0 * * * * 0 a0
Hurwitz稳定判据：全部特征根都位于 左半平面的充分必要条件是Hurwitz行 列式的各阶主子式均大于0。
a3 s 3 a2 s 2 a1s a0 0 以三阶系统为例，特征方程为
其Hurwitz行列式为：
a 2 a0 0 D a3 a1 0 0 a 2 a0 3 2 在上例中 s 2s s 1 0 ，其Hurwitz行列式的各
d (n) y d ( n 1) y dy d ( m )u d ( m1)u du an an 1 ＋a1 a0 y bm bm1 b1 b0u dt n dt n 1 dt dt m dt m1 dt
Laplace变换
k
F (s) f (t )e st dt
“不，”店主说，“我每天下午5点按照城堡的 鸣炮声来调钟。告诉我，军士，为什么你每天都要停 下来对表呢？” 军士答道：“我是城堡中的炮手！”
在这个故事中，是正反馈还是负反馈占优势？若 这个珠宝店的“精密”时钟每24小时慢2分钟，军士 的表每8小时慢3分钟的话，那么12天后，城堡中鸣炮 的时间误差是多少？
反馈控制的原理
在以上反馈装置中，发电机为被控对象，其端 电压U为被控量，实现控制的设备称为控制器，被 控对象与控制器组成的系统称为控制系统。先从被 控对象获取信息，反过来又把调节被控量的作用馈 送给被控对象，这种控制方法称为反馈控制，按被 控量偏离整定值的方向而向相反方向改变控制量的 反馈称为负反馈。其中信息的传送途径是一个自身 闭合的环，称为闭环。
稳定性的萌芽思想
2000年前 ，汉朝的淮南王刘安 《淮南子•说山训》 ： “下轻上重，其覆必易”； 宋朝沈括在 《梦溪笔谈》中把这种观察到的事实付诸 于应用 ，他在《忘怀录》 中指出：“安车车轮不欲高， 高则摇” ； 类似稳定，至少可以追溯1500年前到晋书上所述“行 人安稳，布帆无恙” ； 西方“stable”源出于拉丁文“stabilis” ，表示坚持、 保持的意思； 以上说法与观念表现了对稳定这一概念的最初理解。
G( s) C ( sI A) 1 B D d ( s) det(sI A)
我们可以利用系统的特征根来判断系统的稳定性，以 下例说明，设系统的传递函数为：
s 2 2s 1 G( s) 3 s 2s 2 s 1 它的特征方程： s 3 2s 2 s 1 0 的根是： s1 1.7549, s2,3 0.1226 0.7449i
(3)再选正定的Lyapunov函数
2 V ( x) ( x1 x2 ) 2 2 x12 x2 0 2 2 则 V ( x) 2( x1 x2 ) 0 ，因此系统渐近稳定。
实例分析2：传染病的传播 将被调查人数分为3类，其人数分别记为x1,x2,x3, x1 表示易受感染人数，x2表示已染病人数，x3表示从最初 人群中剔除出去的人数，其原因可能是接受了免疫治疗， 也可能是与传染病源相隔离，还可能是已经死亡。描述 传染病传播过程的反馈系统状态微分方程为：
则G(s)称为该动态系统的传递函数，一个线性动态系 统的传递函数是零初值条件下输出量的Laplace变换 与输入量的Laplace变换之比。d(s)称为特征多项式， d(s)＝0称为特征方程，其根称为特征根，即传递函数 的极点。n(s)的零点称为传递函数的零点。 对于用状态空间描述的系统
x Ax Bu y Cx Du
dx1 x1 x2 u1 (t ) dt dx2 x1 x2 u 2 (t ) dt dx3 x1 x2 dt
其中u1,u2分别为新加入易受感染者和新加入染病者的速 率。
写成矩阵形式
x1 d x2 dt x3 0 x 1 0 1 x 0 1 u1 (t ) 0 2 u (t ) x3 0 0 0 2
系统的稳定性
稳定性的定义
稳定性可以这样定义：当一个实际的系统处于 一个平衡的状态时（就相当于小球在木块上放置的 状态一样）如果受到外来作用的影响时（相当于对 小球施加的力），系统经过一个过渡过程仍然能够 回到原来的平衡状态，我们称这个系统就是稳定的， 否则称系统不稳定。一个控制系统要想能够实现所 要求的控制功能就必须是稳定的。
(3) 判定V (x ) 的负定性
2 V ( x) 2 x1 x1 2 x2 x2 2a( x12 x2 ) 2
显然有 x 0时V ( x) 0，因此系统渐近稳定。
选择合适的Lyapunov函数！
例：
x1 x2 x2 x1 x2
an s n an1s n1 ... a1s a0 0
构造Hurwitz行列式D
an 1 an 0 D 0 0 0 0
an 3 an 2 an 1 an 0 ... ...
an 5 ... ... ... an 4 ... ... ... an 3 ... ... ... an 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... a1 ... ... a2
0

d f (t ) 公式： s k F ( s) s k 1 f (0) s k 2 f ' (0) ... f ( k 1) (0) dt d s dt
y( s) G( s)u( s)
bm s m bm 1s m 1 ... b1s b0 n( s ) G (s) n n 1 a n s an 1s ...a1s a0 d (s)
稳定性科学概念的发展
18世纪下半叶到19世纪末 ，发生了一些具有深远 影响的事件，从中人们可以看到稳定性理论产生的必 然性。 J. Watt 1765改进了T. Newcomen 发明的蒸气机 ，引 发了工业革命； J. L. Lagrange 1780年出版 《分析力学》，科学地讨 论了平衡位置的稳定性； C. Hermite 1856年建立了关于多项式对根交错的理论； J. C. Maxwell 1868年发表的“论调节器” ，讨论了蒸 气机自动调速器与时钟机构的运动稳定性；
两个主要学派
Routh-Hurwitz （1875，1895）通过判断系 统的特征根是否在左半平面判定系统是否稳 定； A.M. Lyapunov 1892发表著名的博士论文 《运动稳定性一般问题》，通过考察系统能 量是否衰减来判定稳定性。
设一个单输入单输出的动态系统可用以下线性微分 方程表示：
2 V ( x) 2 x12 x2 0
(1)试选正定的Lyapunov函数
则V ( x) 2 x1 x2 2 x2是不定的，不能提供稳定性的信息。 (2)另选正定的Lyapunov函数
2 2 V ( x) x12 x2 0 2 则 V ( x) 2 x2 0 ，可知系统至少是稳定的。
阶主子式均大于0，
D1 a2 2, D2
因此系统稳定。
a 2 a0 a3 a1

21 11
1, D3 D 1
Nyquist判据
G(s) k
设G(s)=n(s)/d(s), d(s), n(s)分别是n次，m 次实系数多项式，n>m，d(s)在右半平面有p 个零点，在虚轴上无零点，那么上图所示的 闭环系统稳定当且仅当由－到＋时G(j) 绕(－1/k，0)点p圈。当G(s)稳定时，即d(s)的 根均在开左半平面，则上图所示的闭环系统 稳定当且仅当由－到＋时不包含（－1/k， 0）在内部。
负反馈：使系统的输出值与目标值的偏差愈来愈小
正反馈：使系统的输出值与目标值的偏差愈来愈大
正反馈并不都是不好的，有的系统需要正反馈 的作用。如原子弹引爆装置中要用到的裂变链式反 应。又如在植物保护中，为了消灭有害的昆虫，大 量繁殖这种害虫的天敌。
实例分析1：军士与店主 一个军士每天早晨9点钟路过珠宝店时，都与橱 窗里的精密时钟对表。一天，这个军士走进店内，向 店主恭维那只精密时钟的准确性。 “它是不是按照阿林顿的时间信号精确对时的？” 军士问。
如何用Lyapunov方法 判断系统的稳定性？ 例：
2 x1 x2 ax1 ( x12 x2 ) 2 x2 x1 ax2 ( x12 x2 ), a 0
(1) 确定平衡点，可得 x1 x2 0.
(2) 寻找正定的Lyapunov函数
2 V ( x) x12 x2 0
稳定性科学概念的发展
A.L. Cauchy 在19世纪给出了关于极限描述的－， －N语言； H. Poincare在微分方程定义的积分曲线和天体力 学方面作出了贡献； G. Peano，I. Bendixson和G. Darboux微分方程解 对初值及参数连续依赖性的研究。
上述这些重要事件及相关科学的进展促成了19世 纪末稳定性理论的两个主要学派的形成。
b x (t ) , ( a2 0) a2

静态解
对应的特征方程 通解
2 a1 a2 0
2t
b a2
高阶系统
d n x(t ) d n 1 x(t ) an an 1 a0 x(t ) bu(t ), t 0 n n 1 dt dt
则系统的解可以表示为：
y(t ) Ae1.7549t Be0.1226t sin(0.7449 t ) y* (t ) y * (t ) 是方程的一个特解，由输入u(t)确定。前两项
是相应的其次方程的通解，其中A,B,是待定常数，由 初始条件确定。经充分长时间以后，系统的解 y (t )终 y * (t )的无限小临域，即完全由输入量确定而与 将进入 初始条件无关。这在工程上认为系统进入了静态，对 应的特解称为静态解或稳态解，则系统是稳定的。