一、单摆——数学摆 1、概念
单摆是一个理想化的振动系 统：它是由一根无弹性的轻 绳挂一个质点构成的。 摆锤——重物 摆线——细绳 平衡位置——O点
把质点从平衡位置略为移开， 质点就在重力的作用下，在 竖直平面内来回摆动。
2、运动方程
x mg F mg sin mg mg x l l
2、势能的时间平均值
T
1 1 2 1 2 1 2 2 2 E p＝ kA cos t dt kA mA T02 4 4
结论
简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相 等，它们都等于总能量的一半。
T
三、应用
2 d 忽略阻力，机械能守恒，作简谐运动的 m v x k xv 0 系统只有动能和势能，有 dt 2
d Ek E p 0 dt
将具体问题中的动能与势能表达式代入 上式，可得到简谐运动的微分方程及振 动周期和频率。 例题、用机械能守恒定律求弹簧振子的 运动方程。 解：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒 1 1 1 mv 2 kx2 kA2 C 2 2 2 两边对时间求导，得


d2x k x0 2 dt m
二、复摆——物理摆 1、概念 2、运动方程
M＝－mgl sin －mgl 2 d 转动定律 －mgl＝J＝J dt 2
重力矩
3、周期与频率
mgl J
2
d 2 2 ＋ ＝0 2 dt
J T＝2 mgl
4、应用
•测重力加速度 •测转动惯量
mgl J
14－5 简谐运动的能量
v0 A＝ x v0 tg x0
2 0
2
14－4 单摆与复摆
实际发生的振动比较复杂；例如 •回复力不一定是弹性力——而是重力，浮力等其它性 质的力； •合外力可能是非线性力——只有在一定的条件下，才 能近似当作线性回复力。 研究问题的一般方法： 根据问题的性质，突出主要因素，建立合理的物理模 型，使计算简化Байду номын сангаас 本节讨论两个实际振动问题的近似处理：单摆与复摆。
1 1 2 2 2 2 E＝E k＋E p mA sin t ＋ kA cos2 t 2 2
弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比
二、能量平均值
1、动能的时间平均值
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 Ek mA sin t dt mA kA T02 4 4
大学物理学电子教案
单摆和复摆、简谐运动的能量
14-4 单摆与复摆 14-5 简谐运动的能量
复习 简谐运动
f －kx
a 2 x
振幅A
x A cos( t )
2
1 ＝ T 2
k ＝ m
2
周期与频率
T
相位 旋转矢量

2 2 T
t

一、简谐运动的能量
以弹簧振子为例
k
m
x
v A sint
系统动能 系统势能
x A cost
o
X
1 1 2 2 2 E＝ mA ＝ kA 2 2
系统的总能量
1 1 2 E k mv mA2 2 sin2 t 2 2 1 2 1 2 2 E p kx ＝ kA cos t 2 2
P39 22，25，26，27
习：
14-6，14-7
令
k ＝ m
2
d2x 2 x0 2 dt
1 dv 1 dx m 2v k 2x 0 2 dt 2 dt
x A cost
小
单摆和复摆 简谐运动的能量
结
1 1 2 2 2 E＝ mA ＝ kA 2 2
作业：
思考题：
P36 10，11，14，15
习
预
题：
单摆的圆频率
k g m l
2

振动方程
x x0 cost
T＝2 l g
1 1 ＝ T 2 g l
g l

f
周期
频率 3、说明：
mg
•单摆的合外力与弹性力类似，称为准弹性力 •单摆的周期与质量无关 •单摆提供了一种测量重力加速度的方法 •单摆可以当作计时器