例3 用更相减损术求80与36的最大公 约数.
例4 求325，130，270三个数的最大公约数.
因为325=130×2+65，130=65×2，所以325与130 的最大公约数是65.
因为270=65×4+10，65=10×6+5，10=5×2，所 以65与270最大公约数是5. 故325，130，270三个数的最大公约数是5.
第三步，输入i次项的系数ai.
第四步，v=vx+ai，i=i-1.
第五步，判断i≥0是否成立.若是，则返回第三 步；否则，输出多项式的值v.
开始
程序框图
输入n、an、x的值
v=an i=n-1 i=i-1 v=vx+ai
讨论：请参照程 序框图，写出该算法 程序.
输入ai i≥0？ 否 是 输出v 结束
思考3：注意到8251=6105×1+2146，那么8251 与6105这两个数的公约数和6105与2146的公约数有 什么关系？
我们发现6105=2146×2+1813，同理，6105与 2146的公约数和2146与1813的公约数相等. 思考4：重复上述操作，你能得到8251与6105这 两个数的最大公约数吗？ 8251=6105×1+2146， 1813=333×5+148， 6105=2146×2+1813， 333=148×2+37， 2146=1813×1+333， 148=37×4+0. 定义:所谓的辗转相除法,就是对于给定的两个数, 用较大的数除以较小的数,若余数不为零,则将余数 和较小的数构成新的数对,继续上面的除法, 直到大数 被小数除尽,则这是较小的数就是原来两个数的最大公约数
例1：用更相减损术求98与63的最大公约数. 因为63不是偶数，所以
98-63=35， 63-35=28， 35-28=7，
28-7=21，
21-7=14， 14-7=7.
所以最大公约数是7.
例2 分别用辗转相除法和更相减损术求168与93 的最大公约数. 辗转相除法：
168=93×1+75， 93=75×1+18， 75=18×4+3， 18=3×6. 更相减损术: 168-93=75， 93-75=18， 75-18=57， 57-18=39， 39-18=21， 21-18=3， 18-3=15， 15-3=12， 12-3=9， 9-3=6， 6-3=3.
练习:用更相减损术求两个正整数m，n的最大公 约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤 如何设计？
第一步，给定两个正整数m，n(m>n). 第二步，计算m-n所得的差k. 第三步，比较n与k的大小，其中大者用m表示， 小者用n表示. 第四步，若m=n，则m，n的最大公约数等于m； 否则，返回第二步. 讨论:该算法的程序框图如何表示？
思考4：辗转相除直到何时结束？ 主要运用的是哪种算法结构？
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤， 这实际上是一个循环结构 辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下： ① 输入两个正整数m和n； ② 求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中； ③更新被除数和余数：m=n，n=r。 ④判断余数r是否为0：若余数为0则输出结果，否则转 向第②步继续循环执行。 如此循环，直到得到结果。
=((anxn-2+an-1xn-3+„+a2)x+a1)x+a0
= „ =(„((anx+an-1)x+an-2)x+„+a1)x+a0. 这就是我国南宋时期数学家秦九韶在他的著作 《数书九章》中提出的算法.
思考4:对于f(x)=(„((anx+an-1)x+ an-2)x+„+a1)x+a0，
（1）（18，30）6； （2）（24，16） 8； （3）（63，63） （4）（72，8） 8； 63； 7； （5）（301，133 ） 想一想，如何求8251与6105的最大公约数？
思考2:对于8251与6105这两个数，它们的最大 公约数是多少？你是怎样得到的？
由于它们公有的质因数较大，利用上述方法求 最大公约数就比较困难.有没有其它的方法可以较简 单的找出它们的最大公约数呢？
思考2:另一种做法是先计算x2的值，然后依 次计算x2·x，(x2·x)·x，((x2·x)·x)·x的 值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这 时一共做了：
4次乘法运算，5次加法运算.
思考3:有没有更有效的算法呢？利用后一种算 法求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+„+a1x+a0的值，这 个多项式应写成哪种形式？ f(x)=anxn+an-1xn-1+„+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+„+a2x+a1)x+a0
1.3
算法案例
1.3
算法案例
1.3.1 辗转相除法和更相减损术 1.3.2 秦九韶算法 1.3.3 K进制化十进制
1.3.4 十进制化K进制
1.3.1 辗转相除法 和更相减损术
复习 1.研究一个实际问题的算法，主要从哪几方面展开？
算法步骤、程序框图和编写程序三方面展开.
2.在程序框图中算法的基本逻辑结构有哪几种？ 顺序结构、条件结构、循环结构 3.在程序设计中基本的算法语句有哪几种？ 输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句
思考5:你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？ 第一步，给定两个正整数m，n(m>n). 第二步，计算m除以n所得的余数r. 第三步，m=n，n=r. 第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m； 否则，返回第二步.
开始
程序框图 INPUT m，n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL PRINT m END 输入m，n 求m除以n的余数r m=n
由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？ 第一步，计算v1=anx+an-1. 第二步，计算v2=v1x+an-2. 第三步，计算v3=v2x+an-3. … 第n步，计算vn=vn-1x+a0. 上述方法称为秦九韶算法.
思考5:在秦九韶算法中，记v0=an，那么第k步的 算式是什么？
vk=vk-1x+an-k (k=1，2，„，n)
INPUT “n=”；n INPUT “an=”；a INPUT “x=”；x v=a i=n-1 WHILE i>=0 PRINT “i=”；i INPUT “ai=”；a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END
开始 输入n、an、x的值
v=an i=n-1 i=i-1 v=vx+ai 输入ai i≥0？ 否 是 输出v 结束
PRINT END m
小结
1、辗转相除法.
2、更相减损术.
布置作业：
P45练习：1. P48习题1.3A组：1.
1.3.2
秦九韶算法
复习 1、什么是辗转相除法和更相减损术？
2、辗转相除法和更相减损术，是求两个正整 数的最大公约数的优秀算法，我们将算法转化为 程序后，就可以由计算机来执行运算，实现了古 代数学与现代信息技术的完美结合.
1.3.3 K进制化十进制
复习
1.简述辗转相除法和更相减损术的用途及内容.
2、秦九韶算法的用途及内容.
将这些算法转化为程序，就可以由计算机来完 成相关运算.
进位制的概念 进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系 统. 约定满二进一，就是二进制；
例1 已知一个5次多项式为
f x 4x 5 2x 4 3.5x 3 2.6x 2 1.7 x 0.8
用秦九韶算法求f(5)的值. 解：f(x)=((((4x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8.
v1=4×5+2=22； v2=22×5+3.5=113.5； v3=113.5×5-2.6=564.9； v4=564.9×5+1.7=2826.2； v5=2826.2×5-0.8=14130.2. 所以f(5)= =14130.2.
开始 输入m，n m≠n？ 是 k=m-n n>k？ 是 m=n n=k 否
m=k
否
输出m 结束 讨论:该程 序框图对应的程 序如何表述？
开始
输入m，n m≠n？ 是 k=m-n
n>k？ 是 m=n n=k 否
m=k
否
输出m 结束
INPUT m，n WHILE m≠n k=m-n IF n>k THEN m=n n=k ELSE m=k END IF WEND
练习：用辗转相除法求下列两数的最大公约数： （1）（225，135） 45 （2）（98，196） 98 24 （3）（72，168） （4）（153，119） 17
二、更相减损术 《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的 “更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数， 即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数， 以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.” 意思是： 第一步：任意给定两个正整数，判断它们是否 都是偶数. 若是，用2约简；若不是，执行第二步. 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把差 与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作， 直到所得的数相等为止，则这个等数或这个数与约 简的数的乘积就是所求的最大公约数.
练习：阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么？
INPUT “x=”；a n=0 y=0 WHLE n<5 y=y+(n+1)*a∧n n=n+1 WEND PRINT y END