(0) (0)
1
6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10 分）
2u t 2
ut
a
0
2 2u x2
sin
2
cos x,
x,
x u t
,t t0 0
0
7、用积分变换法求解定解问题（10 分）：
2u
xy
1, x
0,
y
0
u x0 y 1,
u y0 1,
8、用积分变换法求解定解问题(10 分)：
对
的情况讨论，只有当
0 时才有非零解，令
2 ，得到
2
n 2 42
2
为
特征值，特征函数
X
n( x)
Bn
sin
n 4
(1
分)，再解T (t) ，得到Tn (t)
C e;
n2 2t 16
n
（2
u(x,t)
分 ）， 于 是
n1
n2 2t
(Cne 16
sin
nx 4
,
（1
分）再由初始条件得到
Cn
设单位时间流入单位截面积的热量为 q ，杆的初始温度分布是 x(l x) ，试写出 2
其定解问题。(10 分)
3、试用分离变量法求定解问题(10 分)：
u 2u
u
t
x 2 0,
,0
x 4, t
u
0 0,
x0
x4
u 2x
.
t 0
4、分离变量法求定解问题(10 分)
utt a u(0, t )
③ 5，6 两道题是考察行波法。第 5 题就是书本中一维波动方程的 D'Alembert 公式的推导，是最最基础的东西，在这里考察学生平时的基础，题目不难但 是能很好的考察学生对行波法的理解。第 6 题考察了 D'Alembert 公式的应用， 同时又因为方程式非齐次的，也考察了方程的齐次化。
④ 第 7,8 两道题是对积分变换法的考察。第 7 题是对拉普拉斯变换的考察拉普 拉斯变换的基本概念以及常见函数的拉普拉斯正变换；利用拉普拉斯变换的 基本定理，拉普拉斯变换表以及部分分式展开法对常见函数进行拉普拉斯反 变换。第 8 题主要考察傅里叶变换的基本定理及其性质。
2012 学年第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷人：欧峥
1、长度为 l 的弦左端开始时自由，以后受到强度为 Asint 的力的作用，右端 系在弹性系数为 k 的弹性支承上面；初始位移为(x),初始速度为 (x).试写出相
应的定解问题。(10 分)
2、长为 l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为 0 度，另一端有已知的恒定热流进入，
⑤ 9,10 两道题是考察格林函数法。第 9 题有些难度，是一道二维拉普拉斯的狄 利克雷问题，主要考察对第二格林公式的理解及其应用。第 10 题看似比较简 单，但是也是大家比较容易忽略的问题，不一定能将其完整的解答。这里还 要求你写出其物理意义，意图当然不言而喻了，就是想体现数学物理方程这 门课的意义,将数学与物理结合起来，了解古典方程的类型，明白其物理意义 和现象。
x
l
因此，相应的定解问题为：
（1 分）
（3 分） （3 分） （3 分）
3、解 令 u(x,t) X (x)T (t) （2 分），代入原方程中得到两个常微分方程：
4
T ' (t) T (t) 0 ， X '' (x) X (x) 0 （2 分），由边界条件得到 X (0) X (4) 0 ，
又右端系在弹性系数为 k 的弹性支承上面，所以
（2 分）
Tux (l,t) ku(l,t) 0, 即 Tux (l,t) ku(l,t) 0. （2 分）
而初始条件为
u t0 (x),ut t0 (x).
因此，相应的定解问题为
uutxt
a2uxx , 0 x l,t 0,
(0, t )
① 用数理方程研究物理问题的一般步骤；数理方程的建立(导出),包括三类典型 方程的建立(导出)推导过程。这里的 1,2 两道题就是考察学生在实际物理背 景下能否写出定解问题。这些定解问题并不复杂，主要就是让学生了解一下。
② 3,4 两道题主要考察分离变量法的精神、解题步骤和适用范围。第 3 题是最 基本的分离变量法的运用，分离变量法的主要思想:1、将方程中含有各个变 量的项分离开来，从而原方程拆分成多个更简单的只含 1 个自变量的常微分 方程；2、运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的 方程；3、利用高数知识、级数求解知识、以及其他巧妙方法，求出各个方程 的通解；4、最后将这些通解“组装”起来。第 4 题是非齐次方程，主要考察 学生对非齐次方程的处理能力。
2 4
4
2x sin
n
xdx
16
0
4
n
(1) n1
（
1
分 ）， 所 以 原 定 解 问 题 的 解 为
u(x,t)
16
n2 2t
(1)n1 e 16
sin
nx
,
n1 n
4 （1 分）
4、解：令 u(x,t) V (x,t) W (x) 将其代入定解问题可以得到：
3
答案及分析
1、解: 这是弦的自由振动，其位移函数 u(x,t) 满足
utt a2uxx ,
（2 分）
其中 a2 T .由于左端开始时自由，以后受到强度为 Asint 的力的作用，所以
ux (0, 0) 0, Tux (0,t) Asin t 0,t 0,
因此
A sin t ux (0,t) T ,t 0.
2uxx 3,
sin 2 l
u(l,t)
x 6
cos
2 l
x, (0
x
l,t
0)
u(x, 0)
31
x l
,
ut
(
x,
0)
sin
4 l
x
5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10 分)：
2u
uutx 2at
0
x at 0
a 2 2u x 2
(x ) (x ).
utt a2uxx, x R,t 0 u(x,0) sin x,ut (x,0) 0
9、用格林函数法求解定解问题(10 分)：
2u
x
2
2u y2
0,
y 0,
u y0 f (x) , x .
10、写出格林函数公式（三维）及满足的条件，并解释其物理意义。(10 分)
2
考试内容分析
A sin t T
,Tux
(l
,
t
)
ku(l,
t
)
0,
u t0 (x),ut t0 (x).
t 0.
（2 分）（2 分）
2、解：侧面绝热，方程为
ut a2uxx , 0 x l, t 0
边界条件为
初始条件为
q
u
x0 0, ux
xl
,t 0 k
u
t0
x(l x) , 0 2