假设
1）总人数N不变，病人和健康
人的 比例分别为 i(t),s(t)
AIDS等
2）每个病人每天有效接触人数 ~ 日
为, 且使接触的健康人致病
接触率
建模 N [ i( t t) i( t) [ ]s ( t)N ] ( t) ti
di si
dt
s(t)i(t)1
di dt
i (1 i )
5.1 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防控制传染病蔓延
三类人
已感染者(Infective, 病人) 未感染者(Susceptible，易感染者) 移出者(Removed，治愈免疫，隔离，死亡等)
短期预测模型
Malthus模 已感染人数 (病人) i(t) 型 假设 • 每个病人每天有效接触
,
(日接触率) 卫生水平
(日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
提高 r0>1-1/
s0i0r01
的估计
s0 i0 s1lnss 0 0 忽略i0
群体免疫
lns0 lns
s0 s
疫情实证分析(Kermack, P143图)
1904—1905年，孟买及西北部各省和旁遮普邦发生瘟 疫，平均每周死亡1.8万人 。 r-孟买死亡人数。
微分方程模型
引言 5.1 传染病模型 5.4 药物在体内的分布与排除（房室模型） 5.6 人口预测和控制
May. 05, 2003
• a disease that has rocked Asian markets, ruined the tourist trade of an entire region, nearly bankrupted airlines and spread panic through some of the world's largest countries.
di
dt
si i
ds
dt
si
i(0 ) i0 , s (0 ) s0
R0=λS/=S表示平均每 个病人总传播人数。 R0<1, 传染病不蔓延
无法求出 i(t),s(t)
的解析解！！！
在相平面 s~i 上
i0s01(通r常 (0)r0很小研） 究解的性质
SIR模型
di
SIS模型
di/dt
dii(1i)i /
dt
i
dii[i(11)]
dt
i
>1
i0
>1
1
1-1/
i0 di/dt < 0
0
1-1/ 1 i
i0
0
i()
1
1
,
1
0,
1
t0
t
接触数 =1 ~ 阈值
1i()
i0小
1
i(t)按S形曲线增长感人染数期不内超过有病效人接数触感染的
思考：Logistic模型 (SI模型)如何看作SIS模型的特例？
有治愈有免疫模型Susceptible Infective Removed
SIR模型 传染病有免疫性——病人治愈
后即移出感染系统，称移出者
肝炎、 SARS等
假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移
出者的比例分别为 i(t),s(t),r(t)
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = /
建模 s(t) i(t) r(t) 1
需建立 i(t),s(t),r(t)的两个方程
SIR模型
思考：r(t)的方程？
N [ i ( t t ) i ( t ) ] N ( t ) i ( t ) s t N ( t ) ti
N [ s ( t t) s ( t) ] N ( t) i ( t s ) t
所有人被感染?
有治愈无免疫模型Susceptible Infective Susceptible
SIS模型 传染病无免疫性——病人治愈成
为健康人，健康人可再次被感染
伤风、 痢疾等
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模 N [ i ( t t ) i ( t ) ] N ( t ) i ( t ) s t N ( t ) t
(足以使人致病)人数为
建模 i(t t) i(t)i(t) t
di i dt i(0 ) i0
i(t)i0et
t i ?
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)
Logistic模型（SI模型）
区分已感染者(infective)和未感染者(易感染者susceptible)
的图形，进行分析
D 0
s
1
SIR模型
相轨线 i ( s ) 及其分析
di
dt
si
i
ds
dt
si
di
ds
1 1
s
i
s s0
i0
i
1
i(s)(s0i0)s1lnss0
D
i(0 ) i0 , s (0 ) s0
P4
s(t)单调减相轨线的方向 im
s1/,iim t ,i 0(反 证 )
di dt
i(1 i)
i
i(0) i0
~ 日接触率 1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的有 效接触人数，称为接触数。
SIS的解析解
试试看：解析解怎样求？
i(t)
i0
i0 (1 (e( )t
)e()t
1) (1
)
i0
i0t 1
dsolve('Dy=lemda*y*(1-y)-mu*y','y(0)=i0','t')
P2
P1
P3
s 满s足 0i0s1lnss 0 0 0 s S0 1/ s0
1s
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/ i(t)单调降至0
传染病蔓延 1/ ~ 传染病不蔓延 阈值
SIR模型
预防传染病蔓延的手段
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
i ( 0 )
i 0
感染无治愈模型
Logistic模型
di
dt
i (1 i )
Logistic 模型
i 1
i ( 0 ) i0
i(t)
1
1/2
1
1 i0
1et
i0
0
tm
t=tm, di/dt 最大
t
tm1lni10 1时， i1 2
tm~传染病高潮到来时刻 t i 1?
(日接触率) tm
dt
si
i
ds
dt
si
消去dt
/
di
ds
1 1
s
i
s s 0
i 0
相轨线(有解析解)
i(0 ) i0 , s (0 ) s0
相轨线 i ( s ) 的定义域
i(s)(s0i0)s1lnss0
i
D { s ,i( )s 0 ,i 0 ,s i 1 } 1
在D内作相轨线 i ( s )