三角函数诱导公式目录诱导公式的本质常用的诱导公式其他三角函数知识公式推导过程诱导公式的本质常用的诱导公式其他三角函数知识公式推导过程Sin ¢1 COSCI诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n ∙( π/2)的α角函数转化为角α的三角函数。

常用的诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：Sin (2k∏ +α =Sin OC ∈zCOS (2k∏ +O =COS a k∈ztan (2k∏ +O =tan α ∈zcot (2k ∏ +O =cot α ∈zSeC (2k∏ +O =SeC a ∈zCSC ( 2k ∏ +O =CSC a ∈z公式二：设α为任意角，π+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系：Sin (∏ +0 = —Sin aCOS( ∏ +a = —COS atan ( ∏ +a =tan aCOt ( ∏ +α=COt αsec( ∏ + α )=ec αCsC( π +α -)=CsCα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：Sin (—α) = —Sin αCOS (—α) =COS αtan (—α) = —tan αCθt ( —Ca = —Cθt αSeC(-α )=SeC αCSC(- α )=-CSCα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-a与a的三角函数值之间的关系：Sin ( ∏—α) =Sin αCOS ( π— a) = —COS αtan (n—a) = —tan aCOt ( ∏— a) = —COt aSeC( π- a )=-SeC aCSC( π- a )=CSC a公式五：利用公式一和公式三可以得到 2 π- a与a的三角函数值之间的关系：Sin ((2π- a)=—Sin aCO S (2n-a)=COS atan((2n—a)=—tan aCO t((2n—a)= —COtaSeC(2 π-a )=SeC aCSC(2 π-a )=-CSC a公式六：π/2 ±⅛a的三角函数值之间的关系:Sin (π /2+ a)=COS aCO S (π /2+ a)=—Sin atan(π /2+ a)= —COt aCO t(π /2+ a)= —tan aSeC( π /2+ a-)C=SC a CSC( π /2+a)=SeC a Sin(π /2—a) =COS a COS(π /2—a) =Sin a tan(π/2—a) =COt a COt(π /2—a)=tan aSeC( π /-2a )=CSC acsc( ∏ /2α )=sec α推算公式：3 π /2 ± 与α的三角函数值之间的关系：Sin (3π /2+ α = —COS αCOS (3π /2+ α =Sin αtan (3π /2+ ) =—COt αcot (3∏ /2+ α =—tan αsec(3 ∏ /2+ α )=csc αcSc(3 π /2+ α -)S=ec αSin (3∏ /2- α) = —cos αcos (3∏ /2- α) = —Sin αtan (3∏ /2- α) =cot αcot (3∏ /2- α) =tan αsec(3 ∏ /2a )=CSC α csc(3 ∏/2a )=sec』1]诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。

奇、偶”指的是π /2的倍数的奇偶，变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。

(反之亦然成立) “符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n∙( π /2)是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。

符号判断口诀：“一全正；二正弦；三两切；四余弦”。

这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+，”其余全部是“—”；第三象限内只有正切和余切是“+，”其余全部是“—”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“—”。

“ASCT反乙意即为“all全部)”、“Sin、” “cos、“tan按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。

其他三角函数知识同角三角函数的基本关系式倒数关系tan α ∙ cot α =1Sin α ∙ CSC α =1cos α ∙ SeC α =1商的关系Sin α /cos α =tan α =SeC a /CSC αCos a /sin a =Cot a =CSC a /sec a平方关系sin^2( α)+cos^2( α)=11+tan^2( α)=sec^2( α)1+cot^2( α)=csc^2( α)同角三角函数关系六角形记忆法构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。

倒数关系对角线上两个函数互为倒数；商数关系六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。

（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4 个也存在这种关系。

）。

由此，可得商数关系式。

平方关系在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

两角和差公式Sin (α+ β=Sin αCOS β+cos αSin βSin ( α- β) =Sin αcos⅛ cos αSin βCOS ( α +β =COS α COS —Sin α Sin βCOS ( α- β) =COS α COS β +Sin α Sin β tan (α +β =(tan α +tan β )/—tan α ∙ tan β ) tan ( α- β) =(tan —tan β )∕(1+tan α ∙ tan β )二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2 α =2S in α COSαCOS2α=COS^2(α-)Sin^2( α)=2COS^2(α-)1=1-2Sin^2( α) tan2 α =2tan α /-(1tan^2( α))半角的正弦、余弦和正切公式Sin^2( α /2)=C- cosα )/2COS^2( α ∕2)=(1+cos α )/2tan^2( α /2)=(—COS α )/(1+COS α )tan( α /2)=(1 —COS α )∕sin α =Sin α /1+COS α万能公式Sin α =2tan( α ∕2)∕(1+tan^2( α /2))COS α =(1- tan^2( α ∕2))∕(1+tan^2( α /2))tan α =(2tan( α /2))/(1 tan^2( α /2))三倍角的正弦、余弦和正切公式Sin3 α=3Sin -α4Sin^3( α)COS3α =4COS^3( α-)3COS αtan3 α =(3tan — tan^3( α ))/(— 3tan^2( α ))三角函数的和差化积公式Sin α +sin β =2sin(( α + β )/2) ∙cOS(2)αSin — Sin β =2cos(( α + β )/2) ∙ ∙sir β()∕2αCOS α +COS β =2COS(( α + β )/2) COS α- COS β = 2sin(( α +β )/2) 三角函数的积化和差公式Sin /∙ COS β =0.5[sin( / + β )+si βO] /COS /∙ Sin β =0.5[sin( /+β()/ β )]公式推导过程万能公式推导sin2 / =2sin / COS a =2sin / COS a /(cos^2( / )+sin^2( , )) ............... *(因为 cos^2( a )+sin^2( a ))1再把 * 分式上下同除 cos^2( / ,可得 Sin2 a =2tan a /(1+tan^2( a )) 然后用a /2代替a 即可。

同理可推导余弦的万能公式。

正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

三倍角公式推导tan3 a =sin3 a ∕cos3 a=(sin2 a cOs a +cOs2a sin a )/(cOs2 a -sicnO2s a sin a )=(2sin a cos^2( a )+cos^2( a )—nsin^3( a ))∕(cos^3( —a cOs a sin^2(—)2sin^2( α)cos α)上下同除以COS^3( a)得：tan3 a =(3tan — tan^3( a ))/(13tan^2( a ))sin3 a =sin(2 a +a )=sin2 a cos a +cos2 a Sin a=2sin α cos^2( α )+(4 2sin^2( α ))sin α• CO β()∕2)• sin(β )/2)COS / COS β=0.5[COS( /+β)+CO βS()/]Sin /∙ Sin 予=.5[cos( / + β)cos( /- β)]=2sin α- 2sin^3( α )+sin -α2sin^3( α )=3sin — 4sin^3( α )cos3α=cos(2α+α)=cos2αc-ossαin2αsin α=(2cos^2(α-)4)cosα-2cosαsin^2( α)=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α)) =4cos^3(α)-3cosα即sin3 α=3sin-α4sin^3( α)cos3 α =4cos^3( α-)3cos α和差化积公式推导首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2这样,我们就得到了积化和差的四个公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)∕2,b=(x-y)∕2把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式：sinx+siny=2sin((x+y)∕2)*cos((x-y)∕2) sinx-siny=2cos((x+y)∕2)*sin((x-y)∕2)cosx+cosy=2cos((x+y)∕2)*cos((x-y)∕2) cosx-cosy=-2sin((x+y)∕2)*sin((x-y)∕2)。