第六章 地球重力场模型随着空间技术的进步和发展，现在不但有可能根据卫星轨道根数的变化精确地确定地球动力形状因子2J ，而且有可能结合卫星测高仪、卫星追踪卫星技术、卫星重力梯度仪等空间技术的测量结果以及地面重力测量结果计算出地球大地位球函数展开的高阶项系数。

以一组数值球函数展开系数表示的地球大地位称为地球重力场模型，地球重力场模型一方面支持卫星轨道的精确计算，另一方面可以给出地面上的长波重力异常场，为研究地球内部结构及其动力学过程提供重要的地面约束条件。

6.1 大地位的球函数展开现将第二章已经讨论过的大地位球函数展开中的有关公式汇总如下。

用r 表示地球外部空间任一点P 的径矢，则根据（2.2.18）式，地球在P 点的大地位球函数展开表示为其中kM 为地球的地心引力常数，a 为地球的赤道半径，θ、λ分别为P 点的地心余纬和经度，(cos )mn P θ为cos θ的n 阶m 次伴随勒让德多项式，(cos )cos mn P m θλ、(cos )sin mn P m θλ为归一化的n 阶m 次球面函数，根据（2.2-1.3）式、（2.2-1.6）式和（2.2-1.8）式，()n P x 、()n P x 、()mn P x 、()mn P x 分别为m n c 、m n s 和mn c 、mn s 分别为大地位球函数展开系数和规一化的大地位球函数展开系数，根据（2.2.20）式，有根据（2.3.4）式、（2.3.5）式，大地位二阶球函数展开系数等于其中A 、B 、C 分别为地球绕1Ox 、2Ox 和其旋转轴3Ox 轴的转动惯量，12I 、23I 、13I 分别为地球绕相应轴的惯性积，大地位球函数展开有时写成下面的形式nm J 、nm K 与大地位球函数展开系数m n c 、m n s 之间的关系为2J 称为地球的动力形状因子。

当3n 时，()n P x 、()mn P x 的表达式如表6.1.1所示。

6.2 卫星的正常轨道卫星在地球的引力场内运动，大地位球函数展开系数中零阶项系数为1，其次为2J，它约为10-3，其他系数mnc、m n s约为10-6或更小，因而卫星的轨道运动主要受大地位球函数展开中的零阶项控制。

大地位球函数展开零阶项控制的卫星轨道称为卫星的正常轨道，大地位球函数展开高阶项系数对卫星的正常轨道产生扰动。

1.卫星的正常轨道运动卫星在大地位零阶项控制下的轨道运动称为卫星的正常轨道。

卫星较地球而言，其质量可以略而不计，卫星在大地位球函数展开零阶项作用下的运动力程为其中r为卫星的径矢，kM为地球的引力常数。

考虑到根据（6.2.1）式，对卫星有得c是常矢量。

（6.2.2）式表明，卫星的轨道位于过地心且与c垂直的平面内。

如图6.2.1所示，在卫星轨道平面内选取平面直角坐标系12Oq q，原点选在地球的质心，r为卫星对地心的径矢，在r、 极坐标系内，卫星的加速度表达式为根据上式和（6.2.1）式，卫星的运动方程为方程（6.2.5）式给出其中h为积分常数。

卫星相对地球质心的径矢r扫过的面积速度为（6.2.7）式表明，卫星相对地球质心的径矢r在单位时间内扫过的面积相等，等于12h。

引入变量u，令则有根据（6.2.6）式，有将其代入上式，得根据（6.2.10）式、（6.2.9）式，有得将（6.2.11）式、（6.2.6）式中的22d rdt、ddt的表达式代入（6.2.4）式，化简得二阶常微分方程（6.2.12）式的解为其中，B为二阶常微分方程（6.2.12）的积分常数。

将卫星的轨道方程（6.2.13）式与椭圆的极坐标方程（6.2-1.4）式进行对比，可以看出卫星的轨道为一椭圆，其中根据（6.2.16）式，可以求出卫星对地心的径矢扫过的面积速度：考虑到椭圆的面积等于22(1)ss a e π-，因而卫星绕地球质心的周期为用s ω表示卫星轨道运动的角频率，根据上式有（6.2.17）式表明，卫星周期运动的角频率平方与其半长轴立方的乘积等于地心引力常数kM 。

（6.2.13）、（6.2.7）、（6.2.17）式表明，在大地位球函数展开零阶项控制下的卫星的正常轨道运动满足行星绕太阳运动的开普勒定律，即（1）卫星的正常轨道为一椭圆，地心位于椭圆的一个焦点上；（2）卫星至地心的径矢在相同的时间内扫过的面积相等，它的面积速度等于21(1)2s s kMa e -； （3）卫星周期运动的角频率的平方与其轨道长半轴立方的乘积等于地心引力常数kM 。

2.卫星的开普勒运动方程卫星轨道的长半轴s a 及其偏心率s e 决定了卫星轨道的几何形状，为了确定卫星S 在任意时间在其轨道上的位置，需要知道它的运动方程。

如图6.2.1所示，O 为地球的质心，'O 为卫星轨道的中心，E 表示卫星S 的偏近点角，它等于''O S 与卫星轨道长半轴'O A 之间的夹角，'S S 垂直于'O A ，'AS B 为中心为'O 、半径为s a 的圆周，''''A S B 为中心为'O 、半径为卫星轨道短半轴b 的圆，根据椭圆的性质，''SS 平行与OA 。

从图6.2.1中可以看出，卫星S 在直角坐标系12Oq q 的两个直角坐标1q 、2q 为其中，ν表示卫星的真近点角，从上式可以得出卫星的偏近点角E 及其真近点角的关系：同时可以求出以偏近点角E 为变量的卫星的轨道方程，它为根据（6.2.18）、（6.2.20）式，有根据卫星的运动方程（6.2.13）式，并顾及到有对比（6.2.21）、（6.2.22）式，得根据（6.2.16）、（6.2.17）式，可以求出卫星绕地球周期运动的角频率s ω表示的h ：将上式以及（6.2.20）式代入（6.2.23）式，化简得积分（6.2.24）式，得出以偏近点角E 表示的卫星运动的开普勒方程：此处，0t 为卫星过近地点的时间，M 为平近地点角。

这样，只要给定卫星正常轨道的形状（轨道的长半轴s a 、偏心率s e ）和卫星过近地点的时间0t ，则根据（6.2.17）式可求出卫星绕地心周期运动的角频率s ω，然后根据（6.2.19）、（6.2.20）、（6.2.25）式，求出卫星t 时在其正常轨道上的位置，即它至地心的距离r 和真近点角ν。

3.卫星轨道根数s a 、s e 、ν这三个参数只是给定了卫星正常轨道的形状及卫星在其轨道上的位置，为了确定卫星轨道平面在空间的位置，还需要知道卫星轨道平面在地心天球上的定向。

通常给出卫星轨道平面与天赤道的交点的N （卫星轨道的升交点）的赤经Ω、它与天赤道的交角i 以及卫星近地点至N 的角距离ω。

如图6.2.2所示，决定卫星在其轨道上位置的六个参数s a 、s e 、Ω、i 、ω和0t 称为卫星轨道根数，它们分别是：解释6.2-1 椭圆的极坐标方程将直角坐标系12Ox x 的原点置于椭圆的中心，则椭圆的方程为如图6.2-1.1所示，将极坐标系的原点椭圆的焦点上，则有其中，e 为椭圆的偏心率。

根据（6.2-1.2）式，有而根据（6.2-1.1）式，有将上式代入（6.2-1.3）式，化简得将（6.2-1.2）式中的1x 表达式代入上式，化简，得出椭圆的极坐标方程：6.3 地球动力形状因子J对卫星升交点赤经的影响2J最大，约为大地位球函数展开中，零阶项的系数等于1，除零阶项外，二阶项系数210-3，大地位二阶项将使卫星轨道平面在地心天球上的位置发生变化，其升交点沿着天赤道向西后退。

为了简化计算，把卫星轨道视为一个半径为r的圆环，卫星绕地心的圆周运动可以看成角速度为ω、半径为r的缸体圆环绕地心的转动；刚体圆环的线密度μ，旋转角速度分别为其中m为卫星的质量，kM为地球的地心引力常数。

如图6.3.1所示，根据（6.1.10）式，大地位球函数展开的二阶项δ为卫星的赤纬，则二阶项对卫星刚体圆环S处的线元rdμβ相对地球质心产生的力矩元dL等于此力矩元是一矢量，它垂直于过S处的赤经圈并位于赤道平面内，如图6.3.2所示，它在ON、ON方向上的投影分别为'α为S处的赤经。

将（6.3.3）式代入以上两式，并对β积分，得出作用在整个刚体卫星圆ON方向上的力矩，它们分别为环上沿ON、'在图6.3.1中的球面直角三角形SNA中，有又有将（6.3.7）式、（6.3.8）式分别代入（6.3.4）式和（6.3.5）式，得L作用下的运动方程为质量为m、半径为r的刚体卫星圆环在力矩Ne为ON方向的单位矢量，G为卫星圆环的动量矩，即其中Nω为卫星圆环的旋转角速度，e为ω的单位矢量。

因为ω⋅Ω为ON绕天轴的旋转角速度。

将（6.3.13）式代入（6.3.11）式，得考虑到将其代入（6.3.14）式，化简得（6.3.15）式表明，在大地位二阶项产生的力矩作用下，卫星轨道平面升交点N的赤经Ω的J成正比，即N沿天赤道向西运动。

对平均运动速度为负值，其大小与地球动力形状因子2近地面地球卫星而言，地球的赤道半径a与卫星轨道平均半径r的比值等于1，当卫星轨道J约为10-3，卫平面的倾角为45°时，从（6.3.15）式可以看出，考虑到地球动力形状因子2星旋转一圈后，卫星轨道平面升交点的赤经Ω约减小0.4°。

6.4 大地位球函数展开高阶项系数对卫星的影响大地位球函数展开系数只与地球内部的密度分布和地球的形状有关，对全球质心坐标系而言。

归一化大地位的0阶项系数等于1，一阶项系数为地球质心坐标，三个一阶项系数都等0，二阶球带函数系数约等于10-3，其他高阶项系数约为10-6量级或更小。

如（6.1.1）式所示，大地位对卫星的作用，一方面决定于大地位球函数展开系数的大小，另外一方面还与卫星至地心的距离有关，卫星离地心越远高阶项在大地位中所占的比重越小。

大地位的零阶项决定了卫星的正常轨道，根据卫星发射时给定的初始条件，假如不考虑大地位高阶项以及其他因素的影响，描述卫星正常轨道的六个轨道根数将不随时间变化，用r表示正常轨道上的卫星的径矢，则有对给定时间t，根据卫星轨道根数和卫星的开普勒方程（6.2.25）式，可以计算出卫星的径r。

矢r表示卫星的径矢，有用s卫星的运动方程（6.4.2）式的解为其中(1,2,,6)i c i =为卫星轨道根数的修正量，,m mn n c s 为大地位球函数展开系数，（6.5.3）式表明，若知道大地位球函数展开系数，可以根据该式计算出任意时间卫星相对地球的位置，即它的径矢s r 。

用p r 表示地面上的观测点相对地心的径矢，有其中s 为卫星相对地面点的位置，它由卫星至地面点的距离和卫星的赤经和赤纬给出，s 是可观测的物理量。