都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和。
5. 化归法（基本数学方法）
（ 1)特殊化与一般化，2)关系映射反演方法 ）
☆化归原则是指把待解决的问题，通过某种转化过 程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题 中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。
☆其过程就是将一个问题由繁化简，由难化易，由 复杂化简单，由未知化已知。
☆数学建模的过程：模型准备---模型假设---模型建立---模型求解---模 型检验---模型应用
☆ 成功的MM:
a）解释已知现象； b）预言未知现象； c）被实践所证明。
☆数学模型的意义：
a)对所研究的对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果；
b)任何一项数学的应用，主要或首先就是数学模型方法的应用。
2）关系映射反演（RMI）方法
基本思想：当处理某问题甲有困难时，可以联想适当
的映射，把问题甲及其关系结构R，映成与它有一一对 应关系，且易于考察的问题乙，在新的关系结构中问
题乙处理完毕后，再把所得到的结果，通过映射反演
到R，求得问题甲的结果。
问题甲
映射σ
问题乙
问题甲的解
映射σ-1
问题乙的解
☆RMI 方法是一种矛盾转化的方法，它可以化繁为简，化难为 易，化生为熟，化未知为已知，因而是数学中应用非常广泛的 一种方法，数学中许多方法都属于RMI方法，例如，分割法、 函数法、坐标法、换元法、复数法、向量法、参数法等。
数学归纳法用于证明。 例子：证明数列
2, 2 2 , 2 2 2 ,, 2 2 2 2 2 .
，
单调增加有上界。
，
。
《数学思想与数学文化》之第三讲——
数学思想方法介绍(续)
4．数学构造法（基本数学方法）
☆数学构造法---数学中的概念或方法按固定的方式 经有限步骤能够定义或实现的方法。 ☆应用---构造概念、图形、公式、算法、方程、函 数、反例、命题等。 ☆构造法在数学中的地位不仅古老，而且重要。 ☆ 例子
数学证明的重要方法 ◆ 反证法与同一法 ◆ 数学归纳法
中学数学中几种常用的具体方法 ◆ 待定系数法 ◆ 配方法 ◆ 基本量法 ◆ 递推法
三. 几类常用的数学思想方法介绍
有人这样给数学思想方法分类： 1. 操作性思想方法
例如：换元法、配方法、待定系数法、割补法、构造 法等； 2. 逻辑性思想方法
例如：抽象、概括、分析、综合、演绎等； 3 .策略性思想方法
1）求一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)的根。 2）求两个正整数最大公因数的欧几里德辗转相除法。
3）勾股定理（毕氏定理）。
宋刻本《周髀算经》， （上海图书馆藏）
第24届“国际数学家大 会”会标
例子： 4）导数的概念。 5）定积分的概念。 练习： 1. 求证在任何两个有理数a和b之间一定还有有理数。 2. 有没有2000个连续自然数，它们都是合数？ 3. 证明：素数的个数是无穷的。 4. 求证：对于定义域包含于实数集且关于原点对称的任何函数f(x)
（2）若命题P在特殊条件下为假，则在一般条件下P也为假。
☆特殊化方法---在研究一个给定集合的性质时，先研究某些个 体或子集的性质，从中发现每个个体都具有的特性后，再猜想 给定集合的性质，最后用严格的逻辑推理论证猜测的正确性；
☆一般化方法---在研究一个给定集合的性质时，先研究包含该 集合的较大集合的性质，从中发现较大集合所具有的性质，再 根据特殊化与一般化的依据（1）推出所要证明的命题。
参考文献
[1] 王子兴．数学方法论．中南工业大学出版社．2002 [2] 徐利治．数学方法论选讲（第三版）．华中理工大学 出版社．2000 [3] 姜启源等．数学模型（第三版）．高等教育出版 社．2003
几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多 概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。然 而，1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖 论”，矛头直指几何概率概念本身： 在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，求该 弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。从 不同方面考虑，可得不同结果： ⑴．由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直 于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与 3/4 点 间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交 点是等可能的,则所求概率为1/2 。 2) 由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过 此端点的切线的交角在60°～ 120° 之间，其长才合乎 要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 。 3) 弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径 缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都 是等可能的,则所求概率为1/4。 这导致同一事件有不同概率，因此为悖论。 而此悖论在提出概率公理化后发现根本都不是问题！！
《数学思想与数学文化》
数学思想方法介绍
内容
一.前言 二.中学数学中常用的数学方法 三.几类常用的数学思想方法介绍
1.演绎法或公理化方法 2.类比法 3.归纳法与数学归纳法 4.数学构造法 5.化归法 6.数学模型方法
附：参考文献
一. 前 言
☆ 数学思想---对数学的知识内容和所使用的方法的本质 认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，而在 后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和 相对稳定的特征，是对数学规律的理性认识。 ☆ 数学方法---以数学为工具进行科学研究的方法，即用 数学的语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运 算与分析，以形成解释、判断和预言的方法。 ☆ 二者关系--- 数学思想直接支配着数学的实践活动。数 学方法是数学思想具体化的反映。简言之，数学思想是数 学的灵魂，数学方法是数学行为，数学思想对数学方法起 指导作用。
☆RMI方法不仅是数学中应用广泛的方法，而且可以拓展到人 文社会科学中去。例如，哲学家处理现实问题的思想方法，就 可以看作RMI方法的拓展 （客观物质世界---哲学家的思维---哲 学理论体系---解决客观世界的现实问题）。
例1. 证明方程(m+1)x4-(3m+3)x3-2mx2+18m=0， 对任何实数m都有一个共同的实数解，并求此实数解。
1777年法国科学家布丰提出的一种 计算圆周率的方法——随机投针法， 即著名的布丰投针问题。这一方法的 步骤是：
1) 取一张白纸，在上面画上许多 条间距为d的平行线；
2) 取一根长度为l（l<d） 的针， 随机地向画有平行直线的纸上掷n次， 观察针与直线相交的次数，记为m；
3）计算针与直线相交的概率．
例2.计算p=a1/3b1/7 数值。（对数）
（原像关系---映像关系---求得映像的值---求得原像的值）
例3.用解析几何方法处理平面几何问题。
（几何关系问题---代数关系问题---求出某些代数关系---确定某种 几何关系）
6. 数学模型方法（基本数学方法）
☆数学模型（MM）---针对或参照某种事物系统的特征 或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近 似地表述出来的一种数学结构。
例如：方程与函数、化归、猜想、数形结合、整体与 系统等。
事实上，数学思想方法是有层次的。
操作性思想方法、逻辑性思想方法、策略性思想方法，从思维的
角度上看，层次是逐渐上升的。
1. 演绎法或公理化方法（逻辑思维方法）
☆演绎法是由一般到特殊的推理，它在逻辑上的依据 是三段论。 ☆演绎法的重要性：1）数学理论都是用演绎推理组织 起来的；2）它能超越技术与仪器的限制。 ☆演绎法的基本构件：定义（概念）、公理和定理。 ☆公理化方法的例子： 欧几里德《几何原本》，希尔伯特《几何学基础》 柯尔莫哥洛夫《概率论基础》 ZFC《公理化集合论》
◆数学方法具有三个基本特征： （1）高度的抽象性和概括性； （2）精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性； （3）应用的普遍性和可操作性。
◆数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用： （1）提供简洁精确的形式化语言； （2）提供数量分析及计算的方法； （3）提供逻辑推理的工具。
二. 中学数学中常用的数学方法
☆精彩范例：
力学：牛顿万有引力定律； 电磁学：麦克斯韦方程组； 化学：门捷列夫元素周期表； 生物学：孟德尔遗传定律…
☆数学模型应用日益广泛的原因：
a) 社会生活的各个方面日益数量化； b) 计算机的发展为精确化提供了条件； c) 很多无法试验或费用很大的试验问题，用数学模型进行研究是一 条
捷径。
附：
3）同态与同构 4）数的概念的扩充 5）多项式理论与整数理论的类比 整数
＋、－ 、× 带余除法 算术基本定理
多项式
＋、－ 、× 带余除法 代数基本定理
3. 归纳法（逻辑学中的方法）
与数学归纳法（数学中的一般方法）
☆归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的 一种思维方法。归纳法是实验科学最基本的方法。 归纳法的特点：1）立足于观察和实验；2）结论具有猜 测的性质；3）结论超越了前提所包含的内容。 归纳法用于猜测和推断。 例子：1) Fermat数(1640年，Fn=22n+1, Fermat素数：3，5， 17，257，65537)；
2)Goldbach猜想（1742年）。
☆数学归纳法：P(n)是一个含有自然数n的命题， 如果（1）P(n) 当n=1时成立； （2）若P(k)成立的假定下，则P(k+1)也成立。 那么P(n)对任意自然数n都成立。 这两个步骤，（1）称为归纳起点，（2）称为归纳推断。
数学归纳法是一种完全归纳法，其应用范围及其广泛。
数学研究的基本方法 ◆ 数学抽象方法 ◆ 数学模型方法 ◆ 数学研究活动的一般方法
数学中的逻辑方法 ◆ 数学定义方法 ◆ 逻辑划分方法 ◆ 数学公理化方法
数学解题的思维方法 ◆ 数学推理方法（演绎法、 归纳法、类比法） ◆ 分析法与综合法 ◆ 数学实验方法 ◆ 数形结合方法 ◆ 关系影射反演原则（换 元法、初等变换方法）