三、傅里叶变换的性质
3.2 非周期信号的傅里叶变换
【例】求信号 cos( w0t )和 sin( w0t ) 的频谱函数。 解： ② jw t jw t
sin( w 0 t ) e
0
e
0
2j

1
(1 e
jw 0 t
1e
jw 0 t
)
2j
又 1 2 ( w )
（a1、a2为常数）
三、傅里叶变换的性质
3.2 非周期信号的傅里叶变换
2、对称性 若 f (t ) F ( w) ，则： F (t ) 2f ( w)
【例】求信号 Sa( wct )和1的频谱函数。 w 解： ①
g ( t ) Sa ( )
Sa (
t
f (t )
其中：
n
F e
n

jnw t 1
（n取整数）
jnw t 1
Fn
T
1
t 0 T
f (t )e
dt
t0
二、指数形式
3.1 周期信号的傅里叶级数
f (t )
A0 2

An cos( nw1t n )
n 1


A0 2
An
n 1
式，性质中的微分都是指对t。 【例】若 f (t ) F ( w) ，求信号 数。 解：
1


f (t )e
jwt
dt
-- 傅里叶正变换
f (t ) F T [ F ( w)]
2
1


F ( w)e
jwt
dw
-- 傅里叶逆变换
f(t)与F(w)是一一对应的：
f (t ) F ( w)
FT
一、傅里叶变换的定义

3.2 非周期信号的傅里叶变换
傅里叶变换存在的充分条件：
2 2
jwt
dt
e
jwt

2
jw

2

2
jw
sin(

)
e
e
2 sin( w
w 2
)
jw
w 2

w 2
Sa (
w 2
)
二、典型非周期信号的频谱函数
3.2 非周期信号的傅里叶变换
（2）e-at u(t) 解：
F (w)
(a>0)

（2）谐波性：每一条谱线只出现在基波频率w1的整数
倍频率上。 （3）收敛性：当 nw1 →∞时，An（或|Fn|）→0。
时域周期信号，造成频域离散的谱。
第三章
傅里叶变换
3.2 非周期信号的傅里叶变换(CTFT)
一、傅里叶变换的定义 频谱函数 F ( w) FT [ f (t )] 原函数
第三章 傅里叶变换
3.1 周期信号的傅里叶级数 3.2 非周期信号的傅里叶变换
3.3 周期信号的傅里叶变换
3.4 抽样定理
第三章
傅里叶变换
3.1 周期信号的傅里叶级数（CFS）
一、三角形式
周期为T的周期信号f(t)在(t0, t0+T)区间的三角形式
傅里叶级数展开式为：
f (t )
a0 2
[an cos( nw1t ) bn sin( nw1t )]
n 1

（n取正整数）
式中：w1=2π/T 称为基波角频率；
a0/2，an和bn为加权系数。
一、三角形式
3.1 周期信号的傅里叶级数
加权系数：
通常取：t0=0或-T/2
t 0 T t0
t 0 T
an
bn
令 A n
T
T
2 n
2
f (t ) cos( nw1t )dt
( n 0 ,1, 2 , )
2
t0
f (t ) sin( nw1t )dt
2 n
a b ， n arctan a ，则： n
bn
An ：称为n次谐波分量的振幅，是n的偶函数。
n ：称为n次谐波分量的相位，是n的奇函数。
一、三角形式
3.1 周期信号的傅里叶级数
f (t )
a0 2
An cos( nw1t n )
1 2 ( w ) 2 ( w )
1 2 ( w)
3、尺度变换
(15)
1 a w a
若 f (t ) F ( w) ，则： f (at ) 4、时移
F(
)
若 f (t ) F ( w) ，则： f (t t0 ) F ( w)e jwt0
e
j ( nw1t n )
e 2
j ( nw1t n )

A0 2

1
A 2
n 1

n
e
j ( nw1t n )

1
A 2
n 1 1

n
e
j ( nw1t n )

A0 2


1
A 2
n 1 n
n
e
j ( nw1t n )


1
2 n
2



e
jw t

0
e
e

jw t
dt
1


e
0
at
e
jw t
dt
2a


0

e
( a jw ) t
dt


e
( a jw ) t
dt
1 a jw
0
a jw

a w
2
2
二、典型非周期信号的频谱函数
3.2 非周期信号的傅里叶变换

（4） (t ) 1 解： F ( w ) ( t ) e jwt dt
o － 1 0° － 1 0°
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6

－ 1 5°
－ 1 5°
－ 2 0° － 3 0°
－ 3 0° － 2 0°
－ 3 0°
－ 3 0°
－ 4 5°
－ 4 5°
－ 4 5°
三、周期信号的频谱
3.1 周期信号的傅里叶级数
周期信号频谱的特点
（1）离散性：由不连续的谱线组成，每一条谱线代表 一个正弦分量。


f (t ) dt
（绝对可积）
j ( w)
非周期信号的频谱：
F(w) ～ w 曲线
F ( w) R(w) jX ( w) F ( w) e 其中： 幅度 F ( w) R 2 ( w) X 2 ( w)
相位 ( w) arctan
X ( w) R( w)

1 2
(1 e
jw 0 t
1e
jw 0 t
)
又 1 2 ( w )
cos( w0t ) 1 2 [2 ( w w0 ) 2 ( w w0 )]
则：cos( w0t ) [ ( w w0 ) ( w w0 )]
(17)



( t ) dt 1
三、傅里叶变换的性质（P143：表3-2）
常用信号的傅里叶变换表（P570：附录三）
1、线性 若 f1 (t ) F1 (w) ，f 2 (t ) F2 (w) ，则：
a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1F1 (w) a2 F2 (w)
其余
An 0
三、周期信号的频谱
3.1 周期信号的傅里叶级数
振幅谱：
相位谱：
三、周期信号的频谱
|F n| 2 1 .5
1 .5 2 |F n|
3.1 周期信号的傅里叶级数
振幅谱：
1
1
1 .5
1 .5
1
1
1
1
0 .4
0 .4
0 .4 0 .2
0 .2


2
2
0 .2
0 .4
4
4
0 .2 － 6 － 5 － 4 － 3 － 2 － o － 6 － 5 － 4 － 3 － 2 － o (a )
0 . 4 cos( 3 t 45 ) 0 . 8 cos( 6 t 30 ) ，试画出f(t)的振
幅谱和相位谱。 解： 题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的三角形式傅里 叶级数展开式。
f (t ) A0 2


A n cos( nw 1 t n )
n 1


A0 2
An cos( nw1t n )
n 1

任一周期信号，可以表示为一直流分量和一
系列谐波分量之和。
谐波分量：基波，二次谐波，三次谐波，…。
3.1 周期信号的傅里叶级数
二、指数形式
周期为T的周期信号f(t)在(t0, t0+T)区间的指数形式
傅里叶级数展开式为：
1 a jw
dt

e
at
u (t )e
jwt

0 1


e

( a jw ) t
dt
0

e
( a jw ) t 0
( a jw )