六校尖子班联考理科数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合{1,1},{|124},xA B x R =-=∈≤<则AB = （ ）A ．[0,2)B ．{ 1 }C ．{1,1}-D ．{0,1}2. 复数=-=+=22121,2,1z z i z i z 则 （ ）A ．i 5452- B ．i 5452+ C ．i 5452+- D ．i 5452-- 3．函数4log )(2-+=x x x f 的零点所在的区间是 ( ))1,21(.A B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4)4．已知双曲线)0,(212222e px y e x y 的焦点为，且抛物线的离心率为==-则p 的值为 （ ）A ．－2B ．－4C ．2D ．4 5．已知函数),6cos()6sin()(ππ++=x x x f 则下列判断正确的是A ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为12π=xB ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为6π=xC ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为12π=xD ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为6π=x6. 已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。

若(,)M x y 为D上的动点，点A的坐标为，则z OM OA =⋅的最大值为 （ ）A ．3B ．4 C．D.7．若直线a by ax (022=+-、b 〉0）始终平分圆014222=+-++y x y x 的周长，则ba 11+的最小值是（ ）A. 4B. 2C.41 D. 21 8. 已知A,B,C,D 是同一球面上的四点，且连接每两点的线段长都等于2，则球心到平面BCD的距离为( )A.332 B.962 C.66 D.932 9. 有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为 （ ）A ．521B ．27 C ．13 D ．821 10. 在圆x y x 522=+内，过点)23,25(有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项1a ，最长弦长为n a ，若公差]31,61(∈d ，则n 的取值集合为 ( )A.{4,5,6}B.{6,7,8,9}C.{3,4,5}D.{3,4,5,6}11.已知12(,0),(,0)F c F c -为椭圆22221x y a b+=的两个焦点，P 为椭圆上一点且212,PF PF c ⋅=则此椭圆的离心率的取值范围是 （ ）A． B ．11[,]32C． D．12.函数)(x f y =为定义在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）对称， ,x y满足不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f ，(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当41≤≤x 时，OM ON⋅的取值范围为 （ ） A ．[)+∞,12 B ．[]3,0 C ．[]12,3 D ．[]12,0 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知二项式7展开式的第4项与第5项之和为零，那么x 等于 .14．一个圆柱形容器的内半径为5cm,两个直径为5的玻璃小球被浸没于容器的水中,当取出这两个小球后, 容器的水面下降了x cm, 则x= . 15. 已知两个不相等的实数a b 、满足以下关系式：204a sin a cos πθθ⋅+⋅-=， 204b sin b cos πθθ⋅+⋅-=，则连接A ()2a ,a 、 B ()2b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是_________． 16. 设1a ，2a ，…，n a 是各项不为零的n （4≥n ）项等差数列，且公差0≠d ．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对⎪⎭⎫⎝⎛d a n 1,所组成的1集合为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程．17．(本题满分12分)ABC ∆中内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，向量),3,sin 2(-=B m )12cos 2,2(cos 2-=BB n ，且n m // (1)求锐角B 的大小；(2)如果b=2，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值18．(本小题12分)设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望；19. （本小题满分12分）在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1DD 的中点，O 为AC 的中点，AB=2． （I ）求证：1//BD 平面ACM ； （II ）求证：1B O ⊥平面ACM ； （Ⅲ）求三棱锥1O AB M -的体积．20. （本小题12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合，且截抛物线，倾斜角为45的直线l 过点F .（1）求该椭圆的方程；（2）设椭圆的另一个焦点为1F ，问抛物线x y 42=上是否存在一点M ，使得M 与1F 关于直线l 对称，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由. 21．（本小题满分12分）已知()()2,ln 23+-+==x ax x x g x x x f ．（Ⅰ）如果函数()x g 的单调递减区间为1(,1)3-，求函数()x g 的解析式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下,求函数y=()x g 的图像在点(1,1)P -处的切线方程；（Ⅲ）若不等式2()()2f x g x '≤+的解集为P ，且(0,)P +∞⊆，求实数a 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，圆O 的直径10AB =，弦DE AB ⊥于点H ，2HB =．（Ⅰ）求DE 的长；（Ⅱ）延长ED 到P ，过P 作圆O 的切线，切点为C ，若PC =，求PD 的长．23．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=，曲线2C 的极坐标程为，()R ∈=ρπθ4曲线1C 、2C 相交于点A 、B ．（Ⅰ）将曲线1C 、2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求弦AB 的长．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知不等式212x px x p ++>+．（Ⅰ）如果不等式当2p ≤时恒成立，求x 的范围； （Ⅱ）如果不等式当24x ≤≤时恒成立，求p 的范围．BA六校尖子班联考理科数学答案一、选择题：1. B 2．C3．C 4.D 5.C 6.B 7.A 8. C 9. D 10.A 11.C 12.D 二、填空题：13.2 14.35；15. 相交16. ()(){}1,4,4,4- 解答题： 17.(理) 解：(1)m ∥nB BB 2cos 3)12cos2(sin 22-=-∴ 2sinBcosB ＝－3cos2B tan2B ＝－3……4分∵0＜2B ＜π,∴2B ＝32π,∴锐角B ＝3π……6分 (2)由tan2B ＝－3 B ＝3π或65π————————7分①当B ＝3π时，已知b ＝2，由余弦定理，得： 4＝a 2＋c 2－ac≥2ac －ac ＝ac(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立) ……9分 ∵△ABC 的面积343sin 21≤==∆ac B ac S ABC∴△ABC 的面积最大值为3 ……10分 ②当B ＝65π时，已知b ＝2，由余弦定理，得： 4＝a 2＋c 2＋3ac≥(2＋3)ac (当且仅当a ＝c=26-时等号成立)∴ac≤4(2－3) ……11分∵△ABC 的面积S △ABC ＝21 acsinB ＝41ac≤2－3 ∴△ABC 的面积最大值为2－3 ……12分18 (1)设基本事件空间为Ω，记“方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根”为事件A ，则A ＝{(b ，c )|b 2－4c ≥0，b 、c ＝1， (6)Ω中的基本事件总数为6×6＝36个．A 中的基本事件总数为6＋6＋4＋2＋1＝19个， 故所求概率为P (A )＝1936.(2)由题意，ξ可能取值为0,1,2，则P (ξ＝0)＝1736，P (ξ＝1)＝236＝118，P (ξ＝2)＝1736. ∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望E (ξ)＝0×1736＋1×118＋2×1736＝1.19．（I ）证明：连结BD ，则BD 与AC 的交点为O ，,AC BD 为正方形的对角线，故O 为BD 中点；连结MO ，,O M 分别为1,DB DD 的中点，1//OM BD ∴，OM ⊂平面ACM ，1BD ⊄平面ACM1//BD ∴平面ACM ． ………4分 （II ）AC BD ⊥，1DD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，∴1AC DD ⊥；且1BDDD D =，∴ AC ⊥平面11BDD B ………5分1OB ⊂平面11BDD B ，∴ 1B O AC ⊥， ………………6分连结1B M ，在1B MO ∆中，22213MO =+=， 222126B O =+=，(222119B M =+=，∴22211B M MO B O =+，1B O OM ∴⊥ …… 8分又OM AC O =，∴1B O ⊥平面AMC ； …… 9分法二：211==BB DO BO MD, ∠ODM=∠B 1BO=Rt ∠, ∴ΔMDO ∽ΔOBB 1 , ∴∠MOD=∠OB 1B, 190MOD B OB ︒∠+∠=，∴1B O OM ⊥．（Ⅲ）求三棱锥1O AB M -的体积∴111111332O AB M B AOM AOM V V OB S OA OM --∆==⨯⨯=⨯⨯，11132==． …………… 12分 法二：可证AO ⊥平面1OB M ，则111111111133232O AB M A OB M OB M V V AO S OB OM --∆==⨯⨯=⨯⨯==20.解：（1）抛物线x y 42=的焦点为)0,1(F ，准线方程为1-=x ，…………………2分 ∴ 122=-b a ① …………………3分 又椭圆截抛物线的准线1-=x， ∴ 得上交点为)22,1(-， ∴ 121122=+b a ②…………………4分由①代入②得01224=--b b ，解得12=b 或212-=b （舍去）， 从而2122=+=b a …………………5分∴ 该椭圆的方程为22121x y += …………………6分 （2）∵ 倾斜角为45的直线l 过点F ，∴ 直线l 的方程为)1(45tan -=x y，即1-=x y ，…………………7分由（1）知椭圆的另一个焦点为)0,1(1-F ，设),(00y x M 与1F 关于直线l 对称，………………8分则得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+=+-=⨯+-12)1(201110000x y x y …………………9分解得⎩⎨⎧-==2100y x ，即)2,1(-M …………………10分又)2,1(-M 满足x y 42=，故点M 在抛物线上。