安徽省皖江名校联盟2020届高三数学第一次联考（8月）试题 理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第2至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。

2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可用铅笔在答题卡．．．规定位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．题无效．．．。

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A 3x 2},B {lnx 0}x x =-≤≤=≥{，则A B =IA.3,2,1,0,1}---{B.1,2}{C.3x 1}x -≤≤{D.1x 2}x ≤≤{ 2.已知复数134z i=+，则下列说法正确的是 A.复数z 的实部为3 B.复数z 的虚部为425i C.复数z 的共轭复数为342525i + D.复数z 的模为1 3.椭圆221916x y +=的一个焦点坐标为A.(5，0)B.(0，，0) D.(0) 4.已知m ＝1og 40.4，n ＝40.4，p ＝0.40.5，则A.m<n<pB.m<p<nC.p<m<nD.n<p<m 5.曲线32()xy x x e =+在x ＝1处的切线方程为A.y ＝7ex －5eB.y ＝7ex ＋9eC.y ＝3ex ＋5eD.y ＝3ex －5e6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝11，S 15＝15，则a 2＝ A.18 B.16 C.14 D.127.要得到函数y sin3x 的图象，只需将函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象A.向右平移34π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向左平移2π个单位长度8.若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为 A.12 B.14 C.16 D.189.定义在R 上的奇函数f(x)满足，当0x ≤时，()xxf x e e -=-，则不等式f(x 2－2x)－f(3)<0的解集为A.(－1，3)B.(－3，1)C.(,1)(3,)-∞-+∞UD. (,3)(1,)-∞-+∞U 10.过原点O 作直线l ：(2m ＋n)x ＋(m －n)y －2m ＋2n ＝0的垂线，垂足为P ，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离的最大值为12 C.1 D.2 11.已知圆锥的母线长l 为4，侧面积为S ，体积为V ，则VS取得最大值时圆锥的侧面积为A. B. C. D.12.已知点A 是双曲线22221x y a b+=（a>0，b>0）的右顶点，若存在过点N(3a ，0)的直线与双曲线的渐近线交于一点M ，使得△AMN 是以点M 为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率A.存在最大值4 B.存在最大值3 C.存在最小值4 D.存在最小值3第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

若在试题卷上作答，答案无效。

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上。

13.已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，m)，且a 与a ＋b 垂直，则m ＝14.已知所有项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 4＝a 4＋21，则公比q ＝ 15.二项式7()3x x-的展开式中，x 4的系数为16.已知角3(,),(0,)22ππαπβ∈∈，且满足1sin tan cos βαβ+=，则β＝ (用a 表示)。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内。

17.(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 2C －cos 2B=sin 2A －sinAsinC 。

(Ⅰ)求角B 的值；(Ⅱ)若△ABC 的面积为33，13b =，求a ＋c 的值。

18.【本小题满分12分】如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ED//FB ，DE ＝12BF ，AB ＝FB ，FB ⊥平面ABCD 。

(Ⅰ)设BD 与AC 的交点为0，求证：OE ⊥平面ACF ； (Ⅱ)求二面角E －AF －C 的正弦值。

19.(本小题满分12分)抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点是F ，直线y ＝2与C 的交点到F 的距离等于2。

(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)一直线l ：x ＝kx ＋b(b1，k0)交C 于A 、B 两点，其中点(b ，k)在曲线(x －3)2－4y 2＝8上，求证：FA 与FB 斜率之积为定值。

20.(本小题满分12分) 设函数()sin ,(0,)2f x ax x x π=-∈，a 为常数。

(Ⅰ)若函数f(x)在(0,)2π上是单调函数，求a 的取值范围；(Ⅱ)当1a ≤时，证明：31()6f x x =。

21.(本小题满分12分)某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G 有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为12，且每个电子元件能否正常工作相互独立。

若系统G 中有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元。

(Ⅰ)求系统不需要维修的概率；(Ⅱ)该电子产品共由3个系统G 组成，设ξ为电子产品需要维修的系统所需的费用，求ξ的分布列与期望；(Ⅲ)为提高G 系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p ，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，问：p 满足什么条件时，可以提高整个G 系统的正常工作概率？请考生从第22、23题中任选一题做答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。

22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系中，曲线C 1的参效方程为2cos 1cos 2x y φφ=⎧⎨=+⎩(φ为参数)，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为()3R πθρ==。

(Ⅰ)求曲线C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)求曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标。

23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 己知函数()124f x x x =-++。

(Ⅰ)求不等式f(x)>6的解集；(Ⅱ)若()10f x m --≥恒成立，求实数m 的取值范围。

1.【解析】{|12}A B x x =<<I ，故选D.3.【解析】因为3,4a b ==，故双曲线22+1916x y =的右焦点的坐标是. 4.【解析】因为0.40.54log 0.40,41,00.41m n p =<=><=<，所以m p n <<.5.【解析】232(32)()xxy x x e x x e '=+++，所以1|7x y e ='=，又1x =时，2y e =，所以所求切线方程为27(1)y e e x -=-，即75y ex e =- 6.【解析】因为11515815()15152a a S a +===，所以81a =，又411a =，所以公差111542d -==-，所以24211516a a d =-=+=． 7.【解析】因为sin 3cos3)4y x x x π=+=+， 所以将其图象向左平移4π个单位长度，可得)])2y x x x ππ=++=+π=，故选C.9.【解析】由题意可知，当x R ∈时，()xx f x e e =-，所以()0xxf x e e'=+>为R 上的单调递增函数，故由2(2)(3)0f x x f --<，得2(2)(3)f x x f -<，即2230x x --<，解得13x -<<，故选A.10.【解析】(2)()220m n x m n y m n ++--+=整理得(22)(2)0x y m x y n +-+--=，由题意得22020x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点(0,2)Q .因为OP l ⊥，所以点P 的轨迹是以OQ 为直径的圆，圆心为(0,1)，半径为1，因为圆心(0,1)到直线30x y -+=的距11.【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则22224=16r h l +==，所以2221111623121221223r h V rh r h S rl ππ+==≤⨯=⨯=，当且仅当r h ==时取等号.此时侧面积为1242⨯π⨯=.若存在过(3,0)N a 的直线与双曲线的渐近线交于一点M ，使得N AM∆是以M 为直角顶点13. 113-【解析】Q 向量(2,3)a =r，(1,)b m =-r ，∴(1,3)a b m +=+r r ， Q a r 与a b +r r 垂直，∴23(3)0m ++=，解得113m =-．14.【答案】4 【解析】由题意得4421S a -=，所以321S =，又11,a =，所以331211q S q-==-，解得4q =或5q =-（舍），所以4q =.15.【答案】283 【解析】7x ⎛- ⎝展开式的通项公式为1377221772233rrr r r r r T C x x C x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2r =，故所求系数为22722833C ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭. 16.【答案】 522απ-【解析】法一：由1sin tan cos βαβ+=得sin 1sin cos cos αβαβ+=， 所以sin cos cos (1sin )αβαβ=+，即sin()cos αβα-=.结合诱导公式得sin()sin()2παβα-=-.因为3(,),(0,)22ππαπβ∈∈，所以3(,),(,)222πππαβπαπ-∈-∈--. 由诱导公式可得sin()sin[2()]2παβπα-=+-，易知32()(,)22ππαππ+-∈， 因为sin y x =在3(,)22ππ上单调递减，所以2()2παβπα-=+-，即522βαπ=-.法二：由1sin tan cos βαβ+=得sin cos tan1222tan tan()24cossin1tan222ββββπαβββ++===+--， 所以tan tan()24βπα=+. 因为3(,),(0,)22ππαπβ∈∈，所以(,)2442βπππ+∈. 由诱导公式可得tan()tan απα-=，即tan()tan()24βπαπ-=+因为tan y x =在(0,)2π上单调递增，所以24βπαπ-=+，即522βαπ=-. 17．【解析】(1) 由222cos cos sin sin sin C B A A C -=-，得222sin sin sin sin sin B C A A C -=-．由正弦定理，得222b c a ac -=-，即222a cb ac +-=，…………………………3分所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===．………………………………………………5分 因为0C π<<，所以3B π=．……………………………………………………6分（2）由（1）知3π=B ，∴222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-．①…………8分又1sin 2S ac B ==9分 ∴12ac =，②…………………………………………………………………………10分又b =Q ，∴据①②解，得7a c +=．…………………………………………12分 18.【解析】（1）证明：由题意可知：ED ⊥面ABCD ， 从而Rt EDA Rt EDC ∆≅∆，EA EC ∴=，又O 为AC 中点，DE AC ∴⊥，在EOF ∆中，3OE OF EF ===，222OEOF EF ∴+=，OE OF ∴⊥又AC OF O =I ，OE ∴⊥面ACF ．……………………………………………………………………5分（2）ED ⊥面ABCD ，且DA DC ⊥，如图以D 为原点，DA ，DC ，DE 方向建立空间直角坐标系，从而(0E ，0，1)，(2A ，0，0)，(0C ，2，0)，(2F ，2，2)，(1O ，1，0)由（1）可知(1EO =u u u r，1，1)-是面AFC 的一个法向量，…………………………7分设(n x =r，y ，)z 为面AEF 的一个法向量，由22020AF n y z AE n x z ⎧=+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，令1x =得(1n =r ，2-，2)，………………………………9分 设θ为二面角E AF C --的平面角，则||3|cos ||cos ,|||||EO n EO n EO n θ=<>==u u u r ru u u r g r u u u r r g ，6sin θ∴=．∴二面E AF C --角的正弦值为6．………………………………………………12分19.【解析】（1）由||2PF =知P 到准线的距离也是2，P ∴点横坐标是22p-， 将(2,2)2pP -代入22y px =，得2p =， ∴抛物线C 的方程为24y x =.………………………………………………………………5分（2）证明：联立24y x x ky b ⎧=⎨=+⎩得2440y ky b --=，设211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，则124y y k +=，124y y b =-.………………………………7分因为点(,)b k 在曲线22(3)49x y --=上，所以代入整理可得22461b k b -=-.………8分则12122222221212121241()()421(1)(1)1441642FA FB y y y y bk k y y y y y y y y b k b -====-+--+---++g. …………………………………………………………………………………………………12分20.【解析】（1）由()sin f x ax x =-得导函数()cos f x a x '=-，其中0cos 1x <<. 当1a ≥时，()0f x '>恒成立，故()sin f x ax x =-在(0,)2π上是单调递增函数，符合题意； ……………………2分 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，故()sin f x ax x =-在(0,)2π上是单调递减函数，符合题意；……………………3分 当01a <<时，由()cos 0f x a x '=-=得cos x a =， 则存在0(0,)2x π∈，使得0cos x a =. 当00x x <<时，0()0f x '<，当02x x π<<时， 0()0f x '>，所以()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)2x π上单调递增，故()f x 在(0,)2π上是不是单调函数，不符合题意.综上，a 的取值范围是][(,01,)-∞+∞U . ……………………………………………6分 （2）由（1）知当1a =时，()sin (0)0f x x x f =->=，即sin x x <，故22sin()22x x<.…………………………………………………………9分 令3311()()sin ,(0,)662g x f x x ax x x x π=-=--∈，则22222111()cos 12sin 12()122222x x g x a x x a x a x a '=--=-+-<-+-=-， 当1a ≤时，()10g x a '=-≤，所以()g x 在(0,)2π上是单调递减函数，从而()(0)0g x g <=，即31()6f x x ≤.………………………………………………12分21.【解析】（1）系统不需要维修的概率为2233331111()()2222C C ⋅⋅+⋅=.…………2分（2）设X 为维修维修的系统的个数，则1(3,)2X B :，且500X ξ=，所以3311(500)()()(),0,1,2,322kk k P k P X k C k ξ-====⋅⋅=.所以ξ的分布列为 ξ 0 500 1000 1500 P 18 38 38 18 所以ξ的期望为()50037502E ξ=⨯⨯=.…………………………………………6分 （3）当系统G 有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，G 系统的才正常工作.若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，则概率为12223113()228C p p ⋅⋅⋅=； 若前3个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作， 则概率为221222232311113()(1)()(2)22228C C p p C p p p ⋅⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅=-； 若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作， 系统G 均能正常工作，则概率为33311()28C ⋅=. 所以新增两个元件后系统G 能正常工作的概率为2233131(2)88848p p p p +-+=+， 于是由3113(21)4828p p +-=-知，当210p ->时，即112p <<时， 可以提高整个G 系统的正常工作概率.………………………………………………12分 22.【解析】（I ）依题意，曲线2C 的直角坐标方程为3y x =.…………………………3分 （II ）因为曲线1C 的参数方程为2cos ,1cos 2,x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）， 所以曲线1C 的直角坐标方程为[]()212,22y x x =∈-，……………………………………7分 联立23,1,2y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩解方程组得0,0,x y =⎧⎨=⎩或3,6,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 根据x 的范围应舍去3,6,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故交点的直角坐标为(0,0).……………………………10分 23.【解析】（1）依题意，1246x x -++>，当2x <-时，原式化为1246x x --->，解得3x <-，故3x <-；当21x -≤≤时，原式化为1246x x -++>，解得1x >，故无解；当1x >时，原式化为1246x x -++>，解得1x >，故1x >；综上所述，不等式()6f x >的解集为()(),31,-∞-+∞U ；………………………………5分（2）因为()124122123f x x x x x x x x =-++=-++++≥-++≥， 当且仅当2x =-时，等号成立. 故()10f x m --≥恒成立等价于13m -≤；即313m -≤-≤，解得24m -≤≤故实数m 的取值范围为[2,4]-.……………………………………………………………10分。