板块一：因式分解的基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式；③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；③单项式因式写在多项式因式的前面；④每个因式第一项系数一般不为负数；⑤形式相同的因式写成幂的形式.【例1】 判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由.⑴22()()x y x y x y +-=-； ⑵322()x x x x x x +-=+⑶232(3)2x x x x +-=+-； ⑷1(1)(1)xy x y x y +++=++【考点】因式分解【难度】1星【题型】解答【关键词】【解析】⑴不是，此变形是整式乘法运算；⑵不是，此等式不成立；⑶不是，等式右边不是整式乘积的形式；⑷是.【答案】⑴不是，此变形是整式乘法运算；⑵不是，此等式不成立；⑶不是，等式右边不是整式乘积的形式；⑷是.【例2】 观察下列从左到右的变形：⑴()()3322623a b a b ab -=-； ⑵()ma mb c m a b c -+=-+⑶()22261266x xy y x y ++=+；⑷()()22323294a b a b a b +-=- 其中是因式分解的有 （填括号）【考点】因式分解例题精讲提公因式法、公式法【难度】1星【题型】填空【关键词】【解析】根据定义可知：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式叫做因式分解。

其中⑴是单项式变形，⑷是多项式的乘法运算，⑵中并没有写成几个整式的乘积的形式，只有⑶是因式分解【答案】根据定义可知：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式叫做因式分解。

其中⑴是单项式变形，⑷是多项式的乘法运算，⑵中并没有写成几个整式的乘积的形式，只有⑶是因式分解板块二：提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.【例3】 分解因式：ad bd d -+；【考点】因式分解【难度】2星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】1(1)ad bd d d a d b d d a b -+=⋅-⋅+⋅=⋅-+最后一项1d d =⋅，系数1一般可省略，但因式分解时提出“d ”后，“1”不能漏掉.提公因分解因式时，提完公因式的那个因式等于原多项式除以公因式的商，故那个因式的项数等于多项式的项数.【答案】(1)d a b ⋅-+【例4】 分解因式：2244a a b -+-【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】北京市中考大纲卷，公式法，提取公因式法【解析】222244(2)(2)(2)a a b a b a b a b -+-=--=+---【答案】(2)(2)a b a b +---【例5】 分解因式：23361412abc a b a b --+【考点】因式分解【难度】2星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】23322614122(376)abc a b a b ab c ab a --+=-+-【答案】222(376)ab c ab a -+-【例6】 分解因式：32461512a a a -+-【考点】因式分解【难度】2星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】32422615123(425)a a a a a a -+-=-+-【答案】223(425)a a a -+-【例7】 分解因式：22224()x a x a x +--【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】2222224()(41)()x a x a x x a x +--=-+【答案】22(41)()x a x -+【例8】 分解因式：3222524261352xy z xy z x y z -++【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】3222524224226135213(214)xy z xy z x y z xy z y x z -++=---【答案】224213(214)xy z y x z ---【例9】 不解方程组2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，求代数式()()237323y x y y x ---的值． 【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】()()()()()()232327323732332166y x y y x y x y x y x y y x ---=-+-=-+=⨯=【答案】6【例10】 分解因式：2121()()m m p q q p +--+-【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】212121221()()()()1()(1)(1)m m m m p q p q p q p q p q p q p q +---⎡⎤---=---=----+⎣⎦【答案】21()(1)(1)m p q p q p q -----+【例11】 分解因式：212312n n x y xy z +-(n 为大于1的自然数)．【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】因为n 大于1，所以10n ->，因此公因式是13n xy +．()2121131234n n n n x y xy z xy x y z ++--=-【答案】()1134n n xy x y z +--【例12】 把下列各式进行因式分解：3223224612x y x y x y -+-【考点】因式分解【难度】2星【题型】解答【关键词】2009年，山东青岛，提取公因式法【解析】原式()222236x y x y =--+【答案】()222236x y x y --+【例13】 分解因式：()()23262x a b xy a b +-+【考点】因式分解【难度】2星【题型】解答【关键词】2009年，山东德州，提取公因式法【解析】原式()()3222x a b a b y =++-【答案】()()3222x a b a b y ++-【例14】 分解因式23423232545224()20()8()x y z a b x y z a b x y z a b ---+-【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】原式22323224()(652)x y z a b yz x x y z =--+【答案】22323224()(652)x y z a b yz x x y z --+【例15】 分解因式：346()12()m n n m -+-【考点】因式分解【难度】2星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】原式[]34336()12()6()12()6()(122)m n m n m n m n m n m n =-+-=-+-=-+-【答案】36()(122)m n m n -+-【例16】 分解因式：55()()m m n n n m -+-【考点】因式分解【难度】2星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】555556()()()()()()()m m n n n m m m n n m n m n m n m n -+-=---=--=-【答案】6()m n -【例17】 分解因式：()()()2a ab a b a a b +--+【考点】因式分解【难度】2星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】()()()2a a b a b a a b +--+()()()()()()22a a b a b a b a a b b ab a b =+--+=+-=-+⎡⎤⎣⎦【答案】()2ab a b -+【例18】 分解因式：(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +--+-【考点】因式分解【难度】2星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】原式(23)(2)(32)(2)(2)(55)5(2)()a b a b a b a b a b a b a b a b =+-++-=-+=-+【答案】5(2)()a b a b -+【例19】 化简下列多项式：()()()()23200611111x x x x x x x x x ++++++++++ 【考点】因式分解【难度】4星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】原式()()()20051111x x x x x x ⎡⎤=+++++++⎣⎦()()()()200411111x x x x x x x ⎡⎤=++++++++⎣⎦ …()()2005111x x x x =++++⎡⎤⎣⎦()20071x =+ 【答案】()20071x +【例20】 分解因式：()()2121510n n a a b ab b a +---(n 为正整数) 【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】原式()()()()()()212221510532535n n n n a a b ab a b a a b a b b a a b a b +=---=---=--⎡⎤⎣⎦注意整体思想的运用！【答案】()()2535n a a b a b --【例21】 分解因式： 2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--，n 为正整数.【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】n 是正整数时，2n 是偶数，22()()n n x y y x -=-；21n +是奇数，2121()()n n x y y x ++-=--.2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--[]2()()()2()n x y x y x z y z =----+-2()()n x y y z =--.【答案】2()()n x y y z --【例22】 先化简再求值，()()()2y x y x y x y x +++--，其中2x =-，12y =． 【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】2005年，长沙市中考，提取公因式法【解析】利用因式分解化简．()()()()()()()222y x y x y x y x x y y x y x x x y x x x y x xy +++--=++--=+-=+-=，把2x =-，12y =代入，得原式1=-. 【答案】1-【例23】 求代数式的值：22(32)(21)(32)(21)(21)(23)x x x x x x x -+--+++-，其中23x =-. 【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】原式22(32)(21)(32)(21)(32)(21)3(32)(21)x x x x x x x x x =-+--+--+=--+, 当23x =-时，原式4=-. 【答案】4-【例24】 已知：2b c a +-=-，求22221()()(222)33333a abc b c a b c b c a --+-+++-的值. 【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】提取公因式法 【解析】原式22228()(2)333b c a =--=⨯-= 【答案】83【例25】 分解因式：322()()()()()x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +-+-+--+----.【考点】因式分解【难度】4星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】观察原式，我们发现公因式为2()x z x y --，故原式[]2()()()x z x y x y z a z y x z a =---+-++--2()()x z x y ax z xz yz ay =--+---.【答案】2()()x z x y ax z xz yz ay --+---【例26】 若a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则ABC ∆按边分类，应是什么三角形？【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】这是一道因式分解与等腰三角形联系的综合性问题．应先对等式进行化简，再利用等腰三角形的定义进行判断．在化简过程中，如果几个因式的乘积为0，则每一个因式都有可能为0，即若0ab =，则等价于0a =或0b =或0a b ==，所以由()()0a b b c --=，得到a b =或b c =或a b c ==，若第三个成立则ABC ∆是等边三角形，但等边三角形是特殊的等腰三角形，所以结论是等腰三角形．∵()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-∴()()()()a b b a a b a c a b c a ---=---∴()()()()0a b b a c a a b -----=，即()()0a b b c --=∴0a b -=或0b c -=，即a b =或b c =，∴ABC ∆是等腰三角形【答案】ABC ∆是等腰三角形1. 分解因式：4325286x y z x y -【考点】因式分解【难度】2星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】43252422862(43)x y z x y x y yz x -=-，按照系数、字母(或多项式因式)确定公因式【答案】4222(43)x y yz x -2. 分解因式：322618m m m -+-【考点】因式分解【难度】2星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】323222618(2618)2(39)m m m m m m m m m -+-=--+=--+或32232261862182(39)m m m m m m m m m -+-=--=--若多项式第一项为负，一般有两种处理方法： ①首先将“－”提出，初学时不要省略此步，再对提取“－”后的多项式提取公因式； ②若多项式中含有系数为正数的项，也可将这一项写在第一项，然后再提取公因式.【答案】22(39)m m m --+3. 分解因式：23229632x y x y xy ++ 【考点】因式分解【难度】2星【题型】解答【关键词】提取公因式法 【解析】23222322291363(1269)(423)222xy x y x y xy x y x y xy x x y y ++=++=++因式分解后，最好使多项式中的系数为整数，这样比较整洁. 【答案】23(423)2xy x x y y ++4. 分解因式：2222224x y x z y z z --+【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】提取公因式法，应用公式法【解析】22222242222222222()()()()()()()()x y x z y z z x y z z y z y z x z y z y z x z x z --+=---=--=-+-+【答案】()()()()y z y z x z x z -+-+课后练习5. 分解因式：232232a b abc d ab cd c d -+-【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】232232222222()()()()a b abc d ab cd c d ab ab c d cd ab c d ab cd ab c d -+-=-+-=+-【答案】22()()ab cd ab c d +-6. 分解因式：22(1)1a b b b b -+-+-【考点】因式分解【难度】2星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】222(1)1(1)(1)a b b b b a b b -+-+-=--+【答案】2(1)(1)a b b --+7. 分解因式：22()()()x x y y y x --+-【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】公式法，提取公因式法【解析】22()()()x x y y y x --+-22222()()()()()()x x y y x y x y x y x y x y =---=--=-+【答案】2()()x y x y -+8. 分解因式：212146n m n m a b a b ++--(m 、n 为大于1的自然数)【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】(21)(2)10n n n +-+=->，(21)(2)n n +>+，2121211462(23)n m n m n m n a b a b a b a b ++-+---=-【答案】2112(23)n m n a b a b +---9. 分解因式：2316()56()m m n n m -+-【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】提取公因式法【解析】原式[]232216()56()8()27()8()(75)m n m n m n m m n m n m n m =-+-=-+-=--【答案】28()(75)n m n m --。