=
⎡t ⎢⎣0
0 t
⎤ ⎥ ⎦
(e
)
⎩⎨⎧FFij
⎫(e) ⎬ ⎭
= T (e)F (e)
单元坐标转换矩阵
7
⎡ cosθ sinθ 0
⎤ (e)
⎢⎢− sinθ cosθ 0
0
⎥ ⎥
T
(e)
=
⎡t ⎢⎣0
0⎤(e) ⎢
t
⎥ ⎦
=⎢ ⎢
0
01
⎥
cosθ sinθ 0⎥⎥
⎢
0
− sinθ cosθ 0⎥
0 4.05
10.48⎥ ⎥
−308.1x⎥⎥
⎢ ⎢⎣ 0
8.1 10.8 1 03m −8.15m 21.26⎥⎥⎦
①单元 θ (1) = 53.13D cosθ (1) = 0.6 sin θ (1) = 0.822
由此可得坐标转换矩阵，为：
T (1) = ⎜⎜⎝⎛0t
0 t
⎟⎟⎠⎞
(1)
⎡ 0.6 0.8 0⎤ t(1) = ⎢⎢−0.8 0.6 0⎥⎥
k F (e) = T (e)T k(e()e)T (e) δ (e)
三.单元刚度矩阵分块
10
平面刚架杆单元结构坐标系中单元刚度方 程一般表达式为：
⎧ F1 ⎫(e) ⎡k11
⎪ ⎪
F2
⎪⎪Fi
⎢ ⎢
k
21
⎪⎪ ⎨ ⎪
F3 F4
⎪⎪ ⎬ ⎪
=
⎢ ⎢
k
31
⎢k 41
⎪ ⎪
F5
⎪⎪Fj
⎢ ⎢
k
51
⎪⎩F6 ⎪⎭ ⎢⎣k61
i
k (e) 25
=
F2
= Yi
四.坐标变换示例
15
例1 求图示桁架①、②单元结构坐标下的
单元刚度矩阵。各杆 l = 2m， EA = 1.2 ×106 kN
Y
3
4
l
x
2
x
1
1
2
X
l
解： ①单元 θ (1) = 0 ，T 为单位矩阵，因此 16
结构单元刚度矩阵和局部单元刚度矩阵相
同。
⎡ 1 0 −1 0⎤
0 EA
⎢l
⎢ ⎢
0
⎢
⎢⎣ 0
0
12EI l3 6EI l2
0
− 12EI l3
6EI l2
0
6EI l2 4EI l
0
− 6EI l2
2EI l
− EA l 0
0 EA l 0x
10
0
0
⎤ ⎥
− 12EI l3
6EI
⎥ ⎥
l2 ⎥
− 6EI l2
2EI ⎥
l
⎥ ⎥
30 x
04⎥
12EI 2 1 l3
l
例
18
试求图示平面刚架① 、 ② 、 ③ 单元在结 构坐标下的单元刚度矩阵。
各杆EA＝7.2×106 kN，EI＝2.16×105 kN.m2。
4m
3x
2 x1
4 3x
1
3m
2
5m
解 局部坐标下① 、 ② 、 ③ 单元的单元刚 19 度矩阵：
⎡ EA
⎢ ⎢
l
⎢0
⎢
(e)
k
=
⎢ ⎢ ⎢ ⎢−
k12 k13
k
k 22 ii
k
23
k 32 k 33
k 42 k 43
k k 52 ji k53
k62 k63
1
i
k14 k15 k16 ⎤ (e) ⎧δ1 ⎫(e)
k 24 k 34 k 44 k 54
k k
25 35
kij
k k
26 36
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
k 45 k 46 ⎥
k
55
kjj
k
56
⎥ ⎥
两个坐标系下的杆端位移之间的转换关系为：
(e)
δ
=
⎧δi ⎨ ⎩δ j
⎫(e) ⎬ ⎭
=
⎡t ⎢⎣0
0 t
⎤ ⎥ ⎦
(e)
⎩⎨⎧δδij
⎫(e) ⎬ ⎭
=
T
δ (e) (e)
同理，两个坐标系下的杆端力之间的转单标换元转关(换e)系矩的阵坐 为：
(e)
F
=
⎧F i ⎫(e) ⎨⎬ ⎩F j ⎭
⎢⎣ 0 0 1⎥⎦
⎡ 0.6 0.8 0
⎤
⎢⎢− 0.8 0.6 0
0
⎥ ⎥
T(1)
=
⎢ ⎢
0
01
⎥
0.6 0.8 0⎥
⎢
⎥
⎢0
− 0.8 0.6 0⎥
⎢⎣
0 0 1⎥⎦
3x
2 x1
4 3x
4m
1
3m
2
5m
①单元结构坐标下的单元刚度矩阵为： 23
k(1)
=
T
(
1
)T
k
(
1
)
T
(1
)
⎡0.6 −0.8 0
表示
k (e)
中第 l 行、第m列的元素；
即：第m号杆端位移分量为1时引起的第l号杆
端力。
例：
k (e) 25
代表当第5号杆端位移 δ5 = v j = 1 时引起的 第2号杆端力。
即第 i 端的竖向力 。
k (e) 25
=
F2
= Yi
单元刚度系数的意义
14
k (e) 25
j
δ5 = v j = 1
6EI = 8.1×104 kN l2
4EI = 21.6 ×104 kN ⋅ m l
⎡ 180 0 0 −180 0 0 ⎤
⎢ ⎢
0
4.05 8.1
0
−4.05
8.1
⎥ ⎥
(3)
k
=104
⎢0 ⎢⎢−180
8.1 0
4m
21.6 0
⎢ 0 −4.05 −8.1
0 3 −8x.1
2
18x 0 1 0
⎥
−
6EI ⎥ 3l 2 x⎥
− 6EI l2
4EI ⎥ l 2 ⎥⎦
① 、 ②单元长度 l = 5m ， EA = 144 ×104 kN/m
l
20
12EI = 2.0736 ×104 kN/m l3
2EI = 8.64 ×104 kN ⋅ m l
6EI = 5.184 ×104 kN l2
17.28 0
0 3−5.x184 144 0 2
8.644
⎥ ⎥
0⎥
⎢0
−2.0736 −5.184
4m
x
0
1
2.0736
−35.18x 4⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 0 5.184 8.64 0 −5.184 17.28⎥⎦
1
2
3m
5m
③单元 θ (3) = 90D cos θ (3) = 0 sin θ (3) = 1 25
⎢ ⎣
0
0
s
cБайду номын сангаас
⎥ ⎦
⎢ ⎣
0
00
0
⎥ ⎦
⎢ ⎣
0
0
−s
c
⎥ ⎦
l
==3E×21Al05⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−cc11ccs112s2
1 cs−1
1 s2 −1
−−1 cs1
−−1
s
2
1
−−cc−−cc11s211s2⎥⎥⎥⎥⎦⎤kN−−cs/cssm2s2 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
3
4
x
2
x
1
1
2
0 ⎤(e)
0
⎥ ⎥
sinθ ⎥
cosθ
⎥ ⎦
等截面梁单元的结构坐标系与局部坐标系一 致，故无坐标变换问题。
二.单元刚度矩阵的坐标变换 9
平面杆单元在局部坐标系中的刚度方程为：
将式
(e)
F
=
(e)
k
(e)
δ
(e)
F
= T (e)F (e)
(e)
δ
= T δ (e) (e)
k = T k T T −1 T(e(e)) F (e) =(eT)T−1k ((ee))T (e()eδ) (e)
⎢
⎥
⎢⎣
0
0 1⎥⎦
t 和 T 均是正交矩阵，因此
t −1 = t T T −1 = T T
8
对于平面桁架来说，单元的坐标转换矩阵为
T
(e)
=
⎡t ⎢⎣0
⎡ cosθ sinθ 0
0 t
⎤ ⎥ ⎦
(e) 连= ⎢⎢−续si梁nθ 单co元sθ 需要0 进行⎢⎢⎣ 坐00 标转00 换吗−csoi？snθθ
=0
t
δ(e) i
5
同理，杆端 j 局部坐标下的位移分量转换 关系式如下：
t (e)
δj
=
⎪⎪⎨⎧δδδ(j54e)⎪⎪⎬⎫
⎪⎪⎩δ
6
⎪ ⎪⎭
=
⎡ cosθ ⎢⎢− sinθ ⎢⎣ 0
sinθ cosθ
0
0⎤ 0⎥⎥ 1⎥⎦
⎪⎨⎧δδδ(j54e)⎪⎬⎫
⎪⎩δ6
⎪ ⎭
=
t
δ (e) j
杆端位移、杆端力的坐标变换 6
2.0736
8.644 ⎥ ⎥
−53.018x 4⎥⎥
⎢ ⎢⎣ 0