层次分析法及其应用
摘要
在日常生活中我们会遇到许多决策问题，处理决策问题时，要考虑的因素很多。
此文把层次分析法及其应用分为四个部分进行介绍，首先对层次分析的背景、现状、目的，其次对层次分析的原理进行分析，在运用层次分析和评价或决策时，按四个步骤进行描述：建立层次结构模型；构造成对比较矩阵；计算权向量并做一致性检验；计算组合权向量并做组合一致性检验，再次对层次分析的举例分析并行应用，最后进行总结。
关键词：层次分析法基本原理举例分析应用
1、绪论
层次分析法（The Analytic Hierarchy Pricess，以下简称AHP）是由美国运筹学家、匹兹堡大学萨第（T.L.Saaty）教授于本世纪70年代提出的，他首先于1971年在为美国国防部研究“应急计划”时运用了AHP，又于1977年在国际数学建模会议上发表了“无结构决策问题的建模—层次分析法”一文，此后AHP在决策问题的许多领域得到应用，同时AHP的理论也得到不断深入和发展。
目前每年都有不少AHP的相关论文发表，以AHP为基本方法的决策分析系统—“专家选择系统”软件也已早推向市场，并日益成熟。
AHP于1982年传入我国。
在当年召开的中美能源、资源、环境会议上萨第教授的学生高兰尼柴（H.Gholamnezhad）向中国学者介绍了这一新的决策方法。
随后，许树柏等发表了发表了国内第一篇介绍AHP的文章“层次分析法—决策的一种实用方法”（1982年）。
此后，AHP在我国得到迅速发展，1987年9月我国召开了第一届AHP 学术讨论会，1988年在我国召开了第一届国际AHP学术会议，目前AHP在应用和理论方面得到不断发展与完善。
它的主要特点是定性与定量分析相结合，将人的主观判断用数量形式表达出来并进行科学处理，因此，更能适合复杂的社会科学领域的情况，较准确地反映社会科学领域的问题。
同时，这一方法虽然有深刻的理论基础，但表现形式非常简单，容易被人理解、接受，因此，这一方法得到了较为广泛的应用。
2、层次分析法基本原理
2.1、层次分析法基本原理的特点
层次分析法的基本原理是排序的原理，即最终将各方法（或措施）排出优劣次序，作为决策的依据。
具体可描述为：层次分析法首先将决策的问题看作受多种因素影响的大系统，这些相互关联、相互制约的因素可以按照它们之间的隶属关系排成从高到低的若干层次，叫做构造递阶层次结构。
然后请专家、学者、权威人士对各因素两两比较重要性，再利用数学方法，对各因素层层排序，最后对排序结果进行分析，辅助进行决策。
它的主要特点是定性与定量分析相结合，将人的主观判断用数量形式表达出来并进行科学处理，因此，更能适合复杂的社会科学领域的情况，较准确地反映社会科学领域的问题。
同时，这一方法虽然有深刻的理论基础，但表现形式非常简单，容易被人理解、接受，因此，这一方法得到了较为广泛的应用。
2.2、层次分析法的步骤：
在运用层次分析和评价或决策时，可分为四个步骤：
2.2.1、建立层次结构模型
在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下分解若干层次。
同一层的诸因素从属于上一层的的各个因素有影响，同时又支配下一层的因素的作用，而同一层的各因素之间尽量相互独立。
最上层为目标层，通常只有一个因素，中间层为准则层，当准则过多（多于9个）应进一步分解出子准则层，最下层为方案层。
2.2.2、构造成对比较矩阵
从层次结构模型的第2层开始，对于从属于上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1-9比较尺度（表1）构造成对比较矩阵，直到最下层。
2.2.3、计算权向量并做一致性检验
对于每一个成对比较矩阵计算最大特征根及对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。
若检验通过，特征向量即为权向量；若不通过，需重新构造成对比较矩阵。
2.2.4、计算组合权向量并做组合一致性检验
利用)2()3()1()()(...W W W W W s s s -=计算最下层对目标组合权向量，并酌情作一致性检验。
若检验通过，则可按照组合权向量表示结果进行决策，否则需重新考虑模型或重新构造一致性比率CR 较大的成对比较矩阵。
3、 层次分析法实例及分析
例选拔干部模型
对三个干部候选人y 1、y 2 、y 3，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型： 假设有三个干部候选人y 1、y 2 、y 3，按选拔干部的五个标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系，构成如下层次分析模型： 目标层 准则层 方案层
构造成对比较矩阵
应用表1 的1-9比较尺度判定定义，对选拔干部考虑5个条件：品德x 1，才能x 2，资历x 3，年龄x 4，群众关系x 5，得到成对比较阵如下：
计算得到073.5)(max =A λ，018.01
55
)(max =--=A CI λ，由表3.1查得
RI=1.12,
表3.1 随机一致性指标RI 的数值
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 RI
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
1.0016.01
2.1018
.0<===
RI CI CR
则组合V 一致性检验通过，可作为权重向量； 此时A 的最大特征值对应的特征向量为：
U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。
这个向量也是问题所需要的。
通常要将该向量标准化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于 1。
该特征向量标准化后变成U =
(0.475,0.263,0.051,0.103,0.126)Z 。
经过标准化后这个向量称为权向量。
这里它反映了决策者选拔干部时，视品德条件最重要，其次是才能，再次是群众关系，年龄因素，最后才是资历。
各因素的相对重要性由权向量U 的各分量所确定。
现在要从三个候选人y 1,y 2,y 3中选一个总体上最适合上述五个条件的候选人。
对此，对三个候选人y 1,y 2,y 3分别比较他们的品德(x 1)，才能(x 2)，资历(x 3)，年龄(x 4)，群众关系(x 5)。
先成对比较三个候选人的品德，得成对比较阵
经计算，B 1的权重向量为：
Z x Y )674.0,244.0,082.0()(1=ω
故B 1的不一致程度可接受。
类似地，分别比较三个候选人的才能，资历，年龄，群众关系得成对比较阵
通过计算知，相应的权向量为：
它们可分别视为各候选人的才能分，资历分，年龄分和群众关系分。
经检验知B 2,B 3,B 4,B 5的不一致程度均可接受。
最后计算各候选人的总得分。
y 1的总得分为：
∑
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==617
.0162.06366.0104.0429.0051.0606.0263.0082.0457.0)1(15)(1y w u j y xj j z ω从计算公式可知，1y 的总得分)(11
y x ω实际上是1y 各条件得分)(11
y x ω，
)(12
y x ω，…,)(15
y x ω,的加权平均, 权就是各条件的重要性。
同理可得
2y ,3y 的得分为
243.0)(2=y z ω,452.0)(3=y z ω
0.457 0.263 0.051 0.103 0.126 总得分
Y1 0.082 0.606 0.429 0.636 0.167 0.305 Y2 0.244 0.265 0.429 0.185 0.167 0.243 Y3 0.674 0.129 0.143 0.179 0.667 0.452 即排名:Y 3 > Y 1 > Y 2
Y是第一干部人选。
比较后可得：候选人
3
总结
层次分析法的优点: 层次分析法不仅适用于存在不确定性和主观信息的情况，还允许以合乎逻辑的方式运用经验、洞察力和直觉。
也许层次分析法最大的优点是提出了层次本身，它使得买方能够认真地考虑和衡量指标的相对重要性。
层次分析法的主要缺陷有两个：
（1）如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；
（2）如何将某些定性的量作比较接近实际定量化处理。
层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力的依据。
但层次分析法也有其局限性，主要表现在：
（i）它在很大程度上依赖于人
们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。
（ii）比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。
AHP至多只能算是一种半定量（或定性与定量结合）的方法。
AHP 方法经过几十年的发展，许多学者针对AHP的缺点进行了改进和完善，形成了一些新理论和新方法，像群组决策、模糊决策和反馈系统理论近几年成为该领域的一个新热点。
参考文献
[1]姜启源，数学模型［Ｍ］，北京：高等教育出版社，2011
[2] 吴晓云，吴萍南京理工大学学报（自然科学版[J]）,2005
[3]/wiki/层次分析法。