函数导数公式及证明函数类型常量函数幂函数指数函数对数函数三角函数原函数f (x) C ，C为常量f (x)x af (x)x mf (x)a xf (x)e xf ( x)log a xf (x) ln xf (x)sin xf (x)cosx求导公式f ' ( x)0( x a )'ax a 1( x a )( n)a(a 1)...(a n1)x a n( a 0,1,2..., n1)( x m )( n) m! x m n, (n m)(m n)!( a x )' a xln a( a x )( n) a x ln n a , (0 a 1)(e x )'e x(e x )(n ) e x(log a x)' 1x ln a(log a x)(n ) ( 1)n 1 (n 1)! ,(0 a 1)x n ln a(ln x)' 1x(ln x) (n ) ( 1)n 1 (n 1)!x n(sin x)' cosx(sin x)( n) sin(x n )2(cosx)' sin x反三角函数双曲函数反双曲函数f (x)tan xf (x)cot xf (x) arcsinxf (x)arccosxf (x) arctanxf (x)arccot xf ( x)sinh xf ( x) coshxf (x)tanh xf ( x)coth xf (x)arsinh xf (x) arcoshxf (x)ar tanh x(cosx)( n) cos(x n )2(tan x)' sec2 x 1x1 (tan x)2cos2(cot x)' csc2 x 1 1 (cot x)2sin2 x(arcsin x) '11x2(arccos x)' 11 x2(arctan x)' 11 x2(arccot x)'11x2(sinh x)' coshx(cosh x)' sinh x(tanh x)' 1cosh2 x(coth x)' 1xsinh2( ar sinh x)' 1x21( ar cosh x) ' 1x2 1(ar tanh x)' 11 x2复合函数导数公式复合函数求导公式f ( x) g( x)f ( x)gg( x)f (x)g( x)g (x) ,f g (x)[ f ( x) g(x)]'f ' ( x)g ' ( x)[ f ( x)gg( x)]' f ' (x)gg (x) f ( x)gg ' ( x)[Cgf (x)] ' Cgf ' (x)'f ' (x)gg (x) f ( x)gg ' ( x)f ( x)g (x)g 2 (x)f ' g(x)f ' ( g( x))gg ' (x),1．证明幂函数 f ( x) x a 的导数为 f ' ( x) ( x a )' ax a 1证：f ' (x) limf ( xVx) f (x)lim ( x Vx)n x nVxVxVxVx根据二项式定理展开( x ) nVxlim(C n 0x nC n 1 x n 1 Vx C n 2 x n 2 Vx 2... C n n 1xVx n 1 C n n Vx n ) x nVxVx消去 C n 0 x n x nlim C n 1 x n 1VxC n 2 x n 2Vx 2 ... C n n 1 xVx n 1 C n n Vx nVxVx分式上下约去 Vxlim( C n 1 x n 1 C n 2 x n 2 Vx 1 ... C n n 1 xVx n 2 C n n Vx n 1)Vx因 Vx0 ，上式去掉零项 C n 1x n 1nx n 1lim( xVx x)[( x Vx)n 1x( x Vx)n 2 ... x n 2 ( x Vx) x n 1]Vx 0Vxlim[( x Vx)n 1 x( x Vx)n 2 (x)n 2( x Vx) x n 1]Vxx n 1xgx n 2 ... x n 2 gxx n 1ngx n 12．证明指数函数 f ( x) a x 的导数为 (a x )' a x ln a证：f '(x) limf ( xVx) f ( x)lima x Vxa xVx 0VxVxVxlim a x (a Vx1)Vx 0Vx令 a V x 1 m ，则有 Vx log a (m 1) ，代入上式lim a x (a Vx 1)lim a x m Vx 0Vx V x 0log a (m 1)lima x m lima x ln a a x ln aln( m1) 0 1 lim1Vx 0 V x ln(m Vx 01)mln am 1)ln( m1 )x1根据 e 的定义 elim(1 ，则 lim( m 1)me ，于是x V x 0xlima x ln aa x ln aa xln a1ln eVxln( m1)m3．证明对数函数 f ( ) log a x 的导数为 f ' (x) (log a x) '1 xx ln a证：f ' (x) lim f (x Vx) f (x) lim log a (x Vx) log a xVx 0 Vx Vx 0Vxlog a x Vx log a (1 Vx ) ln(1 Vx ) lim Vx x limx lim x V x 0V x 0 Vx V x 0Vx ln axln(1 Vx )ln(1 Vx ) Vx x lim Vx x limxVx 0 x ln a V x 0x ln a根据 e 的定义 e lim(11)x ，则 lim ln(1 Vx )x V x 0 xxVx e ，于是xxln(1Vx)V xln e 1 limx Vx 0x ln a x ln a x ln a4．证明正弦函数 f ( x) sin x 的导数为 f ' ( x) (sin x)' cosx证：f ' (x)lim f (x Vx) f (x) lim sin(x Vx) sin xVx 0 Vx Vx 0Vx根据两角和差公式sin(x Vx) sin x cosVx cos x sinVxsin(x Vx) sin x lim sin xcosVx cosxsinVx sin xlim VxVxVx 0 Vx 0因lim(sin x cosVx) sin x ，约去 sin x cosVx sin x ，于是Vxcosx sinVxlimVxV x 0sinVx因 lim1 ，于是Vx 0Vxlim(cos xsinVx) cosxVx 0 Vx5．证明余弦函数 f ( x) cosx 的导数为 f ' ( x) (cosx) 'sin x证：f ' (x) lim f ( x Vx) f (x) lim cos(x Vx) cosx Vx 0 Vx Vx 0Vx根据两角和差公式cos(x Vx) cosx cosVx sin x sinVxlim cos(x Vx)cosxlim cos x cosVxsin x sinVx cos xVxVxV xVx因 lim(cos x cosVx)cos x ，约去 cos x cosVx cos x ，于是Vx 0lim sin x sinVxVxVx 0因 limsinVx1 ，于是Vx 0Vxlim(sin x sinVxsin x)Vx 0Vx6．证明正切函数 f ( x) tan x 的导数为 f ' ( x)(tan x) '1 xcos 2 证：f ' (x) lim f ( x Vx) f ( x) lim tan(x Vx) tan xVx 0 Vx V x 0Vxsin(x Vx) sin xlim cos(x Vx) cos xlim sin( xVx)cos x sin x cos(x Vx)Vx 0Vx V x0 Vx cos(x Vx)cos x根据两角和差公式sin( x Vx) sin x cosVx cosx sinVx ,cos(x Vx) cosxcosVxsin xsinVx代入上式lim (sin x cosVx cosx sinVx)cos xsin x(cos x cosVx sin x sinVx)Vx 0Vxcos(x Vx)cos xlim cos x cosx sinVx ( sin x sin x sinVx)sinVx(cos xcosx sin x sin x)Vx cos(x Vx)cos xlimVx cos(x Vx)cos xVx 0V x因 cos 2 x sin 2 x 1sinVxlimVxVx cos(x Vx)cos x因 limsinVx 1 ， lim cos(x Vx)cos x ，上式为Vx 0 Vx V x 0sinVx1 1lim2Vx 0 Vx cos(x Vx)cos x cos xf ( x) cot x 的导数为 f ' ( x) (cot x)'1sin 2 x证：f ' (x) lim f ( xVx) f ( x) lim cot( x Vx) cot xVx 0 Vx V x 0Vxcos(x Vx) cos xlim sin(x Vx) sin xlim cos(x Vx)sin xcos x sin(x Vx)Vx 0Vx V xVx sin( x Vx)sin x根据两角和差公式sin( x Vx) sin x cosVx cosx sinVx ,cos(x Vx) cosxcosVxsin xsinVx代入上式lim (cos xcosVxsin x sinVx)sin x cosx(sin x cosVx cos x sinVx)Vx 0Vx sin(x Vx)sin xlimsin 2 x sin Vxcos 2x sinVxsinVx(sin 2 x cos 2 x)Vx sin( xVx)sin xlimVx sin( x Vx)sin xVx 0Vx因 sin 2 xcos 2 x 1 , 且 limsinVx1 ，lim sin( x Vx)sin x ，代入上式Vx 0VxV x 0limsinVx 1 1Vx sin( x Vx)sin xsin 2 xVx 08．证明复合函数 f ( x) g( x) 的导数为'' ( x) g ' ( x)f ( x) g(x)f 证:f (x)'limf (x Vx)g (x Vx)f (x) g( x)g( x)VxV x 0f (x Vx) f (x)g (x Vx)g( x)limVxVxVxf ' ( x)g ' (x)9．证明复合函数 f ( x) g( x) 的导数为 'f ' ( x) g( x) f ( x)g ' ( x)f (x) g( x)证:'f ( x Vx) g(x Vx)f (x)g( x)f (x) g( x)limVxVxf ( x Vx) f ( x) f ( x) g( x Vx) f ( x) g( x Vx) g( x Vx)g (x)limV x 0 Vxlim f ( x Vx) f ( x) g( x Vx) f ( x) g (x Vx) f ( x)g ( x Vx) f ( x) g( x Vx) g ( x)VxVx 0lim f ( x Vx) f ( x) g( x Vx) f ( x) g ( x Vx) g( x)VxVx 0lim f (x Vx) f (x) g( x Vx) f ( x) g( xVx) g( x)Vx 0 Vx Vxf ' ( x)g (x) f ( x) g ' (x)f ( x) f ( x) ' f ' ( x) gg (x) f ( x)gg' (x) 10．证明复合函数的导数为g (x) g (x) g2 (x)证:' f ( x Vx) f ( x) g( x Vx) g ( x)f ( x)g ( x) limVx V x 0lim f (x Vx) g( x) f ( x) g( x Vx)Vxg( x)g (x Vx)Vx 0lim f ( x Vx) f ( x) f (x) g (x) f ( x) g (x Vx) g( x) g( x)Vxg (x)g( x Vx)Vx 0lim f ( x Vx) f ( x) g( x) f (x) g( x) f (x) g (x Vx) g(x) f ( x) g( x)Vxg( x) g( x Vx)Vx 0lim f ( x Vx) f ( x) g ( x) f (x) g(x Vx) g( x)Vxg( x) g (x Vx)Vx 0f ( x Vx) f ( x)g( x) f ( x) g( x Vx) g ( x)lim Vx Vxg (x)g( x Vx)Vx 0' f ' ( x)gg( x) f (x)gg' ( x)g 2 ( x)11．证明复合函数 f g ( x) 的导数为 f ' g( x)f ' (g ( x))gg ' ( x)证:f (g ( x)) ' lim f ( g( x Vx)) f (g ( x))VxV x令 u g(x) , 则有 Vu g(x Vx)g( x)lim f (u Vu)) f (u)VxVx 0lim f (u Vu)) f (u) Vu Vu Vx Vx 0lim f (u Vu)) f (u) g ( x Vx) g( x)VuVxVx 0f ' (u)gg ' ( x) f ' ( g( x))gg ' (x)'f ' (x) 12．证明复合函数 ln f ( x) 的导数为 ln f (x)f ( x)证:令 u f (x) ,ln f ( x) '''ln u gu1 gu 'f ' (x)u f (x)13．求复合函数 x x 的导数解:令 u x xln u x ln x'u ' 等式左边求导为ln uux ln x'ln x x 1 ln x 1等式右边求导为x 'ln x x(ln x)'xu'ln x 1,于是有uu' (ln x 1)u则(x x ) ' (ln x 1)x x14. 证明反三角函数arcsin x的导数为(arcsin x)' 11 x2 证:令 y arcsin x ,则sin y x对上式两边求导 , 等式右边 x' 1等式左边 ( 根据复合函数求导公式), 其导数为(sin y)' (cos y)gy'于是有 (cos y)gy' 1y' 1 1(cos y)1 sin 2y再将 y arcsin x 代入上式(arcsin x)' 1 11 sin2 (arcsin x) 1 x215. 证明反三角函数 arccos x 的导数为 (arccos x)' 11 x2 证:令 y arccosx ,则cosy x对上式两边求导, 等式右边x' 1'等式右边 ( 根据复合函数求导公式),其导数为 cos y(sin y)gy'于是有(sin y)gy' 1 ,整理后如下：y' 1 1(sin y) 1 cos2 y再将 y arccosx 代入上式(arccos x) ' 1 11 cos2 (arccos x) 1 x216. 证明反三角函数arctanx的导数为(arctanx)' 11 x2证:令 y arctanx ,则tan y x对上式两边求导, 等式右边x' 1'等式右边 ( 根据复合函数求导公式),其导数为 tan y(1 tan2 y)gy '于是有 (1 tan2 y)gy' 1 ,整理后如下：y' 11 tan2 y再将 y arctanx 代入上式(arctanx)' 1 11 tan2 arctan x 1 x217. 证明 : 反函数的导数为原函数导数的倒数 f 1 ' 1 ,( f ' ( x) 0)( y)'f ( x)如果函数 x ( y) 在某区间I y 内单调、可导且' ( y) 0 ，那么它的反函数y f (x) 在对应区间I x内也可导，并且 f ' (x) 1 。