平面曲线仍与外力共面。
目录
§4-2 受弯杆件的简化
计算简图：
分析梁的内力、变形都在计算简图上进行。梁的简化包括：
1、构件几何形状的简化 将梁简化为杆，用轴线表示。
2、支座的简化 活动铰支座
固定铰支座
固定端
3、载荷的简化
集中载荷 分布载荷（常见的为均布载荷） 集中力偶
目录
工程实例——受弯构件的力学简图
P
( a< x2 < l )
ab l 2
1 Mmax 4 Pl
观察：集中力作用点、无载荷
M
( x2
)
FB
(l
x2 )
a l
P(l
x2 )
3)作Fs、M 图
( a ≤x2≤ l )
作用的梁段剪力图、弯矩图的形态
Fs
max
a l
1 qa 2
M1
—
右侧
qa
a 2
＋FB0
Fs2 左侧
＋FA
—
qa ＋ FB
qa
Fs2 qa
M2 — qa a 1 qa2
右侧
右侧
22
Fs P横向外力 左上、右下，外力为正
一侧
力的集大中小力；作弯用矩点相的等左。、右所邻以M截，O＝面不为一上截考侧面的m虑的剪O集形(力中P心不力) 相作左等用外顺，力点右(相逆的偶差(剪上) 矩集凹力为弯中。正曲)
车削工件
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
火车轮轴
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
目录
常见受弯构件的横截 面都有竖直对称轴 y
纵向对称面：
轴线x 和竖直对称 轴y 所确定的平面。
y
y
y
y
x y
x y
x y
x y
§4-1 弯曲的概念和实例
平面弯曲
对称弯曲 平面弯曲: 弯曲变形后的轴线为平面曲线, 且该
第四章 弯曲内力
❖ §4-1 ❖ §4-2 ❖ §4-3 ❖ §4-4
❖ §4-5 ❖ §4-6
弯曲的概念和实例 受弯杆件的简化 剪力和弯矩 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 平面曲杆的弯曲内力
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
起重机大梁
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
例：求1、2、3、4、5各截面的内力。
m=qa2
q
解： （1）求反力
A 5 3 4 B1 2
C
FA
1 2
qa
3 FB 2 qa
FA a
a FB a
（2）求内力
Fs1左 侧 ＋
FA — qa
1 qa 2
M1 ＋ 左侧
FA2a
—
qa2—
qa
a 2
1 qa2 2
Fs1 ＋qa 右侧
— FB
目录
剪力、弯矩的简便计算：
m
Fs M
M Fs
Pm
O P 考虑截面一侧平衡 假想固定截面
O 使所讨论梁段的变形：
Fy 0
Fs P横向外力 一侧
左上、右下 外力P为正
与力偶无关
mOF 0
O为所讨论截面的形心
M＝ mO ( P ) 一侧
上凹弯曲 的外力（偶）矩为正
（梁纵向 下拉、上压）
左顺、右逆，外力(偶)矩为正。（梁段向上弯）
1 ql
( 0 ≤x ≤ l )
2
3)作Fs、M 图
x
M极值
1 2
ql
l 2
q
l 2
l 2
1 8
ql 2
观察：均布载荷作用的梁段剪力图、弯矩图的形态， Fs
max
1 2
ql
剪力为零截面弯矩图的形态。
M 1 ql2 max 8
例 在图示简支梁AB的C点处作用一集中力P，作该梁的Fs、M 图。
A
a
P
P
P
P
P
工程实例——受弯构件的力学简图
工程实例——受弯构件的力学简图
工程中常见的梁
按力学观点
静定梁 超静定梁
主要讨论
FAx
简支梁
FAy
FBy
静定梁 按支座情况 外伸梁 FAx
FAy
FBy
FAx
悬臂梁
MA
FAy
§4-3 剪力和弯矩
M FN
FAy
FS
M FN
FS
Fx 0
Fy 0 Mc 0
FN 0 FS FAy F1 M FAy x F1(x a)
FS剪力是平行于 横截面的内力合力
M 弯矩是垂直于 横截面的内力系的 合力偶矩 FBy
目录
§4-3 剪力和弯矩
M FN
M FN
FAy
FS
FS
FBy
截面上的剪力使所选梁
段有顺时针旋转趋势时，剪 力为正；反之为负。
+
_
左上右下为正；反之为负
截面上的弯矩
使得梁呈上凹形为 正；反之为负。
+
_
左顺右逆为正；反之为负
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
梁横截面上的剪力、弯矩随着截面的位置而变化。 沿梁轴线建立 x 轴 ，用 x 表示横截面的位置，则各横截 面上的剪力、弯矩可以表示为坐标的函数：
Fs Fs x M Mx
剪力图、弯矩图
习惯上称为剪力方程与弯矩方程。
表示剪力与弯矩沿梁轴变化的曲线称为剪力图、弯矩图。
例：求1、2、3、4、5各截面的内力。
m=qa2
q
（1）求反力
A 5 3 4 B1 2 6 C
FA
1 2
qa
YA a
a YB a
（2）求内力
3 FB 2 qa
解：
Fs3 ＋ 左侧
FA
1 qa 2
M3 ＋ 左侧
FAa
1 qa2 2
Fs4 左侧
＋FA
1 2
qa
M4左侧＋FAa
—
qa2
1 2
qa2
集中力偶作用点的左、右邻截面上的弯矩不相等，相差力
偶矩的大小；剪力相等。所以F，s 不考虑P横集向中外力力偶左作上用右点下的错动弯外矩力。为正
杆端
Fs5 左侧
＋FA
1 2
一侧
qMa＝ mO
(
P
)Fs6右 侧
+上q凹弯曲＝0
M5左侧FA＝0
O为一截侧面0的形心M6
外力-q(偶
右侧
)矩/为2 正＝0
例 作图示悬臂梁AB1）列剪力、弯矩方程
A
x
B
l
(即求出任意截面的内力)
Fs
Fs ( x ) P ( 0 < x < l )
x
M( x) Px ( 0 ≤x < l )
P
（2）画剪力、弯矩图
M
x
Fs max P
M Pl max
Pl
观察：无载荷作用的梁段剪力图、弯矩图的形态。
例 图示简支梁受均布载荷q 的作用，作该梁的Fs、M 图。
q
A x
FA
l
1 ql
Fs 2
B
解：
x
1)求反力 由对称性知：FA FB
2)列剪力、弯矩方程
1 2
ql
建立坐标轴 x
FB
Fs (
x
)
1 2
ql
qx
(0<x<l)
x
M ( x) 11qql lxx q1xqxx2
22
22
M
1 ql2 8
b
解：1)求支反力
Bx
b FA l P
a FB l P
x1
C
x2
FA
l
Fs
bP
l
2)列剪力、弯矩方程
FB AC段：
建立坐标轴 x
x
Fs (x1)
FA
b l
P
( 0 < x1 < a )
M
( x1 )
FA x
b l
Px
( 0 ≤x1 ≤ a)
ab P
a P CB段：
M
l
l
x
Fs (x2 )
FB
a l