第七章 离散化控制系统
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自动控制理论
第二节 信号的采样与复现
一、采样过程 把连续信号变成脉冲或数字序列的过程叫做采样，把采 样后的离散信号恢复为连续信号的过程称为信号的复现。
f (kT )
图7-５
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式中：
f (t ) f (t )T (t )
证： Z [ f (t kT )] f1 (nT kT )Z n
k 0
f (kT ) Z 0 f (T kT ) Z 1 ... f (0) Z k f (T ) Z ( k 1) ... f (nT ) Z ( k n ) ...
例7-4 求 解：
1 1 a 2j 2j F (s) 2 s a 2 s ja s ja
Z (sin at)
2j 2j 1 e jaT z 1 1 e jaT z 1 (sin aT ) z 1 1 (2 cosaT ) z 1 z 2 F ( z)
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1
1
自动控制理论
2、留数计算法 设 f (t )的拉氏变换为F ( s ) ，且其为真有理式，PK 为F ( s )的极点， 则Z变换用下式求得
n z F ( z ) res[ F (s) ] Rk TS S PK z e k 1 k 1 z z Rk res [ F ( s ) ] F ( s ) 为 在 S PK上的留数： TS S PK TS z e z e 若F ( s )含有 S P 的一阶极点时，对应的留数为： z R lim[( s p) F ( s ) ] TS s p z e 若 F ( s )含有 S P 的q阶重极点时，对应的留数为： n
Z k [ f (kT ) Z k f (T kT ) Z ( k 1) ......] Z k [ f (0) f (T ) Z 1 ... f (kT ) Z k f [(k 1)T ]Z ( k 1) ......] Z k [ f (0) f (T ) Z 1 ... f [(k 1)T ]Z ( k 1) ] Z F ( z) Z
1 d q 1 z R lim q 1 [(s p) q F ( s) ] TS (q 1)! ds z e
s p
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第七章 离散化控制系统
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自动控制理论
例7-5 已知 F ( s)
求 F ( z)
s3 ( s 1)( s 2)
解
s3 z ] TS s 1 ( s 1)( s q) z e s3 z [( s q) ] TS s 2 ( s 1)( s q) z e 2z z z e T z e qT F ( z ) [( s 1)
图7-1 计算机控制系统方框图
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自动控制理论
从A/D和D/A转换器看模拟量与数字量之间的转换关系， 且两者有着确定的比例关系，因而图7-1可以简化为图7-2
图7-2
图7-3
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自动控制理论
采取分时处理方式，用一台计算机控制多个被控对象。

或
1 f (t ) 2
* s


F ( j )
* S
k
a F[ j( k )]
k s
12

k
j t a F [ j ( k )] e d k s
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第七章 离散化控制系统
自动控制理论
图7-10
图7-11
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自动控制理论
图7-８可知，相邻两频谱不重叠交叉的条件是
s 2max
香农采样定理
s 2max
s
图7-12
f s* (t ) 就含有连续信号f(t)的全部信息，通过图7-11所示的理想滤
波器，则可把原信号f(t)不失真的复现．
2015/8/6 第七章 离散化控制系统
香农定理的物理意义是：采样角频率 s 若满足s 2max ，则
一、Ｚ变换
设离散化信号
f (t ) f (kT ) (t kT )
* k 0

F ( s) L[ f (t )] f (kT )e kTS
* *

令 Z e
TS
，则
k 0
F ( z ) F ( s)
*
1 s ln z T
f (kT ) z k
k 0
*
（7-1） ，KT —脉冲出现时刻
f (t )
*
k
(t kT )
f (kT ) (t kT )
第七章 离散化控制系统

f * (t )
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k
7


（7-2）
自动控制理论
图7-7
考虑当t<0时，f(t)=0，则有
f * (t ) f (kT ) (t kT )

1
则 a0
1 T
a1
0.984 T
a2
0.935 T
…
图7-８
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第七章 离散化控制系统
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自动控制理论
图7-９
f s* (t ) f (t )T (t ) f (t ) ak e jkst
k

1 [ 2
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F ( j )e jt d ] ak e jkst
自动控制理论
零阶保持器( ZOH )是把kT时刻的采样值恒值地保持到下一采样时 刻（K+1）T。
由图7-13(b)得
脉冲响应
g h (t ) l (t ) l (t T )
1 e TS Gh ( S ) S
传递函数
Tj sin(T ) jT 1 e 2 e 2 频率特性 Gh ( j ) T T j 2 2 T 把 代入上式，得 S sin( ) j ( ) S 2 Gh ( j ) e S
图7-4
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第七章 离散化控制系统
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自动控制理论
计算机控制系统的优点
1）有利于系统实现高精度 2）有效地抑制噪声，提高了系统抗扰动的能力 3）不仅能完成复杂的控制任务，而且易于实现修改控制器的参数 4）有显示、报警等多种功能 分析离散系统的常用方法有两种：Z变换法和状态空间分析法。
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定义：
F ( z ) Z [ f (t )] f (kT ) z k
* k 0

Ｚ变换的三种求法：
2015/8/6 第七章 离散化控制系统 18
自动控制理论
１、级数求和法 例7-1 求： Z [1(t )] 当 k 0 时，f (kT ) 1 ，则有
F ( z ) Z [1(t )] z k 1 z 1 z 2 ......
k 0
解：
如果 z 1 ,则上式可写为：
F ( z)
例7-2 求：
1 z 1 z 1 z 1
Z [e at ]
k 0
，a
0
解： F ( z ) e akT z k 1 e aT z 1 e 2 aT z 2 ...... 如果 e aT z 1 1,则：
k k
f (nT ) z
k 0
面向21世纪课程教材
自动控制理论
第七章
离散化控制系统
作者： 浙江大学 邹伯敏 教授
2015/8/6 第七章 离散化控制系统 1
自动控制理论
第一节 引言
如果在系统中一次或几次的信号不是连续的模拟信号， 而是在时间上离散的脉冲或数码信号，这种系统称为离散化 控制系统。 由于这些离散信号是连续函数经采样后形成的，故又称 这类系统为采样控制系统。
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自动控制理论
如用理想脉冲序列采样的离散化信号，其傅氏变换表达式
1 F * ( j ) F[ j ( k s )] T k
二、零阶保持器
把采样值按常数、线形函数和抛物线函数外推的保持器分 别称为零阶、一阶和二阶保持器。
图7-13
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PT (t )
k sin jk st 1 T 1 1 T ak 2T ee dt T 2 T k T
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k
jks t a e k

（7-4）
（7-5）
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自动控制理论
其中, a k
1 T
若令 T 10
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自动控制理论
3、超前定理
证：
Z [ f (t kT )] Z F ( z ) Z
k
k
Z [ f (t kT )] f (nT kT ) z
k 0

f (nT ) z
k 0
k 1
n
n
Z
k

k 0

f (nT kT ) z ( k n )
F ( z)
1 1 e aT z 1

z z e aT
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第七章 离散化控制系统
自动控制理论
2、部分分式法 例7-3 求的 F ( s) 解：
a 的Z变换 s( s a) 1 1 F (s) s sa