2019年江苏省扬州市宝应县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每题所给的四个选项，只有一个符合题意，请将正确答案的选项字母填涂在答题卡上）1．（3分）下列整数中，比﹣π小的数是（）A．﹣3B．0C．1D．﹣42．（3分）下列运算中，正确的是（）A．（﹣x）2•x3＝x5B．（x2y）3＝x6yC．（a+b）2＝a2+b2D．a6+a3＝a23．（3分）下列立体图形中，主视图与其他不同的是（）A．B．C．D．4．（3分）某服装企业根据客户对产品的7天订货记录按尺码进行分类统计汇总如表：服装尺码37383940414243订货数量20354540553621则该企业生产部安排生产计划时要适当多生产哪种尺码服装的（）A．39B．40C．41D．425．（3分）如图，直线l1∥l2，将一直角三角尺按如图所示放置，使得直角顶点在直线l1上，两直角边分别与直线l1、l2相交形成锐角∠1、∠2且∠1＝25°，则∠2的度数为（）A．25°B．75°C．65°D．55°6．（3分）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（）A．6B．8C．5D．57．（3分）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC 的值为（）A．B．1C．D．8．（3分）如图，点P（﹣2a，a）是反比例函数（k＜0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为5π，则反比例函数的解析式（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）9．（3分）中国高铁被誉为“新四大发明”，截止2018年底中国高速铁路营业里程已达29000公里，请将29000用科学记数法表示为．10．（3分）如图，数轴上有O、A、B三点，点O对应原点，点A对应的数为﹣1，若OB ＝3OA，则点B对应的数为．11．（3分）因式分解：a3﹣ab2＝．12．（3分）图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝度．13．（3分）为迎接宝应县中小学生诗词大赛，某校举办了五次选拔赛，在这五次选拔赛中，小明五次成绩的平均数是90，方差是2，小强五次成绩的平均数也是90，方差是14.8，应推荐参赛．14．（3分）抛物线y＝2x2﹣4x+3的顶点坐标是．15．（3分）如图，菱形ABCD的周长为20，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个C的坐标是（0，4），则直线AC的解析式是．17．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是重心，点D在斜边AB上，CD过点E，作EF∥AB交CB于点F，若EF＝6，则AB的长为．18．（3分）如图，点D是等边△ABC的边BC上的一个动点，连结AD，将射线DA绕点D顺时针旋转60°交AB于点E，若AB＝4，则AE的最小值是．三.解答题（本大题共有10小题，共96分，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤）19．（8分）（1）计算：（2）化简：20．（8分）解不等式组，并写出x的所有整数解．21．（8分）为深化课程改革，扬州市教育局大力推行实施“五个一百工程”，各校为学生开设了多种课程，为了解部分课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取七年级部分学生进行调查，从A：名著阅读，B：艺术鉴赏，C：影视观赏，D：名人故事等四门课程中选出你喜欢的课程（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查的总人数为人，扇形统计图中A部分的圆心角是度．（2）请补全条形统计图．（3）根据本次调查，该校七年级600名学生中，估计最喜欢“影视观赏”的学生人数为多少？22．（8分）今年春节期间，影院同时上映两部电影A：《流浪地球》和B：《飞驰人生》深受观众喜爱，王丽和朱红两人约定分别从中任意选择1部观看．（1）王丽选择观看A部电影《流浪地球》的概率是；（2）请用画树状图或列表的方法求王丽和朱红两人都选择观看A部电影《流浪地球》的概率．23．（10分）如图，在△ABC中，点D是BC上动点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的廷长线于点F，连接CF（1）求证：AF＝DB；（2）若AC⊥AB，点D运动到BC的中点吋，试判断四边形AFCD的形状，并证明你的结论．24．（10分）今年，学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费7500元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量与购买文学书的数量相同，求科普类图书平均每本的价格是多少元？25．（10分）如图，点A、B、C在⊙O上，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，作DE⊥AC分別交AC、AB的延长线于点E、F（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB＝6，OA＝4，求弧BD、线段DF、线段BF所围成的阴影部分图形的面积（结果保留π）26．（10分）定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心，例如：如图1，PD⊥AC，PE⊥AB，垂足分别为点D、E，若PD＝PE，则点P为△ABC的准内心（1）应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准内心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数．（2）探究：如图3，已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准内心P在AC 边上（不与点A、C重合），求PA的长．27．（12分）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，每日最多生产130kg，假设生产出的产品能全部售出，每千克的销售价y1（元）与产量x（kg）之间满足一次函数关系y1＝﹣x+168，生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数图象如图中折线ABC所示．（1）求生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）求日利润为W（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少kg时，这种产品获得的日利润最大？最大日利润为多少元？28．（12分）如图，现有一张边长为1的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG 交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB＝∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，∠PBH的大小是否改变？如不改变，请求出它的度数，并说明你的理由；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式．2019年江苏省扬州市宝应县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每题所给的四个选项，只有一个符合题意，请将正确答案的选项字母填涂在答题卡上）1．（3分）下列整数中，比﹣π小的数是（）A．﹣3B．0C．1D．﹣4【分析】可根据有理数大小比较的方法：正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值越大的反而越小．通过比较直接得出．【解答】解：∵﹣3＞﹣π，0＞﹣π，1＞﹣π，﹣4＜﹣π故选：D．【点评】本题考查有理数比大小，深刻理解有理数中正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值越大的反而越小．2．（3分）下列运算中，正确的是（）A．（﹣x）2•x3＝x5B．（x2y）3＝x6yC．（a+b）2＝a2+b2D．a6+a3＝a2【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、完全平方公式及同类项的概念逐一计算可得．【解答】解：A．（﹣x）2•x3＝x5，此选项正确；B．（x2y）3＝x6y3，此选项错误；C．（a+b）2＝a2+2ab+b2，此选项错误；D．a6与a3不是同类项，不能合并，此选项错误；故选：A．【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握同类项概念、幂的乘方、完全平方公式及积的乘方．3．（3分）下列立体图形中，主视图与其他不同的是（）A．B．C．D．【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，【解答】解：A、C、D的主视图都是长方形，而B的主视图是三角形，故选：B．【点评】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．4．（3分）某服装企业根据客户对产品的7天订货记录按尺码进行分类统计汇总如表：服装尺码37383940414243订货数量20354540553621则该企业生产部安排生产计划时要适当多生产哪种尺码服装的（）A．39B．40C．41D．42【分析】观察表格各尺码的众数，众数多的即是答案．【解答】解：从表格中可知41号鞋订货数量是最多的，即众数最多是41号鞋，∴应该多生产41号的．故选：C．【点评】本题考查众数．解题的关键是找准数据给的信息量，确定准确众数．5．（3分）如图，直线l1∥l2，将一直角三角尺按如图所示放置，使得直角顶点在直线l1上，两直角边分别与直线l1、l2相交形成锐角∠1、∠2且∠1＝25°，则∠2的度数为（）A．25°B．75°C．65°D．55°【分析】依据∠1＝25°，∠BAC＝90°，即可得到∠3＝65°，再根据平行线的性质，即可得到∠2＝∠3＝65°．【解答】解：如图，∵∠1＝25°，∠BAC＝90°，∴∠3＝65°，又∵l1∥l2，∴∠2＝∠3＝65°，故选：C．【点评】本题考查的是平行线的性质，运用两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．6．（3分）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（）A．6B．8C．5D．5【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE＝∠AOB+∠COD知∠BOE ＝∠COD，据此可得BE＝CD＝6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．【解答】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE＝180°，又∵∠AOB+∠COD＝180°，∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝6，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴AB＝＝＝8，故选：B．【点评】本题主要考查圆心角定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理．7．（3分）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC 的值为（）A．B．1C．D．【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC 为等腰直角三角形，即可求出所求．【解答】解：连接BC，由网格可得AB＝BC＝，AC＝，即AB2+BC2＝AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，则tan∠BAC＝1，故选：B．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．8．（3分）如图，点P（﹣2a，a）是反比例函数（k＜0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为5π，则反比例函数的解析式（）A．B．C．D．【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．【解答】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：πr2＝5π解得：r＝2．∵点P（﹣2a，a）是反比例函y＝（k＞0）与⊙O的一个交点．∴﹣2a2＝k且＝r∴a2＝4．∴k＝﹣2×4＝﹣8，则反比例函数的解析式是：y＝﹣．故选：D．【点评】本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）9．（3分）中国高铁被誉为“新四大发明”，截止2018年底中国高速铁路营业里程已达29000公里，请将29000用科学记数法表示为 2.9×104．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：29000＝2.9×104．故答案为：2.9×104．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．10．（3分）如图，数轴上有O、A、B三点，点O对应原点，点A对应的数为﹣1，若OB ＝3OA，则点B对应的数为3．【分析】根据OB＝3OA，求出OB的长度，因为B在数轴上表示正数，从而得解；【解答】解：∵点A对应的数为﹣1，OB＝3OA，∴OA＝1，OB＝3，∴B点对应的数是3．故答案为3．【点评】本题考查数轴上点到原点的距离，数轴上点的特点．利用距离的关系求出OB 的长度，结合数轴上B点的位置确定它的对应数的正负是解题的关键．11．（3分）因式分解：a3﹣ab2＝a（a+b）（a﹣b）．【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．【解答】解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式．本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．12．（3分）图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360度．【分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．【解答】解：由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，故答案为：360°．【点评】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．13．（3分）为迎接宝应县中小学生诗词大赛，某校举办了五次选拔赛，在这五次选拔赛中，小明五次成绩的平均数是90，方差是2，小强五次成绩的平均数也是90，方差是14.8，应推荐小明参赛．【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【解答】解：∵小明五次成绩的平均数是90，方差是2；小强五次成绩的平均数也是90，方差是14.8．∴平均成绩一样，小明的方差小，成绩稳定，故答案为：小明．【点评】本题考查方差、平均数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．14．（3分）抛物线y＝2x2﹣4x+3的顶点坐标是（1，1）．【分析】已知抛物线解析式为一般式，利用公式法可求顶点坐标，也可以用配方法求解．【解答】解：解法1：利用公式法y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式为（，），代入数值求得顶点坐标为（1，1）．解法2：利用配方法y＝2x2﹣4x+3＝2（x2﹣2x+1）+1＝2（x﹣1）2+1，故顶点的坐标是（1，1）．【点评】求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值通常有两种方法：（1）公式法；（2）配方法．15．（3分）如图，菱形ABCD的周长为20，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝ 2.4．【分析】先根据菱形的性质得BC＝5，利用勾股定理得出OB＝3，OA＝OC＝AC＝4，再利用面积法计算OE的长．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为20，∴BC＝5，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，AC＝2OC＝8，在Rt△BOC中，OB＝，∵OE⊥BC，∴OE•BC＝OB•OC，∴OE＝．故答案为2.4．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了勾股定理和三角形面积公式．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个C的坐标是（0，4），则直线AC的解析式是y＝﹣．【分析】根据菱形的性质，可得OA的长，根据三角函数，可得OD与AD，根据待定系数法，可得答案．【解答】解：如图，由菱形OCBA的一个顶点在原点O处，C点的坐标是（0，4），得OC＝OA＝4．又∵∠1＝60°，∴∠2＝30°．sin∠2＝，∴AD＝2．cos∠2＝cos30°＝，OD＝2，∴A（2，2）．设AC的解析式为y＝kx+b，将A，C点坐标代入函数解析式，得，解得，直线AC的表达式是y＝﹣x+4，故答案为：y＝﹣x+4．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用锐角三角函数得出A点坐标是解题关键，又利用了菱形的性质及待定系数法求函数解析式．17．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是重心，点D在斜边AB上，CD过点E，作EF∥AB交CB于点F，若EF＝6，则AB的长为18．【分析】依据重心的性质即可得出CE＝2DE，再根据△CEF∽△CDB，即可得到BD＝9，依据Rt△ABC中，CD是中线，可得AB＝2BD＝18．【解答】解：∵点E是重心，∴CE＝2DE，∴＝，又∵EF∥AB，∴△CEF∽△CDB，∴＝，即＝，∴BD＝9，又∵Rt△ABC中，CD是中线，∴AB＝2BD＝18，【点评】本题主要考查了三角形的重心以及相似三角形的性质的应用，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．18．（3分）如图，点D是等边△ABC的边BC上的一个动点，连结AD，将射线DA绕点D顺时针旋转60°交AB于点E，若AB＝4，则AE的最小值是3．【分析】由等边三角形的性质可知∠B＝∠C，利用外角的性质证得∠BAD＝∠EDC，可得出△ABD∽△DCE，设BD的长为x，由相似的性质求出CE的长，再求出AC的长，利用函数的性质可求出AE的最小值．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝4，∵∠B+∠BAD＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC，∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE，∴＝，设BD＝x，则CD＝4﹣x，∴＝，∴CE＝﹣x2+x，∴AE＝AC﹣CE＝4﹣（﹣x2+x）＝x2﹣x+4＝（x﹣2）2+3，∵＞0，由二次函数的性质可知，当x的值为2时，AE有最小值，最小值为3，【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似的判定与性质以及二次函数的性质等，解题的关键是能够用字母将所求线段的长段表示出来，用函数的性质求极值．三.解答题（本大题共有10小题，共96分，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤）19．（8分）（1）计算：（2）化简：【分析】（1）将原式的每一项都化简为3+1﹣2；（2）先将多项式进行因式分解，然后再进行化简运算；【解答】解：（1）原式＝（）﹣2+1﹣2＝3+1﹣2＝4﹣2；（2）原式＝÷＝•＝．【点评】本题考查特殊三角函数值，零指数幂运算，二次根式化简，因式分解，分式的运算．熟练掌握公式是解题的关键．20．（8分）解不等式组，并写出x的所有整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得：x≥﹣，解不等式②，得：x＜，则不等式组的解集为﹣≤x＜，∴不等式组的整数解为：﹣1、0、1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．（8分）为深化课程改革，扬州市教育局大力推行实施“五个一百工程”，各校为学生开设了多种课程，为了解部分课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取七年级部分学生进行调查，从A：名著阅读，B：艺术鉴赏，C：影视观赏，D：名人故事等四门课程中选出你喜欢的课程（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查的总人数为160人，扇形统计图中A部分的圆心角是54度．（2）请补全条形统计图．（3）根据本次调查，该校七年级600名学生中，估计最喜欢“影视观赏”的学生人数为多少？【分析】（1）根据：该项所占的百分比＝该项人数与总人数的比值，圆心角＝该项的百分比×360°．两图给出了D的数据，代入即可算出调查的总人数，然后再算出A的圆心角；（2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出喜欢“艺术鉴赏”的人数，再补全条形图；（3）根据喜欢某项人数＝总人数×该项所占的百分比，计算即得．【解答】解：（1）由条形图、扇形图知：喜欢趣味数学的有48人，占调查总人数的30%．所以调查总人数：48÷30%＝160（人），图中A部分的圆心角为：×360°＝54°，故答案为：160，54；（2）喜欢“艺术鉴赏”的人数：160﹣24﹣32﹣48＝56（人），补全如图所示：（3）600×＝120（名），答：该校七年级600名学生中，估计最喜欢“影视观赏”的学生人数为120名．【点评】本题考查了条形图和扇形图及用样本估计总体等知识，通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．22．（8分）今年春节期间，影院同时上映两部电影A：《流浪地球》和B：《飞驰人生》深受观众喜爱，王丽和朱红两人约定分别从中任意选择1部观看．（1）王丽选择观看A部电影《流浪地球》的概率是；（2）请用画树状图或列表的方法求王丽和朱红两人都选择观看A部电影《流浪地球》的概率．【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得两人选择都是A部电影《流浪地球》的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）王丽选择观看A部电影《流浪地球》的概率是，故答案为：．（2）画树状图如下：由树状图知，共有4种等可能结果，其中王丽和朱红两人都选择观看A部电影《流浪地球》的只有1种情况，所以王丽和朱红两人都选择观看A部电影《流浪地球》的概率为．【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．（10分）如图，在△ABC中，点D是BC上动点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的廷长线于点F，连接CF（1）求证：AF＝DB；（2）若AC⊥AB，点D运动到BC的中点吋，试判断四边形AFCD的形状，并证明你的结论．【分析】（1）利用平行线的性质，由AF∥BD得到∠AFE＝∠DBE，再证明△AEF≌△DEB，从而得到AF＝DB；（2）先利用直角三角形斜边上的中线性质得到AD＝CD＝BD，则AF＝BD＝CD，则可判断四边形AFCD为平行四边形，然后判断四边形AFCD为菱形．【解答】解：（1）∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BD，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB；（2）四边形AFCD为菱形．理由如下：∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∵点D为BC的中点，∴AD＝CD＝BD，∵AF＝BD＝CD，AF∥BD，∴四边形AFCD为平行四边形，而DA＝DC，∴四边形AFCD为菱形．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了菱形的判定．24．（10分）今年，学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费7500元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量与购买文学书的数量相同，求科普类图书平均每本的价格是多少元？【分析】设科普类图书平均每本的价格是x元，根据购买科普书的数量与购买文学书的数量相同列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设科普类图书平均每本的价格是x元，由题意得，＝，解得，x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，答：科普类图书平均每本的价格是20元．【点评】本题考查的是分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．25．（10分）如图，点A、B、C在⊙O上，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，作DE⊥AC分別交AC、AB的延长线于点E、F（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB ＝6，OA ＝4，求弧BD 、线段DF 、线段BF 所围成的阴影部分图形的面积（结果保留π）【分析】（1）连接OD ，由OA ＝OD 知∠OAD ＝∠ODA ，由AD 平分∠EAF 知∠DAE ＝∠DAO ，据此可得∠DAE ＝∠ADO ，继而知OD ∥AE ，根据AE ⊥EF 即可得证；（2）作OG ⊥AE 于点G ，连BD ，可求出∠OAG ＝60°，由S △DOF ﹣S 扇形DOB 即可得解．【解答】（1）证明：如图，连接OD ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∵AD 平分∠EAF ，∴∠DAE ＝∠DAO ，∴∠DAE ＝∠ADO ，∴OD ∥AE ，∵AE ⊥EF ，∴OD ⊥EF ，∴EF 是⊙O 的切线；（2）解：OG ⊥AE 于点G ，连BD ，OGE ＝∠E ＝∠ODE ＝90°，∴四边形ODEG 是矩形，∴GE ＝OD ＝OA ＝4，∴AG ＝2，∴cos ∠OAG ＝，∴∠OAG ＝60°，∵OD∥AE，∴∠BOD＝60°，∴OF＝8，DF＝4，∴，，S＝．阴影【点评】本题考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质、矩形的判定与性质、锐角三角函数、扇形的面积公式等知识点．26．（10分）定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心，例如：如图1，PD⊥AC，PE⊥AB，垂足分别为点D、E，若PD＝PE，则点P为△ABC的准内心（1）应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准内心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数．（2）探究：如图3，已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准内心P在AC 边上（不与点A、C重合），求PA的长．【分析】（1）①点P为∠CAD的角平分线与CD的交点，根据等边三角形的性质得到∠PAD＝∠PAC＝30°，解直角三角形得到AD＝DP，AD＝BD，与已知PD＝AB 矛盾，点P不可能为∠CAD的角平分线与CD的交点，同理可知②点P不可能为∠CBD 的角平分线与CD的交点，③根据等边三角形的性质得到点P到AC和BC的距离相等，根据已知条件得到PD＝AD＝BD，求得∠APD＝∠BPD＝45°，于是得到∠APB＝90°；（2）根据勾股定理得到AC＝＝4，推出点P为∠CBA的平分线与AC的交点，作PD⊥BC与点D，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵准内心P在高CD上，∴①点P为∠CAD的角平分线与CD的交点，∵△ABC是等边三角形，∴∠PAD＝∠PAC＝30°，∵CD为等边三角形ABC的高，∴AD＝DP，AD＝BD，与已知PD＝AB矛盾，∴点P不可能为∠CAD的角平分线与CD的交点，同理可知②点P不可能为∠CBD的角平分线与CD的交点，③∵CD⊥AB，∴点P为∠BCA的平分线，此时，点P到AC和BC的距离相等，∵PD＝AB，∴PD＝AD＝BD，∴∠APD＝∠BPD＝45°，∴∠APB＝90°；（2）∵BC＝5，AB＝3，∴AC＝＝4，∵准内心在AC边上，（不与点A，B重合），∴点P为∠CBA的平分线与AC的交点，作PD⊥BC与点D，∴PA＝PD，BD＝BA＝3，设PA＝x，则x2+22＝（4﹣x）2，∴x＝，即PA＝．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．27．（12分）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，每日最多生产130kg，假设生产出的产品能全部售出，每千克的销售价y1（元）与产量x（kg）之间满足一次函数关系y1＝﹣x+168，生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数图象如图中折线ABC所示．（1）求生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）求日利润为W（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少kg时，这种产品获得的日利润最大？最大日利润为多少元？【分析】（1）由图象，当0≤x≤50时，y2＝70，当50＜x≤130时，设y2与x之间的函数关系式为y2＝mx+n，利用待定系数法即可求出m，n值（2）由（1）的解析式，可得总利润w＝（售价﹣成本）×数量，即可列出关系式（3）对（2）中所求的函数关系式分别求最值即可求解【解答】解：（1）由题意，可得当0≤x≤50时，y2＝70当50＜x≤130时，设y2与x之间的函数关系式为y2＝mx+n，∵直线y2＝mx+n经过点（50，70）与（130，54）∴，解得∴当50＜x≤130时，y2＝x+80综上所述，生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为（2）①当0≤x≤50时，W＝x（x+168﹣70）＝x2+98x②当50＜x≤130时，W＝x[（x+168）﹣（x+80）＝x2+88x（3）①当0≤x≤50时，W＝x2+98x＝﹣（x﹣）2+②当50＜x≤130时，W＝x2+88x＝（x﹣110）2+4840∴当x＝110时，w值最大，最大为4840元故当该产品产量为110kg时，获得利润最大，最大值为4840元【点评】此题主要考查利用待定系法求一次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数的应用．根据图象解题是关键．28．（12分）如图，现有一张边长为1的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG 交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB＝∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，∠PBH的大小是否改变？如不改变，请求出它的度数，并说明你的理由；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式．【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC＝∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB＝∠PBC即可得出答案；（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，进而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2＝BE2，利用二次函数的最值求出即可．【解答】（1）证明：如图1，∵PE＝BE，∴∠EBP＝∠EPB．又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EPH﹣∠EPB＝∠EBC﹣∠EBP．即∠PBC＝∠BPH．。