a 、→
b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3→
b | =（ ） A ．7
B ．10
C ．13
D ．4
7.已知a =（3，4），b =（5，12），则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．
65
63
B ．
65 C ．513
D ．13
8.已知向量a ，→
b 满足a ⊥→
b ，|a |＝1，|→
b |＝2，则|2a －→
b |＝( ) A ．0 B ．2 2 C ．4
D ．8
9.如图，ABC ∆为等腰三角形，ο
30=∠=∠B A ，设，
，AC 边上的高为BD ．若用b a ,表示
，
则表达式为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10.以A(2，5)，B(5，2)，C(10，7)为顶点的三角形的形状是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形 11.已知12,5||,3||=⋅==b a b a 且，则向量a 在向量b 上的投影为（ ） A ．
5
12 B ．3
C ．4
D ．5
12.若向量a ＝(1,1)，→
b ＝(2,5)，
c ＝(3，x )，满足条件(8a －→
b )·
c ＝30，则x ＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
13. 若平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是o
180，且53||=b ，则=b ( )
A ．)6,3(-
B ．)6,3(-
C ．)3,6(-
D ．)3,6(- 14.已知向量)3,2(),2,1(-==b a ，．若向量c 满足b a c //)(+，)(b a c +⊥，则c =
（ ）
A ．77
(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)9
3--
15．若OA =)8,2(，OB =)2,7(-，则
3
1
AB =___________ 16．已知向量)2,1(,3==b a
，且b a ⊥，则a 的坐标是____________
17．若3a =,2b =，且a 与b 的夹角为0
60，则a b -= 。
18．在平面四边形ABCD 中，若AB ＝DC ，且|AB |＝|BC |，则四边形ABCD 是__________． 19．已知4,
3==→→
b a ，且向量→a ，→b 不共线，若向量→a +k →b 与向量→a -k →
b 互相垂直，则实数k 的值为 ．
的最大值为 .
的夹角为60。