人教版八年级数学下册练习二次根式定义一、基础知识1(a ＞0)的式子叫二次根式．2．举几个不同类型的二次根式 ． 3a ≥0？45．到现在我们已经学习了三个类型的非负数，请写出已学过的三个类型的非负数．二、能力提升1．二次根式2+x ，有意义的条件是( ) A ．2x >- B ． 2-≥x C ．2x ≠-D ． 2-≤x2．使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ＞3B ．x ≥3C ．x>4D ．x ≥3且x ≠43．二次根式的最小值是 ．4．写出一个含有二次根式的代数式，分别满足下列条件时才有意义．（1）2x >-； （2）2≤x ；（3）2≥x 且x ≠3； （4）x ＞0；（5）x ＜0； （6）x =0；（7）x 为一切实数．5．当x = 时，510--x 有最大值为 ．6．当x = 时，1211++x 有最小值为 ． 7．已知a 为实数，求代数式294a a a -+--+的值．8．已知5y =，求x 、y 的值．9．已知2a a -+=，求a 的值．100=，求a 、b 、c 的值．11．已知)0(753>=+a b a，3s b = （1）用sb ； （2）求s 的范围．122008c d --，求a b c d +++的值．13．已知3523199x y m x y m x y +-++-=-+⨯199x y --，求m 的值．二 次 根 式 的 混 合 运 算1．公式=2)(a a ．2．填空①=2)2( ；②=2)21(；③=2)35( ；④=-2)33( ． 3．公式=2a a ．4．填空（1）9= ； （2）2(4)-= ； （3）25= ， （4）2(3)-= ；（5）2)1(-m (m >1)= ；(6)221a a ++(a <-1) = ．5．已知x ≥2，则=-2)2(x ． 6．（1）如图，化简()2b a += ；（2）如图，化简=-2)(a b ．7．（1）已知1)3()2(22=-+-x x ，求x 的范围；（2）已知22(2)(4)x x -+-的值是常数2，求x 的范围．8．（1）已知x x -=-5)5(2，求x 的范围； （2）如果2693x x x +-+=，求x 的范围．9．计算：(把分母中的根号化去) （1）22； （2）515；（3）yx y x --．10．在实数范围内因式分解： （1）32-x ； （2）44-x ；（3）2222+-x x ；（4）243x x --．11．化简：（1）8； （2）12；（3）24； （4）28；（5）32； （6）40；（7）45； （8）54；（9）108； （10）243；（11）864； （12）845．12．化简二次根式： （1）21； （2）853；（3）536； （4）b a 4-( a ＞0) ．13．化简二次根式：要求：把根号外面的式子移到根号内． （1）212； （2）854-；（3）5310-； （4）aa 1-．14．化简二次根式：要求：把根号内的式子移到根号外． （1（2）xx --51)5(；（3）； （4）aa b a ba 1-+-．15．计算：（1； （2（3； （4）22×432；（5）b a a 331275⋅ ； （6）54×223．16．化简：（1； （2； （3（4（5（6）810．17．计算： （1）324； （2）18132÷； （3； （4）8128．18．化简：（1）1003； （2）2925yx； （3（419求x 的值．20．(1)已知：整数x 、y=，求x 、y 值．(2) 已知整数x 、y 满足425=+y x ，求x 、y值．21．已知m -18是整数，则自然数m = ． 22．已知m 24是整数，（1）求自然数m 的最小值为 ； （2）求自然数m 的最小的四个值为 ； （3）写出第n 自然数m 的值为 ．23．已知n 是整数，且n -123是正整数，则正整数n 的最小值是： ，最大值是： ．24.若关于x的方程240200x -+=存在整数解，则正整数m 的所有取值的和为 ．25．若关于x的方程2100x m -+=有整数解，又已知m 是正整数，则x 可能取值的的和等于 ．26．n为自然数，求n 的值．27．计算： （1）；（2）caa bc ab a b 41)41(3÷-⨯；（3）)150(302153-÷⨯；（4）)631(205315-÷⨯；（5）2⋅（6）b ba b a x bx b a -÷+⨯--543322322；（7）)3192(3222xy y x xy xy ÷⨯；（8）6)32(÷+；（9）(1++；（10）20082009(2(2+⨯-；（11）20012002(7(7-⋅--；（12）)3121(6+÷；（13）22-．28．（1）已知2x =求2(7(2x x ++的值．（2）已知120132012-=m ,求201520122345+--m m m 的值．（3）已知56+=a ，56-=b ．求20522-++ab b a 的值．29．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：=-1，=-，-……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算(+++……的值．30．比较23-与32-的大小关系．31．已知a ＞b ＞0，a +b== ．32．a 表示5的整数部分，b 表示5的小数部分．计算2)(b a ba-+．33．已知2310x x -+=值．34．请你巧算2225064114--．35．36．有一架不等臂的天平，当一物体放在右边时称得质量为180克，当这一物体放在左边时称得质量为175克．求这一物体的重量？杠杆平衡原理：右盘内的重量乘以右臂长度等于左盘内的重量乘以左臂长度即am=bn．37．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170﹣1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用：n n⎡⎤-⎥⎦表示(其中，n≥1 )．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．38．设ma≤2)求m10+ m9+ m8+…+ m2+ m-29的值．39．已知0＜x＜140=，的值．41．已知x=y＞0，求x︰y的值．42．观察下列等式：=…．写出第n个等式并证明它的正确性．43．先观察下列等式，再回答问题：=（1）根据上面三个等式提供的信息，试写出第④个等式，并进行检验．（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式，并证明．44．观察下列等式11112=+-，11123+-，11134+-，…．回答下列问题（1）请猜想第10个等式为；（2）第n个等式并证明它的正确性．勾股定理一、基本概念1．定义：如果直角三角形的两边长分别为a、b,斜边长为c,那么a2＋b2=c2．讲例：在Rt△ABC，∠C=90°⑴已知a=b=5，求c；⑵已知a=1，c=2，求b；⑶已知c=17，b=8，求a；⑷已知a ︰b =1︰2，c =5，求a ；⑸已知b =15，∠A =30°，求a ，c ；⑹已知直角三角形中两边长为3、4，求第三边长度．2．勾股定理的推导方法一：如图，用4个全等的直角三角形，拼成如图的图形，利用面积证明． ∵S 正方形＝c 2S正方形＝4×12ab +(b -a )2∴4×12ab +(b -a )2= c 2∴a 2+b 2=c 2．方法二；已知：在Rt △ABC 中，两直角边分别为a 、b ，斜边为c ．求证：a 2+b 2=c 2．分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等． 左边S =4×12ab +c 2右边S =(a +b )2左边和右边面积相等，即 4×12ab +c 2=(a +b )2 化简可得．方法三：以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab ．把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE , ∴ ∠ADE = ∠BEC . ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º-90º= 90º. ∴ △DEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于12c 2. 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于12(b +a )2. ∴12(b +a )2=2×12ab +12c 2. ∴a 2+b 2=c 2．二、勾 股 数例1．（1）常见勾股数的识记：3，4 ； 6， 8 ；5，12 ； 7， 24 ； （2）15是一组勾股数中的一个数，请写出其它的两个勾股数，至少写出3组．(要求写出推理过程)（3）一个直角三角形的三条边长均为整数，已知它的一条直角边长为14，求另两边的长．例2．如下表，表中所给的每行的三个数a 、b 、c ，有a ＜b ＜c .（1）试根据表中已有数的规律，写出当a =19时，b ，c 的值；（2）并把b 、c 用含a 的代数式表示出来；（3）写出第n 组数据．例3．已知①4，3，5；②12，5，13；③24，7，25…找出它们的规律用含m 、n (m ＞n ，m 、n 是互质且一奇一偶的任意正整数)的式子表示这组勾股数．（2mn , 22n m -, 22n m +）三、勾股定理解决应用题例4．如图，是一扇高为2m ，宽为1.5m 的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3m ，宽2.7m ；②号木板长2.8m ，宽2.8m ；③号木板长4m ，宽2.4m ．可以从这扇门通过的木板是（ ）A ．①号B ．②号C ．③号D ．均不能通过例5．如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD 的周长和面积．例6．如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.求小明到达的终止点与原出发点的距离．四、勾股定理与方程例7．在△ABC 中，已知AB =39，AC =25，BC =56，求△ABC 的面积．3、4、5 32+42=52 5、12、13 52+122=132 7、24、25 72+242=252 9、40、41 92+402=412 …… …… 19，b 、c 192+b 2=c 2 a ，b 、c a 2+b 2=c 210 40 2040 出发点 70 终止点 A例8．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA =15km ，CB =10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？五、勾股定理在数形结合中的应用例9．（1）如图，分别以Rt △ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3之间有的关系式： ．（2）如图，分别以Rt △ABC 三边为边向外作三个等腰直角三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，已知AC =4，利用上题结论求S 1+S 2+S 3的值．练习：1．求下列图中字母所代表的正方形的面积．2．图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形7的边长为1cm ，则正方形1的边长为__________cm .3．学校有一块长方形的花圃，经常有同学为了少走几步而走捷径，于是在草坪上开辟了一条“新路”，他们这样走少走了几步？(每两步约为1米）4．小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机．小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你能解释这是为什么吗？六、立体图形中的勾股定理应用A D EB CS1S 2 S 3 A B C D EF路例9．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？例10．在一个棱长为10cm正方体两个相距最远的顶点处有一只苍蝇B和蜘蛛A，蜘蛛可从哪条最短的路径爬到苍蝇处？并出蚂蚁爬行的最短线路长度．例11．如图，一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm ．七、勾股定理与古诗词例12．印度数学家什迦逻(1141年-1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上一尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题. 八、面积法求高例13．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=25，E为AB上一点且∠CED=90°，DE=8，CE=6，求四边形ABCD的面积．练习：1．填空：在Rt△ABC，∠C=90°，⑴如果a=7，c=25，则b= ．⑵如果∠A=30°，a=4，则b= ．⑶如果∠A=45°，a=3，则c= ．⑷如果c=10，a b=2，则b= ．A BA BCDE⑸如果a 、b 、c 是连续整数，则a +b +c = ．⑹如果b =8，a ︰c =3︰5，则c = ．2．△ABC 中，AB =AC =25cm ，高AD =20cm ，则BC = ，S △ABC = ．3．△ABC 中，若∠A =12∠B =13∠C ，AC =23cm ，则∠A = 度，∠B = 度，∠C = 度，BC = ，S △ABC = ．4．如图，△ABC 中，AB =AC =20，BC =32，∠DAC =90°，求BD 的长？5．在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB 于D ，∠A =60°，CD =3，AB = ．6．如图是边长为1的小正方形组成的网格，现请你只有无刻度的直尺画出下列线段：AB =2, CD =5, EF =22, GH =10, MN =13, PQ =25．7．在数轴上画出表示 5，2+5的点．8．请在方格内画△ABC ，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为2，25，412．求：(1)△ABC 的面积；(2)求出最长边上高．9．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米．10．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是．11．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B 地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用．12．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C 两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为．13．有一个边长为1米正方形的洞口，用一个圆形盖去盖住这个洞口则圆形盖半径至少为米．14．一根32厘米的绳子被折成PRQ如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ= 厘米．15．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A．4 3 B． 3 C．2 3 D．316．如图，大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2．①S1︰S2；②若S1+S2=17，求大正方形的边长．17．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2 C．6cm2D．12cm2ABEFDC18．如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF=___________．19．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若最大正方形M的边长是3，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和是．20．一只蚂蚁从长AC=4cm、宽DE=3 cm，高AD=5 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是____________cm．21．将一根长为15cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是___________．22．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是24cm2，则AC长是_____________cm.23．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，2222ABCDAD=+．（1）求证：AB=BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD．AB CDE24．等边三角形的面积为483，求该三角形的边长？25．直角三角形的三边长为：a b，a，a+b，且a、b都为正整数，则三角形其中一边的长可能为（）A．61 B．71 C．81 D．9126．在△ABC中，AB=22，BC=1，∠ABC=45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD=90°，连结CD，则线段CD的长为．27．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在线段BC上运动，当△ODP是等腰三角形时，点P的坐标为．28．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，•长BC•为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？•29．在每格边长为1的5×5网格中，与点A的距离是13的所有格点数为（）A．1 B．2 C．3 D．430．一个无盖的纸盒，底面是面积为100cm2的正方形，高是15cm.小丽将一小木棒如图放置,量得露出纸盒外面部分长是2cm.请求出小丽的小木棒总长度.(精确到0.1cm)31．如图阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为．第31题100cm15cm2第30题第29题A第28题备用图32．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm33．有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．34．如图，平面直角坐标系中已知点A的坐标为( 0，1 )，点B的坐标为( 3，2)，在x轴上有一点P使得三角形ABP为直角三角形，求点P的坐标．35．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？36．如图，要将楼梯铺上地毯，则需要米的地毯．37．如图，长方体ABCD—A’B’C’D’中，AB=3，BC=4，B B’=12，问在长方体中能放下一根最长为多少的小的木棍？38．如图，有一根高为2.1m的木柱，它的底面周长为40cm，在准备元旦联欢晚会时，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩色细绳从底柱向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩色细绳的长至少为．39．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．BA6cm3cm1cm实物图放大的侧面展开图AB40．图1所示的正方体木块棱长为6cm ，沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角，得到如图2的几何体，求一只蚂蚁沿着图2的几何体表面从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离．41．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm ．42．如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴上．顶点B 的坐标为（3，3），点C 的坐标为(12，0)，点P 为斜边OB 上的一个动点，则P A +PC 的最小值为（ ） A ．132 B ．312C ．3192D ．243．如图，在△ABC 中，∠BAC =120°，AB =AC =4，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，将△AMN 沿MN 翻折，点A 的对应点为A ′，连接BA ′，则BA ′长度的最小值为 ． 44．在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =8，P 、Q 两点分别是边AC 、BC 上的动点，将△PCQ 沿PQ 翻折，C 点的对应点为C ′，连接AC ′，则AC′的最小值是 ．45．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AB =5，BC=3，P 是AB 边上的动点(不与点B 重合)，将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B ′CP ，连接B ′A ，则B ′A 长度的最小值是 ．46．在四边形ABCD 中，DA ⊥AB ．DA =2cm ，∠B +蚂蚁AC 蜂蜜图1图2A C ′∠C =150°．CD 与BA 的延长线交于E ，A 刚好是EB 中点，P 、Q 分别是线段CE 、BE 上的动点，求BP +PQ 最小值．47．如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB =230．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM +MN +NB 的长度和最短，则此时AM +NB =（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1248．已知△ABC 中，AB =25，AC =17，BC 边上的高AD =15，求S △ABC ．49．已知如图直角三角形OAB 中，OA =3，OB =4，在x 轴上有一点C (m ，0)，使△ABC 为等腰三角形，求m 的值．50．小明家的餐桌长120cm ，宽为80cm ，桌布的长为180cm ，宽为120cm ，将桌布按长与宽相同的方向铺在桌面上，使桌面相对两边桌布下垂的宽度各自相等．求此时桌布四个角下垂的尺寸．51．小明把一块桌布平铺在长方形的桌子上，桌子的宽为3尺，长比宽多4尺，桌子高3.6尺，当他铺好后，发现桌布四边刚好比桌子多出2尺同样的宽度，你能求出桌布垂下时离地面多高？52．图1是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图(单位：cm )． 其中矩形ABCD 是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF 为矩形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆旗顶到地面的高度为220cm ．在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图2． 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h ．53．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，M ，N 分别为AC ，BC 的中点，AN =5，BM =6，求AB 的长．AB 图1图2 AB a b A Ba b备用图54．如图直角三角形中，∠C=90°，AC=8，BC=6，现△ABC扩大成一个等腰三角形，扩充部分是以AC为直角边的一个直角三角形，求扩充后等腰三角形的周长．勾股定理综合练习：1．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4＝_______．2．已知如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm．求AC的长．3．如图，某学校(A点)与公路(直线l )的距离为300米，又与公路车站(D点)的距离为500米，现要在公路上建一个小商店(C点)，使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．数形结合1．C为线段BD上一动点，分别过B、D作AB⊥BD、ED⊥BD，连结AC、EC，已知AB=5、DE=1、BD=8、设CD=x．①用含x的代数式表示AC+CE的长；②求AC+CE的最小值？2．已知0＜x＜24，求22226(24)1x x+-++的最小值．l3．求222248x x x x +++-+的最小值．4．已知△ABC 的三边长分别为：3、10、13，求三角形最长边上高的值． 5．（1）a 、b 、c 、d 都是正数，求证：()()222222b a d c b d c a ++>++++．（2）a 、b 都是正数，求以22b a +、224a b +、224a b +为三边的三角形的面积．6．⑴如图一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，用图形比较5+10+13与62的大小；⑵用图形验证56-与23-的大小关系．7．如图，每个小正方形的边长都为1， 求∠ABC +∠ACB 的大小．8．在等边△ABC 中，D 为三角形内一点，且BD =3，DA =4，DC =5，将△BDA 绕点B 沿顺时针旋转60°，使点D 到D ′，求∠B D ′C 的度数．A BC9．问题背景：在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC (即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示．这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．(1)请你将△ABC 的面积直接填写在横线上．__________________ 思维拓展：(2)我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图．．法．．若△ABC 三边的长分别为5a 、22a 、17a (a ＞0)，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a )画出相应的△ABC ，并求出它的面积． 探索创新：(3)若△ABC 三边的长分别为2216m n +、2294m n +、222m n +(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )，试运用构图法．．．求出这三角形的面积．10．已知△ABC 中，AB =AC =2，点D 在BC 边的延长线上，AD =4，则BD•CD =（ ）A ．16B ．15C ．13D ．1211．如图，在△ABC 中，AB =AC =m ，点P 为BC 上任意一点，则P A 2+PB ⨯PC 的值为（ ） A ．m 2 B ．m 2+1 C ．2m 2 D ．(m +1)212．已知如图，△ABC 中，AB ＞AC ，AD 是BC 边上的高．求证：AB 2-AC 2=BC (BD -DC )．13．如图，∠C =90°，AM =CM ，MP ⊥AB 于点P ，求证：BP 2=AP 2+BC 2．图1 图214．已知如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，CD ⊥AD ，AD 2+CD 2=2AB 2． 求证：AB =BC ．勾股定理的逆定理 一、基本概念1．定义：如果三角形的三边长分别为a 、b 、满足a 2+b 2= c 2，那么这个三角形是直角三角形， 且∠C =90°． 例1．以6，8，10为三边的三角形是直角三角形吗？三边为5，6，7的三角形是不是直角三角形？例2．根据下列条件，分别判断a ，b ，c 为边的三角形是不是直角三角形：（1）a =7，b =24，c =25； (2) a =32，b =1，c =32．例3．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+50=6a +8b +10c ，求△ABC 的面积．例4．如下图中分别以△ABC 三边a ，b ，c 为边向外作正方形，正三角形，为直径作半圆，若S 1+S 2=S 3成立，则△ABC 是直角三角形吗？例5．已知的三边分别a 、b 、c ，a = m 2 n 2，b =2mn ，c = m 2+n 2 (m >n ，m ，n 是正整数)，△ABC 是直角三角形吗？说明理由．例6．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量．小明找了一卷米尺，测得AB =4米，BC =3米，CD =12米，DA =13米，又已知∠B =90°，请你帮助小明计算出四边形土地的面积．例7．如图，∠B =∠D =90°，∠A =60°，AB =4，CD =2．求：四边形ABCD 的面积．2．命题与逆命题、定理与逆定理(感悟: 一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题. )例8．说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?(1)两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等； (3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (4)全等三角形的对应角相等． 练习：1．判断由下列各组线段a 、b 、c 的长，能组成的三角形是不是直角三角形，并说明理由. （1）a =6.5，b =7.5，c =4；（2）a =11，b =60，c =61；（3）a =38，b =2，c =310．2．如图，在△ABC 中，AB =5，AC =13，BC 边上的中线AD =6，则BC 的长是 ．3．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 ．4．一根12米的电线杆AB ，用铁丝AC 、AD 固定，现已知用去铁丝AC =15米，AD =13米，又测得地面上B 、C 两点之间距离是9米，B 、D 两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？ 5．若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足（a -b ）（a 2+b 2-c 2）=0，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．直角三角形 6．如图所示，△ABC 中，∠C =90°，两直角边AC =6，BC =8，在三角形内有一点P ，它到各边的距离相等，则这个距离是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无法确定7．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．8．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=14，求△ABC 的面积．9．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画直角三角形．（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个三角形，使它的二边长都是有理数一边长为无理数；（3）在图3中，画一个三角形，使它的二边长都是无理数一边长为有理数；（4）在图4中，分别画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．(两个三角形不全等) 10．如图,有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得其内径CD=6cm，高BC=8cm，今有一支长12cm 的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为cm．11．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9.(1)求DC的长；(2)求AB的长；(3)求证:△ABC是直角三角形．12．若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．13．一个三角形三边长分别是15、20、25，则25边上的高为．图1 图214．边长为7、24、25的△ABC 内有一点P ，点P 到三角形三边的距离相等，则这个距离是 ．15．五根小木棒，其长度分别为7、15、20、24、25，现准备用他们摆成两个直角三角形，请你画出图形摆出的图形，证明你画出图形的正确性．16．如图，正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且BC CE 41=．你能说明∠AFE是直角吗？17．若一个三角形的周长123cm ，一边长为33cm ，其他两边之差为3cm ，则这个三角形是_____．18．如果△ABC 的三边长a 、b 、c 满足关系式3018)602(2=-+-+-+c b b a ，则a = ，b = ，c = ， △ABC 是 三角形．19．已知如图，△ABC 中，∠C =90°，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且DE ⊥DF ．延长FD 到G ，使DG =DF ，连结GE ，GA ． 求证：（1）GE =FE ；（2）∠EAG =90°； （3）EF 2= AE 2+BF 2．P 图1图220．在一平直河岸l 同侧有A 、B 两个村庄，A 、B 到l 的距离分别是3km 和2km ，AB=akm (a ＞1)．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水． 方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d 1，且d 1=PB +BA (km )(其中BP ⊥l 于点P )；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d 2，且d 2=P A +PB (km ) (其中点A '与点A 关于l 对称，A B '与l 交于点P )． 观察计算（1）在方案一中，d 1 = km (用含a 的式子表示)；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d 2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d 2= km (用含a 的式子表示)． 探索归纳（1）①当4a =时，比较大小：d 1 d 2；②当6a =时，比较大小：d 1 d 2；（2）请你就a (当a ＞1时)的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？21．如图，直线l 是一条河，P 、Q 两地相距8千米，P 、Q 两地到l 的距离分别为2千米、5千米，欲在l 上的某点M 处修建一个水泵站，向P 、Q 两地供水，则铺设的管道最短的是 千米．22．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，设AC =b ，BC =a ，AB =c ，CD =h ． 求证：（1）c +h ＞a +b ；（2）21a ＋21b ＝21h； （3）以a +b 、c +h 、h 为三边的三角形是直角三角形．图323．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC 内一点，且P A=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数？24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．25．(贵阳中考题改编)在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2 =c2时，△ABC 是直角三角形；当a2+b2 ≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）.①当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为三角形.②猜想，当a2+b2c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2c2时，△ABC为钝角三角形.并说明猜想成立的理由.③判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围.26．刘同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图1、2．图1中，∠B=90°，备用图图1∠A=30°，BC=6cm；图2中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．图3是刘同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．刘同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题1：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？问题2：在△DEF的移动过程中，S△ADB+S△CEB 的值是否为一定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明．问题3：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？请你分别完成上述三个问题的解答过程．平行四边形（一）一、定义：1．两组对边分别平行的四边形叫平行四边形．2．边的性质有：①对边平行，②对边相等．3．角的性质有：对角相等，邻角互补．4．对角线的性质有：互相平分．5．平行四边形面积公式：底乘以高．二、一组与平行四边形有关的面积试题1．在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，写出图中的全等三角形．2．在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，EF过点O，写出图中的全等三角形．3．在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，EF过点O，填空：①S△ABC= == =14S□ABCD．②S△ABC= = = =12S□ABCD；③S△AOE= ；④S△DOE= ．4．如图，画一条直线，把图中的□ABCD分成面积相等的部分．这样的直线有多少条？5．如图，在平行四边形中挖去一个矩形，请用无刻度的直尺，准确作出一条直线将剩下图形的面积平分．6．□ABCD中，EF∥AC，S△ADE=4，则S△DCF= ．7．如图若连结FC，则四边形ABCF和CDEF都是平行四边形，请用一条直线平分该图形面积．ABCFE第5题图第4题图。