图像的二维离散傅立叶变换
一、实验目的
掌握图像的二维离散傅立叶变换以及性质
二、实验要求
1) 建立输入图像，在64⨯64的黑色图像矩阵的中心建立16⨯16的白色矩形图像点阵，
形成图像文件。
对输入图像进行二维傅立叶变换，将原始图像及变换图像（三维、中心化）都显示于屏幕上。
2) 调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换，将原始图像及变换图像（三维、中
心化）都显示于屏幕上，比较变换结果。
3) 调整输入图像中白色矩形的尺寸（40⨯40，4⨯4），再进行变换，将原始图像及变
换图像（三维、中心化）都显示于屏幕上，比较变换结果。
三、实验仪器设备及软件
HP D538、MATLAB
四、实验原理
设),(y x f 是在空间域上等间隔采样得到的M ×N 的二维离散信号，x 和y 是离散实变量，u 和v 为离散频率变量，则二维离散傅里叶变换对一般地定义为
∑∑-=-=+-=1010)],(2ex p[),(1),(M x N y N yu M xu j y x f MN
v u F π,1,0=u …，M-1；y=0，1，…N-1 ∑∑-=-=+=101
0)],(2ex p[),(),(M x N y N
uy M ux j v u F y x f π ,1,0=x …，M-1；y=0，1，…N-1 在图像处理中，有事为了讨论上的方便，取M=N ，这样二维离散傅里叶变换对就定义为,])(2ex p[),(1),(1010∑∑-=-=+-=N x N y N
yu xu j y x f N v u F π 1,0,=v u …，N-1 ,])(2ex p[
),(1),(1010∑∑-=-=+=N u N v N
vy ux j v u F N y x f π 1,0,=y x ，…，N-1 其中，]/)(2exp[N yv xu j +-π是正变换核，]/)(2exp[N vy ux j +π是反变换核。
将二维离散傅里叶变换的频谱的平方定义为),(y x f 的功率谱，记为
),(),(|),(|),(222v u I v u R v u F v u P +==
功率谱反映了二维离散信号的能量在空间频率域上的分布情况。
五、实验步骤及程序
（1）实验步骤
1、建立一个64×64的原始图像，在矩阵的中心建立16⨯16的白色矩形图像点阵，形成图像文件。
2、对输入图像进行二维傅立叶变换
3、进行频谱中心化，得到中心化傅立叶频谱图
4、将原始图像及变换图像（三维、中心化）都显示于屏幕上，比较变换结果。
5、调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换，输出图像
6、调整输入图像中白色矩形的尺寸（40⨯40，4⨯4），再进行变换，输出图像
（2）图像的二维离散傅立叶变换实验流程图
图1.1图像的二维离散傅立叶变换实验流程图
（3）实验源程序
1、将原始图像及变换图像都显示于屏幕上的程序
clear
%原始图象
f=zeros(64,64);%输入64*64的黑色图像矩阵
f(25:40,25:40)=1;%建立16*16的白色矩行图像点阵
figure(1);
subplot(231),imshow(f);
title('原始图像')%显示原图像
F=fft2(f);%傅立叶变换
imshow(abs(F));title('傅里叶变换图像');%显示傅里叶变换图像
F2=fftshift(abs(F));%频谱中心化
subplot(233);
imshow(abs(F2));title('中心化傅里叶频谱图');%显示中心化傅里叶频谱图x=1:64;
y=1:64;
subplot(234);
mesh(abs(real(F)));title('三维频谱图');%显示三维频谱图
subplot(235)
mesh(x,y,F2(x,y));
title('FFT')
2、调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换后的程序
clear
%原始图象
f=zeros(64,64);%输入64*64的黑色图像矩阵
f(47:63,47:63)=1;%建立16*16的白色矩行图像点阵
figure(1);
subplot(231),imshow(f);
title('原始图像')%显示原图像
F=fft2(f);%傅立叶变换
subplot(232)
imshow(abs(F));title('傅里叶变换图像');%显示傅里叶变换图像
F2=fftshift(abs(F));%频谱中心化
subplot(233);
imshow(abs(F2));title('中心化傅里叶频谱图');%显示中心化傅里叶频谱图x=1:64;
y=1:64;
subplot(234);
mesh(abs(real(F)));title('三维频谱图');%显示三维频谱图
subplot(235)
mesh(x,y,F2(x,y));
title('FFT')
3、整输入图像中白色矩形的尺寸（40⨯40，4⨯4），再进行变换的程序
40×40
clear
%原始图象
f=zeros(64,64);%输入64*64的黑色图像矩阵
f(13:52,13:52)=1;%建立16*16的白色矩行图像点阵
figure(1);
subplot(231),imshow(f);
title('原始图像')%显示原图像
F=fft2(f);%傅立叶变换
imshow(abs(F));title('傅里叶变换图像');%显示傅里叶变换图像
F2=fftshift(abs(F));%频谱中心化
subplot(233);
imshow(abs(F2));title('中心化傅里叶频谱图');%显示中心化傅里叶频谱图x=1:64;
y=1:64;
subplot(234);
mesh(abs(real(F)));title('三维频谱图');%显示三维频谱图
subplot(235)
mesh(x,y,F2(x,y));
title('FFT')
4×4
clear
%原始图象
f=zeros(64,64);%输入64*64的黑色图像矩阵
f(13:52,13:52)=1;%建立16*16的白色矩行图像点阵
figure(1);
subplot(231),imshow(f);
title('原始图像')%显示原图像
F=fft2(f);%傅立叶变换
subplot(232)
imshow(abs(F));title('傅里叶变换图像');%显示傅里叶变换图像
F2=fftshift(abs(F));%频谱中心化
subplot(233);
imshow(abs(F2));title('中心化傅里叶频谱图');%显示中心化傅里叶频谱图x=1:64;
y=1:64;
subplot(234);
mesh(abs(real(F)));title('三维频谱图');%显示三维频谱图
subplot(235)
mesh(x,y,F2(x,y));
title('FFT')
六、实验结果与分析
图1.2将原始图像及变换图像都显示的实验图像
图1.3调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换后的实验图像
图1.4调整输入图像中白色矩形的尺寸（40⨯40），再进行变换的实验图像图1.5整输入图像中白色矩形的尺寸（4⨯4），再进行变换的实验图像
1、傅里叶频谱的低频主要决定图像的平坦区域中灰度的总体分布，而高频主要决定于图像的边缘和噪声等细节。
按照图像空间域和频率域的对应关系，空域中的强相关性，即由于图像中存在大量的平坦区域，使得图像中的相邻或相近像素一般趋向于取相同的灰度值，反映在频率域中，就是图像的能量主要集中于低频部分。
因此在三维频谱图中可以清楚地看出原图像的频谱中的较大值集中于四个角的低频部分。
原图像的频谱图不能明显地反映图像的完整频谱。
经过中心化后可以看出频谱中的较大值集中在中心。
可以很好地反映出图像的完整频谱。
2、基于傅里叶变换的周期性及平移特性，图1.2是经过平移后的图像，通过图1.2和图1.3对比可以证明傅里叶变换的周期性及平移特性。
3、通过图1.4和图1.5的对比可以看出图1.4的较大值更加集中。
图1.5在最大值旁还有较大值伴随。
七、实验心得
通过本次实验是我对于图像的二维傅里叶变换有了更好地理解，对于傅里叶变换的周期性和平移特性更加直观的学习到了。
傅里叶变换后图像的优点和不足也有了深刻地了解，通过图像的中心化可以更好地反映出图像的完整频谱。