（例6-1将服务台改为2个）
该系统是M/M/2/4混合制排队系统，
其中λ=4(辆/h)，μ=5(辆/h)， ？
c=2，ρ=λ/cμ=0.4 ；
1 单位顾客服务时间
(12 /
1 60)小时
（5 辆/ 小时）
p0
[1
2
22 ( 2 5 ) ]1 2!(1 )
[1 0.8 2 0.42 0.45 ]1 0.435 1 0.4
Lq
cc c1 p0 c!(1 )2
[1
Nc
(N
c) Nc (1
)]
Wq
Lq
e
Lq
(1 pN )
Ws
Wq
1
例6-4 某汽车加油站有2台油泵为汽车加 油，站内可容纳4辆汽车，当站内停满车 时，后来的汽车只能到别处加油。若需 加油的汽车按泊松流到达，平均每小时4 辆。每辆车加油所需时间服从负指数分 布，平均每辆需12min，试求系统有关 运行指标。
统时，若无空闲服务台，则排队等待服务。
2、系统的状态转移速度图：
0
1
2
…… c-1
c
c+1 ……
2 3 (c-1) c c c
3、 2)
3 ( 3)
c ( c)
c
( c)
( )
2 ( 2)
3 ( 3)
6.3 多服务台指数分布排队系统 （ M/M/C排队模型）
基本的排队模型 M/M/C/N/∞/FCFS混合制排队系统
一. M/M/C/N/∞/FCFS多服务台混合制排队模型
1、系统意义：顾客按泊松流输入，到达率 为λ；服务时间服从负指数分布，服务率为 μ；有C个服务台，先到先服务，系统容量 为N(N>C), 顾客源无限的混合制排队系统。
4、系统的基本数量指标：(公式组（6-16））
c (c )n cc ( c N ) 1
p0 n0
n!
c!(1 )
pn
cn n!
n
p0
cc c!
n
p0
1 n c cnN
N
N 1
e n pn pn 0 pN (1 pN )
n0
n0
Ls
Lq
e
Lq
c(1 PN )
Ws
Wq
1
注意：
要求ρ=λ/cμ小于1。
例6-4 将例6-2改为有两台加油泵的情况， 则该系统转化为M/M/2等待制系统。计算 有关数量指标 .
已知相关参数λ=4（辆/h）,
μ=5（辆/h），则ρ=λ/2μ=0.4 ;
p0
1
2
22 2!
2 1
1
1
2 0.4
2
0.42 1 0.4
1
0.4286
P1=2ρP0=0.34288 P2=0.13715 P3=0.05486 P4=0.02194 ┇
Lq
22
0.43 0.4286 2!(1 0.4)2
1.524(辆)
λe =4;
Wq
Lq
e
1.524 0.381(h) 4
Ws
Wq
1
0.381
0.2
0.581(h)
称ρ为系统的负荷强度,它表征了顾客的 服务需求强度与系统服务能力的比值。
M/M/C等待制排队系统特征量计算公式
p0
c1 n0
cn n!
n
cc c!
c
1
(1
)
pn
cn
n! cc
c!
n p0 n p0
nc nc
Lq
cc c1 p0 c!(1 )2
Ls Lq
e
Wq
Lq
3 ( 3)
c ( c)
c
( c)
c c
3、稳态下的状态概率方程：
P ( p0 , p1, p2 ,, pc , pc1,, pN ) 0
由此，可得稳态概率应满足的关系：
当n<c时,
p0
p1
0
p1
p0
p0 ( ) p1 2p2 0
2p2
p0
(
) p1
c ( c)
c
( c)
4、 状态概率方程：
P ( p0 , p1, p2 ,) 0
该系统是M/M/C/N系统当N→∞时的 极端情况，故可利用M/M/C/N系统的数 量指标计算公式取极限N→∞得到相应 的各项数量指标。
注意
由于系统中顾客无限制,考虑到服务与顾 客到达的随机性,在讨论系统达到稳态时 的情况,必须要求ρ=λ/cμ小于1。
Ls Ws e 0.581 4 2.324 (辆)
课堂练习6-2 试画出M/M/2///FCFS 等待制系统的状态转移速度图
λ 0
μ
λ
1
2
2μ
λ
…… n-1
n
2μ
λ
… …
2μ
三、M/M/C损失制排队系统
M/M/C损失制排队系统可以看作M/M/C/N/∞ 混合制排队系统中N=C时的特例。 1、系统意义：
e (1 pN ) 4 (1 0.0222 ) 3.9112 (辆 / h)
Wq
Lq
e
0.0256(h) 1.536(min)
Ws
Wq
1
0.2256(h)
13.536(min)
Ls Ws e 0.082 (辆)
二. M/M/C/∞/∞/FCFS多服务台等待制排队模型
1、系统意义： 顾客按泊松流输入，到达率为λ； 服务时间服从负指数分布，服务率为μ； 有C个服务台； 先到先服务，系统无容量限制，顾客到达系
p1 2p0 0.348 p2 p1 0.1392 p3 p2 0.0556
p4 p3 0.0222
根据（6-16）的一组公式，可以计算出系统的 其他运行指标：
Lq
22 2!(1 0.4)2
0.43
0.4351 0.442
(4 2)0.442 (1 0.4)
22 0.43 0.4351 3 0.42 2 0.43 0.100224 2!(1 0.4)2
顾客到达系统时，若无空闲服务台，系 统中顾客数小于N，则排队等待服务；若系 统中顾客数等于N，则离开系统，另求服务。
2、系统状态转移速度图和状态转移速度矩阵：
λ
λ λλ λ λ λ λ
0
1
2 …… c-1
c …… N-1 N
μ
2μ 3μ (c-1)μ cμ cμ cμ cμ
( )
2 ( 2)
p0
(
)
p0
2 p2 2 2 p0;
令
c
，称为系统负荷强度，可得Pn的
一般表达式：
pn
n
pn1
c n
pn1;
pn
1 ( )n n!
p0
cn n!
n p0
当c<n≤N时，
pn1
cpn1
(
c) pn
pn
cc c!
n
p0
也可以根据“系统处于稳态时，每个状态的 转入率等于转出率”求得Pn的一般表达式。