数列型不等式恒成立条件下确定参数范围问题解题策略【摘要】不等式地恒成立问题是学生较难理解和掌握地一个难点,以数列为载体地不等式恒成立条件下确定参数范围问题其综合性更强,它是一类常见地考试卷型，常出现在高考压轴题中，它与函数恒成立问题既有类似之处，又有一些差别，学生容易出错，甚至不知所措.这里通过几个例子归纳这类问题地几种常用解法和需要注意地问题.【关键词】不等式恒成立问题；数列；参数范围问题不等式地恒成立问题是学生较难理解和掌握地一个难点，以数列为载体地不等式恒成立条件下确定参数范围问题其综合性更强，它是一类常见地考试卷型，常出现在高考压轴题中，它与函数恒成立问题既有类似之处，又有一些差别，学生容易出错，甚至不知所措. 这里通过几个例子归纳这类问题地几种常用解法和需要注意地问题.1报值•策略最值法是解数列型不等式恒成立求参数地取值范围问题地一种非常重要地方法，其解题原理是f(n>>m恒成立f(n> min>m,f(n>0.T an>0,二只需Iga [n(a-1>+a ] >0.<1)当a>1 时,Iga>0,只要n(a-1>+a>0, 御得n>a1-a.<2)当0a1-a.为了使b n+1>b n对任何正整数n都成立，只需a1-a小于n 地最小值1,令a1-a1或0 评析以上两例是综合性极强地好题是数列不等式恒成立求参数地取值范围，转化为解不等式或求函数地最值,这是高中数学中有关确定参数范围题目地涅槃.2 变量分离策临数列型不等式恒成立求参数地取值范围问题，对于某些最值不容易求出地问题，我们可以考虑先实行变量分离，再求其最值.所谓变量分离,是指在含有参数地数列不等式中，通过恒等变形，使参数与主元分离于不等式两端，则所蕴涵地数列关系便由隐变显，从而问题转化为求主元函数地值域或上，下限(上限为最大值地临界值、下限为最小值地临界值>,进而求出参数范围.这种方法由于思路清晰、规律明显、操作性强，因而应是一种较好地求参方法.例3 <2003年新教材高考题改编题)设a 0为常数，数列｛an｝地通项公式 a n=15 [ 3n+(-1>n-12n ] +(-1>n2na 0(n € n*>, 若对任意n》1不等式a n>a n-1恒成立，求a 0地取值范围.解 a n-a n-1=2 x 3n-1+(-1>n-13 x 2n-15+ (-1>n3 x 2n-1a 0,故 a n>a n-1 等价于(-1>n-1(5a 0-1>-15 x 322k-2+15.此式对k=1,2,…恒成立,有a 0>-15 x 322 x 1-3+15=0.综上所述,①式对任意n € n + 成立,有0 故a 0地取值范围为0,13.例4 <2008年全国ii)设数列｛a n｝地前n项和为s n,已知a 1=a,a n+1=s n+3n<n€ n+).<1)设b n=s n-3n,求数列｛b n｝地通项公式；<2)若a n+1> a n(n € n+>,求a地取值范围.分析第v1)小题利用s n与a n地关系可求得数列地通项公式；第<2)小题将a n+1> a n转化为关于n与a地关系，再利用a< f(n>恒成立等价于a< f(n> min求解.解<1 )依题意,s n+1-s n=a n+1=s n+3n, sn+仁2s n+3n,s n+1-3n+仁2(s n-3n>. ｛s n-3n｝为等比数列，公比为q=2,首项为s 1-3=a-3, s n-3n=(s1-3>2 n-1=(a-3>2 n-1.即 b n=(a-3> x 2n-1(n € n+>.<2)由<1)知s n-3n=(a-3> x 2n-1(n € n+>.于是,当n》2时，a n=s n-s n-1=3n+(a-3> x 2n-1-3n-1-(a-3> x 2n-2,• • a n+1-a n=2x 3n+(a-3> x 2n-1-2 x 3n-1- (a-3> x 2n-2=4x 3n-1+(a-3> x 2n-2=2n-212x 32n-2+a-3 . T当n》2 时,a n+1>a n,即2n- 212x 32n-2+a-3》0, • 12x 32n-2+a-3》0, • a》3-12 x 32n-2.3构造单训数列策略例 5 设 a 0 为常数，且 a n=15 [ 3n-(-1>n-12n ] +(-1>n2na 0(n > 1>,假设对任意地n》1,有a n>a n-1,求a 0地取值范围.解由a n地通项公式，a n-a n-1=2 x 3n-1+(-1>n-1 x 3x 2n-15+(-1>n x 3x 2n-1a 0,贝卩a n>a n-1(n € n*>等价于(-1> n-1(5a 0-1>0.综上①②可知：v*)式对任何n€n*成立,得a 0地取值范围是0 说明本题是与数列有关地恒成立问题，确定数列32n,实质是利用了an=32n地单调性,从而为确定a 0地范围作铺垫.4 数学归纳法.策略例 6 已知数列｛a n｝满足 a 1=1,a n+1=18(a2 n+a>(n€ n*>,a>0,若a n+1>a n对一切n€ n*成立，求a地取值范围.解抓住a n+1>a n实施赋值推理有a 2>a 1,得a>7, 它仅保证命题a n+1>a n对n=1成立.假设n二k时命题a n+1>a n 成立,即 a k+1>a k>0,则 a k+1-a k=18a2k+1+a-18(a2 k+a>=18(a2 k+1-a2 k>>0,这说明n二k+1 时命题a n+1>a n也成立.综上所述,a>7时命题a n+1>a n恒成立,故a地取值范围是<7,+ x).评注运用赋值法抓住结论成立地一个必要条件，并以此作为思维地新起点，借助于数学归纳法顺序地完成了充分地证明，求解过程给人以“起死回生”之感.例7 已知数列｛a n｝满足 a 1=12,a na n+1=1214n(n€n+) .(1>求数列｛a n｝地通项公式；<2)设a>0,数列｛b n｝满足 b 1=1a(a-1>,b n+1=-b na(b n+a>,若|b n| < a n 对n € n+成立，试求a地取值范围.解<1 ) a n+1a n+2a na n+仁1214n+11214n,「. an+2a n=14.又T a 1=12,a 1a 2=1214, A a 2=14. {a n}是公比为12地等比数列，二a n=12n.<2) |b 1| < 12 1a(a-1> < 12 a>1, a(a-1> > 2 或0现a>2 时,|b n| < a n 对n€ n+成立. ①n=1时,|b 证：1| < a 1成立。

②假设n二k(k > 1>时,|b k| < a k成立，则|b k+1|=|b k|a|b k+a| < |b k|a(a-|b k|> <12ka(a-1> < 12k+1,即n二k+1 时,|b k+1| < a k+1 也成立，时,|b n|< a n, • a地取值范围是［2,+ x>.例8 <2009年安徽卷理）首项为正数地数列｛a n｝满足an+仁14（a2 n+3>,n € n +.<1）证明：若a 1为奇数，则对一切n》2,a n都是奇数.<2）若对一切n€ n +都有a n+1>a n,求a 1地取值范围.解<1 ）已知a 1是奇数，假设a k=2m-1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得a k+仁a2 k+34=m（m-1>+1是奇数.根据数学归纳法，对任何n€ n +,a n都是奇数.<2）方法一：由 a n+1-a n=14（a n-1>（a n-3>知,an+1>a n当且仅当a n3.另一方面,若0 若 a k>3,则 a k+1>32+34=3.根据数学归纳法,03 a n>3, n € n +.综合所述,对一切n€n +都有a n+1>a n地充要条件是03.方法二：由a 2=a2 1+34>a 1,得a2 1-4a 1+3>0, 于是03.a n+1-a n=a2 n+34-a2 n-1+34=(a n+a n-1>(an-a n-1>4.因为a 1>0,a n+1=a2 n+34,所以所有地a n均大于0, 因此匕a n+1-a n 与 a n-a n-1同号.根据数学归纳法, n € n +,a n+1-a n 与 a2-a 1 同因此，对一切n€ n +者E有a n+1>a n地充要条件是03.5反讹法•策略例9 已知数列｛a n｝中 a 1=a（a>0>,a n+仁a n-1a n 是否存在正数a,使得对任意n€ n*都有a na n+1>0?若存在, 求出a地值；若不存在，请说明理由.解假设存在正数a使a na n+1>0恒成立,则a n>0,运用赋值法推理得a 2>0,即a-1a>0,解得a>1.以此为思维地新起点，便可导致矛盾地结论.因为 a n+1-a n=-1a na2+1 时,有a n w a-n-1a 这与a n>0恒成立相矛盾，从而不存在a适合题意.评注抓住一个必要条件，产生了矛盾地结论<实为反证法），则探索终止,结论为假；若探索出一个正确地命题,则还需设法证明充分性,否则,不符合逻辑规则.以上介绍地几种常见函数型不等式恒成立问题地求解策略，只是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数地取值范围.事实上,这些策略不是孤立地，在具体地解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用,才能使问题得以顺利解决.。