2009招聘数学教师专业考试数学试卷（满分：100分，考试时间：90分钟）一．选择题：(每小题5分,共40分)1．若对任意x ∈R ，不等式x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a <-B ．1a ≤C ．1a <D ．1a ≥2．椭圆2241x y +=的离心率为（ ）Ａ．2Ｂ．34Ｃ．2Ｄ．233. 设方程20x px q --=的解集为A ，方程20x qx p +-=的解集为B,若{}1A B ⋂=， 则p+q= ( )A 、２B 、０C 、１D 、－１ 4．如图，正方形AB 1 B 2 B 3中，C ，D 分别是B 1 B 2 和B 2 B 3的中点，现沿AC ，AD 及CD 把这个正方形折成一个四面体， 使B 1 ，B 2 ，B 3三点重合，重合后的点记为B ，则四面体A —BCD 中，互相垂直的面共有（ ）Ａ．4对 Ｂ．3对 Ｃ．2对 Ｄ．1对 5．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”到“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ） Ａ．2000 Ｂ．4096 Ｃ．5904 Ｄ．8320 6．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有（ ）Ａ．(0)(2)2(1)f f f +<B . (0)(2)2(1)f f f +>C ．(0)(2)2(1)f f f +≤D ．(0)(2)2(1)f f f +≥7．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域{}()100A x y x y x y =+，≤，且≥，≥，则平面区域{}()()B x y x y x y A =+-∈，，的面积为（ ） Ａ．2 Ｂ．1Ｃ．12Ｄ．148．设2()lg 1f x a x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） Ａ．(10)-， Ｂ．(01)，Ｃ．(0)-∞， Ｄ．(0)(1)-∞+∞U ，， A CD B 3B 2 B 1二．填空题：(每小题4分,共24分)9. 函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则()f x =10．若向量a 、b 的坐标满足a )1,2(--=+b ，a )3,4(-=-b ，则a ·b 等于 11、22023x x dx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰ 。

12.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ．13．过点A(2,3)的直线的参数方程()232x t t y t=+⎧⎨=+⎩为参数，若此直线与直线30x y -+=相交于点B ，则AB ＝ 。

14．如图3，⊙O 和⊙'O 都经过A 、B 两点，AC 是⊙'O的切线，交⊙O 于点C ，AD 是⊙O 的切线，交⊙'O 于 点D ，若BC= 2，BD=6，则AB 的长为2-2O 62xy三．解答题：15．（本小题满分8分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．16．（本小题满分8分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列．17、（本小题满分10分）如图所示，在棱长为2的正方体OABC —O 1A 1B 1C 1中，E 、F 分别为棱AB 和BC 上的动点，且AE=BF 。

（1）求证：A 1F ⊥C 1E ；（2）当O 1B ⊥EF 时，求点B 到平面B 1EF 的距离；18．（本题满分10分）已知函数3()f x x ax b =++的图象是曲线C ，直线1y kx =+与曲线C 相切 于点（1，3）.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的递增区间；（3）求函数()F x =()23f x x --在区间[0,2]上的最大值和最小值.学校 姓名_________________考号______________ 装 订 线 内 不 要 答 题 ················装························订··················线·············2009招聘数学教师专业考试数学 答卷一.选择题(每小题5分,共40分)9.___________；10.___________；11._________________； 12.__________；13.___________；14．_________________。

三、解答题：（共36分，要求写出解答过程） 15．（本小题满分8分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．16．（本小题满分8分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件P A=．产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列．17.(本小题满分10分)如图所示，在棱长为2的正方体OABC —O 1A 1B 1C 1中，E 、F 分别为棱AB 和BC 上的动点，且AE=BF 。

（1）求证：A 1F ⊥C 1E ；（2）当O 1B ⊥EF 时，求点B 到平面B 1EF 的距离；18．（本题满分10分）已知函数3()f x x ax b =++的图象是曲线C ，直线1y kx =+与曲线C 相切 于点（1，3）.（1）求函数()f x的解析式；（2）求函数()f x的递增区间；（3）求函数()--在区间[0,2]上的最大值和最小值.F x=()23f x x2009招聘数学教师专业考试（数学）参考答案二、填空题（每小题4分，共24分） 9.__ 2sin 4x π__；10.___ -5________；11.____ 43_____； 12.___13_____；13.___ ；14．___32____； 三．解答题：15．（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x xx x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．…………………………………3分 （Ⅱ）解法一： 因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数…5分，又π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为1-．………………8分16．解：（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则01A A ，互斥，且01A A A =+，故01()()P A P A A =+012122()()(1)C (1)1P A P A p p p p =+=-+-=-于是20.961p =-． 解得120.20.2p p ==-，（舍去）．………………4分（2）ξ的可能取值为012，，．若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220⨯=件，故2802100C 316(0)C 495P ξ===． 1180202100C C 160(1)C 495P ξ===． 2202100C 19(2)C 495P ξ===． 所以ξ的分布列为8分17．解（1）建立如图所示的空间直角坐标系O —xyz设t AE =，则t CF -=2∴E 点为（2，t ，0）F （2－t ，2，0）…2分 又A 1（2，0，2），C 1（0，2，2）∴)2,2,2(),2,2,(11--=--=t E C t F A ∴0442211=+-+-=⋅t t C A ∴E C F A 11⊥即F C F A 11⊥…………5分（2）由（1）得)0,2,(),2,2,2(1t t EF B D --=-=又O ⊥1∴0242=-+-T T 1=t∴E 、F 分别为AB 、BC 的中点。

……………………………7分 设点B 到平面B 1EF 的距离为h 。

由BEF VB EF B V B -=-11得962=h ………………………………10分18、解：（1）∵切点为（1，3），∴13k +=，得2k =.∵2'()3f x x a =+，∴'(1)32f a =+=，得1a =-. 则3()f x x x b =-+. 由(1)3f =得3b =.∴3()3f x x x =-+. …………………………3分 (2) 由3()3f x x x =-+得2'()31f x x =-，令2'()310f x x =->，解得3x <3x >. ∴函数()f x 的增区间为3(,-∞，3)+∞. ………………7分（3）3()3F x x x =-，2()33F x x '=-令2()330,F x x '=-=得11x =-，21x =. 列出,(),()x F x F x '关系如下：x 0 (0,1) 1(1,2) 2 '()F x -0 + ()F x 0 递减 极小值2-递增 2∴当[0,2]x ∈时，()F x 的最大值为2，最小值为2-. …………………………10分。