代码 4： #include <stdio.h>
int main() {
int f[10001] = {0, 1, 2, 3}; int n, m, i; while(scanf("%d%d", &n, &m) == 2) {
if(n == 0 && m == 0) {
break; } else if(n >= 0) {
printf("%d\n", f[n] % m); } return 0; }
再输入 n=10000，m=999 时，就能够获得 433 这一正确的结果。大功告成！ 但是很不幸，程序仍然有错！这是什么原因呢？进一步仔细思考，发现前面的 程序都没有考虑 n 为负数的情况，依题意当 n 为负数时，f(n)的值为 n，此时负 数 f(n)对 m 求余时，按 C 语言求余运算得到的结果为使商尽可能大的负余数， 例如因为-7=(-2)*3+(-1)，商是-2，余数是-1，所以(-7)%3=-1。依题意，我们需要 求的是使商尽可能小的正余数，例如将-7 表示为-7=(-3)*3+2，商是-3，余数是 2，所以(-7)%3=2。此时需要使用公式(m - (-n) % m) % m 获得题目要求的负数的 正余数。因此，最终代码修改为：
再回过头来仔细理解题目，我们最终需要获得的并非 f[n]的具体值，而是 f[n] % m 的结果，我们会发现， f[n] % m 与(f[n-1] % m + f[n-3] % m) % m 的值 是一样的，而后者就不会出现溢出的情况。因此，代码进一步修改为：
代码 3： #include <stdint f[10001] = {0, 1, 2, 3}; int n, m, i; while(scanf("%d%d", &n, &m) == 2) {
if(n == 0 && m == 0) {
break; } for(i = 4; i <= n; i++) {
f[i] = f[i - 1]%m + f[i - 3]%m; }
代码 2： #include <stdio.h>
int main()
{ int f[10001] = {0, 1, 2, 3}; int n, m, i; while(scanf("%d%d", &n, &m) == 2) { if(n == 0 && m == 0) { break; } for(i = 4; i <= n; i++) { f[i] = f[i - 1] + f[i - 3]; } printf("%d\n", f[n] % m); } return 0;
教 学 案 例 — 递 归 (Recursive)
【任务描述】
已知 f(n)的值由下面的递归公式定义： f(n) = f(n-1) + f(n-3), n > 3 f(n) = n, n <= 3 写出一个程序，计算 f(n) % m 的值（使商尽可能小的正余数）。其中： n <= 10000, 2 <= m <= 10000. 输入：
此教学案例包括的知识点： 1、 递归函数在处理层级较多的递归任务时，并不合适； 2、 可以使用循环和数组代替递归函数； 3、 数据过大时，会出现溢出的情况； 4、 如果掌握余数的性质，能够避免溢出； 5、 负数求正余数的方法；
至此，绝大部分学生都会认为已经圆满的解决了该问题，但是还会有部分 爱动脑筋、善于思考的学生会追问，这就是最优解了么？还有没有更快的办法呢 答案是确定的，以上的代码还能够进一步优化，从而加快运行速度。如对于 f 数 组，仅需要计算一次，以后再需要计算 f(n)时，直接从中取第 n 个元素即可。这 就省去了重新计算的时间，这种思想也是今后要学习的动态规划算法的本质。具 体代码，就留给感兴趣的学生自己编写了。
}
该代码执行速度极快，但是通过对执行结果的观察，发现当输入的 n 较小 时，例如 1，程序能够获得正确的输出结果。但是当输入较大的 n，例如当 n=10000，m=999 时，输出结果却为-657，显然出现了错误。这是什么原因呢？ 这是由于当 n 较大时，f[n]的结果会变得很大，直至出现溢出的情况，即使将 f[n]的类型定义为 long，问题仍然不能够得到有效解决。
for(i = 4; i <= n; i++) {
f[i] = f[i - 1]%m + f[i - 3]%m; } printf("%d\n", f[n] % m); } else { printf("%d\n", (m - (-n) % m) % m); } } return 0; }
【教学指导】
代码 1： #include <stdio.h>
int f(int n) {
if(n <= 3) {
return n; }
return f(n-1) + f(n-3); }
int main() {
int n, m; while(scanf("%d%d", &n, &m) == 2) {
if(n == 0 && m == 0) {
有多组测试样例，每个样例包括两个整数 n 和 m。n = 0 和 m = 0 表示输入 结束，无需处理。（注：本题为 ACM 竞赛试题） 输出：
对于每个样例，打印 f(n) % m 的值。 输入样例： 12 10000 999 -7 3 00 输出样例： 1 433 2
【任务分析】
该题目初看就是一个非常典型的递归问题，使用课堂上介绍的递归函数， 能够非常容易的写出如下代码：
break; } printf("%d\n", f(n) % m); } return 0; }
该代码在输入较小的 n 时，能够获得正确的结果，同时运行时间也非常短。 然而，当输入的 n 较大时，会出现程序运行时间过长的问题。仔细思考造成这一 问题的原因，可见随着 n 的增大，递归调用的级数会成指数增长，必然会造成 运算速度慢，同时内存消耗大的问题。这也是递归函数在实际应用中的缺点。知 道了问题所在，将程序进行修改，使用循环和数组代替递归，并写出如下代码：